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函数行列式及其应用[摘要] 函数行列式在数学领域中的应用一直备受关注.它频繁地出现在很多报刊杂志、教学教材里，因此我们对其都不乏了解.函数行列式使很多复杂的问题简单化，它在热力学平衡中、积分坐标变换中都得到了很好的应用，获得了较高的评价.毫无疑问，函数行列式的研究价值不仅仅局限于此，我们要做的就是进一步挖掘它在其他方面的广泛应用.因此，本文将对函数行列式进行深入探讨，我们从它的定义和性质出发，通过具体的例子来探讨它在常微分方程的通解、重积分计算和非线性微分系统零解稳定性方面的应用.[关键词] 雅可比行列式 常微分方程通解 二重积分 三重积分 零解稳定性 Function Determinant and Its Application[Abstract] In the field of mathematics, function determinant has been closely watched. It frequently appeared in many newspaper, magazines and teaching materials, therefore, we knew a little about it. Function determinant made many complex problems simplify, it has got a very good application in thermodynamic equilibrium and integral coordinate transformation, so it won the high appraisal. There is no doubt, the research value of function determinant is not limited to this, what we have to do is further explorer its widely used in many other areas. Therefore, this paper will discuss in depth about function determinant., we proceed from its definition and properties, then through specific examples to study its application in the general solution of ordinary differential equations,multiple integral calculations and stability of zero solution of nonlinear differential systems.[Keywords] Function determinant General solution of ordinary differential equations Double integral Triple integral Stability of zero solution 目录引言......................................................................11 函数行列式的定义及性质.................................................2 1.1 函数行列式的定义.................................................21.2 函数行列式的性质.................................................31.3 函数相关和函数独立的条件.........................................42 函数行列式在常微分方程的通解的应用.....................................52.1 常微分方程的基本概念.............................................5 2.2 通过典例来具体说明函数行列式在常微分方程的通解的应用.............53 函数行列式在重积分计算的应用...........................................83.1 二重积分换元公式的推导过程.......................................83.2 通过典例说明二阶函数行列式在二重积分的应用.......................93.3 通过典例说明三阶函数行列式在三重积分的应用......................114 函数行列式在非线性微分系统零解稳定性方面的应用........................134.1 零解稳定性的定义................................................134.2 通过典例来具体说明函数行列式在非线性微分系统零解稳定性方面的 应用..................................................................14结论.....................................................................16致谢语...................................................................17参考文献.................................................................18 引言函数行列式，又称为雅可比行列式，它在数学中的应用很广泛.我们以前学过两个未知量甚至三个未知量的线性方程组，而且也求出了方程组的解.但是在实际问题中，我们经常会遇到由多个未知量组成的多个方程组，有时候甚至出现未知量的个数和方程组的个数不相等的情况.为了解决这些实际的问题，数学家们不懈努力，终于由莱布尼茨和关孝和分别发明了行列式.在这些科学家研究的基础上，法国数学家范德蒙想到把行列式理论和线性方程组的求解分离开来，之后又有雅可比、柯西、西尔维斯特、詹姆士等人对行列式的完善起到了巨大的推动作用.特别是雅可比，可以说他的成就对后人影响之深.现代数学中的许多积分、定理、公式、矩阵、曲线都冠以雅可比的名字.雅可比在函数行列式这方面有一篇论文很出名，就是：《论行列式的形成与性质》，这对行列式的发展起着十分重要的作用.雅可比行列式在某种程度上说就是切向量叉乘的简便记法，也是换元法中两个面积向量的比例，它在现代数学的发展上有着非常重要的意义.雅可比行列式在其他的领域比如说物理这方面的应用也很广泛.它是热力学进行导数运算的一个有效的工具，广泛应用于各种热力学关系式的推导及证明，大大减少了推导的步骤，更加明确了推导思想，且容易掌握.本文在熟悉了雅可比行列式有关应用的基础上，从雅可比行列式的定义和性质出发，进一步探讨它在常微分方程的通解的应用、重积分计算的应用以及非线性微分系统零解稳定性方面的应用，也由此加强我们对雅可比行列式的掌握.首先，在常微分方程通解的应用中，我们采用了新概念的引入，即通过伏朗斯基行列式来判定齐次线性方程（组）的由个解组成的一组解是否线性相关来研究该组解能否构成该微分方程（组）的通解，也就是直接运用了函数行列式来判定该组解是否线性相关，从而进一步得出该组解能否构成微分方程（组）的通解.其次是重积分的计算方面的应用，其作用是为了达到化繁为简的目的，在这过程中我们主要借助了变量变换的思想以达到简化的目的，在换元公式的推导过程中我们采用了两种方法，一种运用了对积分区域进行中特殊的分割后，将重积分转化为一个和式极限来进行推导证明．另一种是采用以定积分的换元法为基础来对重积分的换元公式进行推导.以上的两种方法中，都只是对二重积分的换元公式进行推导，三重积分甚至多重积分的推导过程与二重积分类似，本文就不作推导了.另外，文章除了给出这两个换元公式之外，还相应的给出了二重积分中两个常用的变换公式：极坐标变换和椭圆极坐标变换，以及三重积分中的三个常用的变换公式：柱面坐标变换、球面坐标变换和椭球面坐标变换，最后引入典例对相应变换予以说明.最后的应用是在非线性微分系统零解稳定性中的应用.在实际之中，通常用常微分方程来描述实际系统的数学模型，而常微分方程的稳定性直接关系着实际系统的特性，但是非线性微分方程的解有时候很难求得出来，有些方程的解甚至无法求得出来.因此，我们需要掌握能判别其稳定性的简便方法，目前常用的两种方法是借助线性近似系统的特征根和李雅普诺夫函数的方法.对于前面一种法其实是运用了函数行列式得出其对应的特征方程，进而对一阶的非线性方程组的零解稳定性进行判定.综上所述，通过掌握函数行列式的定义及其性质，为系统的掌握其在以上的三个领域中的具体应用就非常的有必要了． 1 函数行列式的定义及性质1.1 函数行列式的定义 我们知道函数行列式在数学中有着广泛的应用，这就需要我们必须弄清楚其定义，以便更好的掌握其在数学领域中的应用，以下是函数行列式具体的定义：：函数行列式，也被称为雅可比行列式，是由到的映射（或变换），也就是元函数，即或在由个这样的元函数构成函数组，即到的映射： 或我们记它为，另外我们设它们对每个自变数都存在偏导数，于是我们可以得到行列式 称为这样的函数组在点的函数行列式，一般我们记为.1.2 函数行列式的性质 了解了函数行列式的定义之后，我们就需要进一步掌握它的性质，它的性质主要有: 性质1.2,1 设函数 定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数.又设 定义于某一维区域中，且有关于一切变元的连续偏导数.当点在中变动时，对应的点不越出区域.于是就可以通过中间变量把看为的复合函数.这时，关于的雅可比行列式与关于以及关于的雅可比行列式之间有着下面的关系： =这个性质，可以看为是复合函数求导公式的拓广. 设函数 在某维区域中具有对各变元的连续偏导数，并且他们的反函数 都存在，且具有对各变元的连续偏导数.那么 这个性质我们可以看做是反函数导数公式的拓广. 以上是函数行列式的定义及其性质，在了解了函数行列式的定义和性质之后，还必须弄清函数相关和函数独立的条件，才能更好地掌握它的应用. 1.3 函数相关和函数独立的条件 我们知道，阶齐线。