线性方程组的矩阵求法.doc

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定理2：设A是一个m行n列矩阵A=通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式（4） 进而化为（5）这里r0,rm, rn , 表示矩阵的元素，但不同位置上的表示的元素未必相等即任何矩阵都可以通过初等变换化为阶梯形，并进而化为行最简形现在考察方程组（1）的增广矩阵（3），由定理2我们可以对（1）的系数矩阵（2）施行一次初等变换，把它化为矩阵（5），对增广矩阵（3）施行同样的初等变换，那么（3）可以化为以下形式：（6）与（6）相当的线性方程组是：（7）这里，，…，是1，2，…，n的一个排列，由于方程组（7）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理1，方程组（7）与方程组（1）同解因此，要求方程组（1），只需解方程组（7），但方程组（7）是否有解以及有怎样的解很容易看出:情形（1），r

由于,…可以任选，用这一方法可以得到（1）的无穷多解另一方面，由于（8）的任一解都必须满足（9），所以（8）的全部解，亦即（1）的全部解都可以用以上方法得到例1：解线性方程组 解：方程组的增广矩阵是进行初等行变换可得到矩阵最简形对应的线性方程组是把移到右边作为自由未知量，得原方程组的一般解第三章 用初等变换解线性方程组 定义2：设B为mn行最简形矩阵, 按以下方法作sn矩阵C:对任一i : , 若有B的某一主元位于第i列, 则将其所在行称为C的第i行, 否则以n维单位向量作为C的第i行, 称C为B的sn单位填充矩阵(其中).显然, 单位填充矩阵的主对角线上的元素只能是“1”或“ -1” , 若主对角线上某一元素为“-1” , 则该元素所在列之列向量称为C的“ J一列向量” 定义3：设B为行最简形矩阵, 若B的单位填充矩阵C的任一“ J一列向量”均为以B为系数矩阵的齐次线性方程组:(1) (1)的解向量，则陈C与B是匹配的（也说B与C是匹配的）引理1：设B为行最简形矩阵，若将B的第i列与第j列交换位置所得矩阵仍为行最简形矩阵，则：（Ⅰ）将的单位填充矩阵的第行与第行交换位置，第列与第列交换位置所得矩阵为单位填充矩阵，其中（Ⅱ）若C与B是匹配的，则与也是匹配。

证明：结论（Ⅰ）显然成立，下证（Ⅱ），因为C与B是匹配的，故C只能是nn矩阵, 从而也是nn矩阵, 设以B为系数矩阵的方程组为(1), 以为系数矩阵的方程组为(1),以为系数矩阵的方程组为：   (2)则由B与的关系可知对方程组（1）进行变量代换就得到方程组（2）, 于是方程组（1）的任一解向量交换i、j两个分量的位置后就是方程组（2）的一个解向量, 又从C与的关系可知, 的任一“ J一列向量”均可由C的某一“ J一列向量”交换i、j两个分量的位置后得到, 从而由C与B匹配知与也是匹配的引理2：任一mn行最简形矩阵与其nn单位填充矩阵C是匹配的证明:1设 (3)则以为系数矩阵的齐次线性方程组为: (4)而B的单位填充矩阵为: (5)其所有J一列向量为显然它们都是方程组(4)的解, 即B与C是匹配的.2，一般形式的行最简形矩阵B显然总可以通过一系列的第二类初等列变换(变换两列的位置)化为(3)的形式, 从而B的单位填充矩阵C通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5), 由于这种变换是可递的, 据引理2及引理1（Ⅱ） 知B与C是匹配的。

