对一道高考数学试题的思考.docx

    对一道高考数学试题的思考    Summary：本文对2012年上海市秋季高考理科第14题的求解思路做了详细的阐述，在此基础上对原题做了一些推广并尝试给出了相应的证明Keys：四面体体积最大值椭圆推广证明2012年上海市秋季高考理科第14题如下：如图1，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是______看到这道题目的第一感觉是惊诧：立体几何竟然作为填空题的压轴题，这在以往的上海高考试卷中是从来没有过的，看来此题非同一般！细看题目，便会发现有两个关键条件：⑴对棱AD与BC互相垂直；⑵AB+BD=AC+CD=2a条件（1）使我联想到以前做过的两道题目：①求证：棱长为a的正四面体的任一组对棱互相垂直且距离为a；②若四面体的一条棱长为x，其余各棱长都为1，求x为何值时，这个四面体的体积最大，并求体积的最大值这两个题目都是采用取中点、构造直截面、分割的方法获得结果的，分别如图2和图3仿照图2或图3的做法，在图1的△ABD中，过点B作BM⊥AD于M，连接CM，则由题目条件易知AD⊥平面MBC，即平面MBC是四面体ABCD的一个直截面，故VABCD=·2c·S△MBC，如图4。

于是问题解决的关键是求出△MBC的最大面积再来看关键条件⑵：AB+BD=AC+CD=2a，这容易让人想到椭圆！若设AB=x,AC=y，AM=z，本题对空间想像能力有很高的要求，联想与类比是化生为熟的关键一步，而作出直截面之后的跨域（由立体几何到解析几何）转化更非易事！作为回顾，立几和解几的综合题在上海高考试卷中极为罕见，2008年第10题是前十年仅有的一例(该题的解几背景比较明显)：某海域内有一孤岛，岛四周的海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界），其边界是长轴长为2a、短轴长为2b的椭圆已知岛上甲、乙导航灯的海拔高度分别为h1、h2，且两个导航灯在海平面上的投影恰好落在椭圆的两个焦点上，现有船只经过该海域（船只的大小忽略不计），在船上测得甲、乙导航灯的仰角分别为θ1、θ2，那么船只已进入该浅水区的判别条件是_____正确解答这类问题必须对圆锥曲线的概念有非常清晰的理解作为一道高考填空压轴题，给各位考生提供如下小题不宜大做的应激做法（实际上是基于经验的猜测）：启发猜测原型1，题目①、②中的点M均为中点，因此猜测本题中体积取到最大值时也应有M为中点；启发猜测原型2，不等式中有“和定积最大，相等不可少”，观察到AB+BD=AC+CD=2a，故猜测本题中体积取到最大值时应有AB=BD=AC=CD=a。

沿着以上两条猜测之路便可顺利获得正确答案！下面尝试对该题作出推广在叙述命题3之前，先证明两个预备命题预备命题1：如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离是d，所成的角为θ，那么它的体积是VABCD=abdsinθ  -全文完-。