定理3:设齐次线性方程组 (6)的系数矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B, 则B的nn单位填充矩阵C的所有“ J一列向量”构成方程组(6)的一个基础解系证明：设以B为系数矩阵的齐次线性方程组为(1), 则(1)与(6)同解, 据引理2知C的所有“J一列向量”都是方程组(1)的解, 且是n-r个线性无关的解向量, (这里r=秩(B)= 秩(A)), 从而构成方程组(1)的一个基础解系, 也是方程组(6)的一个基础解系.定理3：设非齐次线性方程组 (7)有解, 其增广矩阵A经一系列初等行变换化为行最简形矩阵B, 则B的n(n+1)单位填充矩阵C的所有“J一列向量”构成方程组的导出组的一个基础解系, 而C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解证明：由定理3, 前一结论显然, 下证C的最后一个列向量为方程组(7)的一个特解作齐次线性方程组 (8)则方程组(8)的系数矩阵即为方程组(7)的增广矩阵A,于是B的(n+1)(n+1)单位填充矩阵为由定理3知的最后一个列向量是方程组(8)的一个解, 从而易知C的最后一个列向量即为方程组(7)的一个特解.例2:求线性方程组 (9)的一般解。

解:方程组(9)的增广矩阵为用初等行变换将变为行最简形矩阵写出B的56单位填充矩阵：于是, 方程组的导出组的基础解系为而方程的一个特解为 从而方程组（9）的一般解为其中,为任意常数.第四章 线性方程组通解的一种简便求法1 齐次线性方程组基础解系的一种简便求法设有齐次线性方程组 (1)矩阵形式为,其中A=求方程组的一个基础解系的方法如下:, 其中r = r ( A) , r ( ) = r ,即为一个行满秩矩阵, 为n 阶单位矩阵, P 为n 阶可逆矩阵则矩阵P 的后( n - r) 行即为方程组(1) 的一个基础解系下面证明此结论证明:对于n ×m 矩阵,必存在n 阶和m 阶可逆矩阵P ,Q ,使PQ =,所以P==，因为P为可逆矩阵, P的行向量组线性无关,所以P的后( n - r) 行行向量线性无关,而矩阵P的后( n - r) 行为(0 , ) P ,因为(0 , ) P=(0 , )=0, 所以X = (0 , ) P为方程组一个解,即P 的后( n - r) 行为方程组(1) 的一个基础解系因为=也就是对矩阵施行初等行变换,将其转变为,则P 的后( n - r) 行即为方程组(1) 的一个基础解系。

例3 求齐次线性方程组的一个基础解系解 因为r ( A) = 2 ,所以P的后3 行,即= ( - 2 ,1 ,1 ,0 ,0) , = ( - 1 , - 3 ,0 ,1 ,0) , = (2 ,1 ,0 ,0 ,1)为方程组的一个基础解系2 非齐次线性方程组通解的一种简便求法设有非齐次线性方程组 (2)其矩阵方程为,其中.求方程组的通解的方法如下:,其中为n 阶可逆矩阵, ,则(1) 矩阵Pn 的后( n - r) 行即为方程组XAT =0 的一个基础解系;(2) X = η3为方程组XAT = bT 一个特解结论(1) 的正确性在前面已经得到证明,下面证明结论(2) 当r ( AT ) = rATbT 时,方程组有解,对此情况进行证明则矩阵Pn 的后( n - r) 行即为方程组XAT = 0 的一个基础解系, X = η3为方程组XAT = bT 一个特解作两点说明:(1)对矩阵ATbT …En+1 作初等行变换后,若最后一行的前m 个元素不能全部变为零,即r ( AT ) ≠rATbT ,此时方程组无解;(2) 对矩阵ATbT …En+1 作初等行变换时,最后一行不能与其它各行交换位置。

例2 　解线性方程组解　所以方程组XAT = 0 的一个基础解系为方程组XAT = bT 的一个特解为η3=所以方程组XAT = bT 的通解为ξ = η3+ c1ξ1+ c2ξ2 ,其中c1 , c2 为任意常数用这种方法求齐次线性方程组的基础解系,或求非齐次线性方程组的通解只需施行矩阵的初等行变换,省掉了写矩阵对应的方程组,以及设自由未知量等繁杂过程,简单而实用,且易于掌握15 / 15。