平行四边形法则与勾股定理.docx
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名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载平行四边形法就与勾股定理–内积与范数.所谓的范数，就是向量长度这个概念在一般向量空间中的推广；简洁地讲就是从向量空间 到数域 的一个函数 ，满意如下条件：1〕 ，并且 当且仅当 ；2〕3〕在一个内积空间中，由内积表达式 就可以定义出一个范数，这个范数称为由内积诱导的范数；不是全部的范数都是由内积诱导出来的；例如，在 中，定义范数 ，它的确是范数但没有内积可以诱导出这个范数；由于，内积诱导的范数满意平行四边形法就：即平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和；而上面举的例子明显不满意这个特性；那么是不是一个范数只要满意平行四边形法就，它就必定是由某个内积诱导出来的呢？答案是确定的；证明见下面；那么平行四边形法就到底是什么东西？为什么有这么大的魔力，使它成为一个范数是否有内积背景的唯独门槛？假如一个范数 是由内积诱导的，也就是存在内积 满意 ，那么它必定带有内积的某些特性，特别是，内积是个双线性函数（复数空间上是半双线性函数），这就说明内积是个二次式，导致范数的平方本身也应当是个二次式；更准确地讲，内积的半双线性直接导致余弦定理：但是，这两个公式中依旧有一个内积，所以无法用这个来判定某个范数是否由内积诱导的，缘由是这个时候仍不知道内积为何物；依照勾股定理的证明，当 的时候，我们可以排除内积的身影，即勾股定理的如下形式：当 时，这样，这个条件之中完全没有内积的参加，并且它是范数由内积诱导的必要条件；但是，它是否是充要条件暂且不论，我们在用它判定的时候就可能遇到麻烦；由于要确定一个范数不是由内积诱导（大多数情形下不是），就需要找到两个向量满意 但不满意 ，这在某些情形下是有困难的； 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载仍有一种从余弦定理中排除内积的方法，就是不管是否有 ，我们将余弦定理两个式子相加，从而消掉内积得到了平行四边形法就它是一个范数由内积诱导的充要条件；从平行四边形法就，可知，定义于 上的 p- 范数当且仅当 p=2 时是由内积诱导的；值得留意的是勾股定理、余弦定理、平行四边形法就和内积诱导范数之间的关系，它们在下面的意义下是等价的：命题 1 ：数域 包含实数域，在 的一个赋范向量空间 中，假如范数满意以下条件之一，那么这个范数是由内积诱导的；1) 满意平行四边形法就2) 范数形式勾股定理 1：假如 那么3) 范数形式勾股定理 2： ，定义在实数域上的函数 存在一点满意 ；为了证明这个命题，需要第一讨论一下定义在实数域上的实值函数 ，假如 ， 就它是常值函数；否就假如 线性相关，就它是一个确定值函数 ；但在更一 般的情形下，它不是一个规章的函数；它有以下一些性质：性质 1 ：连续性， 在 上连续性质 2 ：如 那么性质 3 ：当 时，假如 的图像有对称轴，那么它的对称轴只有一条；证明： 连续性可由三角不等式得出：；性质 2 同样也是由三角不等式证明：第三条可以依据前两条得出，由于假如图像有两条对称轴 和 ，那么有 和，将两式中的 分别换成 和 ，有，因此有据性质 1 知道它是有界的，与性质 2 冲突；，这说明 是周期函数，又根 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载接下来证明命题 1 ；假如只考虑实数域和复数域上的向量空间，我们可以由 1〕->2〕->3〕-> 内积诱导范数这样的次序进行证明，可能这样比较自然一些；但是用 1〕 证明 2〕,3〕 中的任何一条都比较麻烦；因此仍是 依据通常的方法先证明满意平行四边形法就的范数是由内积诱导的；命题 1 的证明：1〕 假如一个范数满意平行四边形法就， 考察函数 ，第一证明 与 ，其中 是任意实数；要证明，在等式左边加上，依据平行四边形法就，左边等于，与右边合并同类项，即证明等式，再次利用平行四边形法就即可得证；接着证明对任意实数 ， ；依据刚才的论述以及前述结论， 是关于实数 x 的连续函数，且满意加法的线性，因此它也满意实数乘法的线性；对于实数向量空间，定义内积可知它满意双线性、对称性，以及 ；对于复数向量空间，定义内积简洁验证它满意半双线性，共轭对称性，以及 ；接下来我们用 2〕 证明 3〕 ， 3〕 证明 1〕 ，并用内积的性质证明 2〕 ，从而三个条件等价；假如 2〕 满意，那么 ，考虑实数域上的函数 ，依据前述性质，它必有最小值，并且假如 不是它的最小值那么必存在异于 的点 使得 ；这样，对于 ，有 ，即；这样再依据条件 2〕 简洁看出 就是对称轴且是最小值；并且条件 3〕 成立；假如条件 3〕 成立，那么 ，假如 ，就 1〕 明显成立，否就，取实变量实值函数，其对称点为 ，那么 ，， 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载，从以上三式简洁得到平行四边形法就即 1〕 成立；假如满意 1〕 ，那么这个范数是由内积诱导出来的，依据内积的性质，假如 ，那么依据余弦定理，对于任何实数 有，从而 2〕 成立；命题 1 证完；可见，平行四边形法就和勾股定理一样，都是在表达同样的意思：由内积诱导的范数的一个本质特点，就是它是一个二次根式，且根号内也是二次的；但这些表达方式里只有平行四边形法就是最简洁的；在命题 1 的证明中我们仍可以留意到这样的一个事实：复数向量空间中任何两个向量 ，都可以找到 一个实数 使得 ；在命题 1 中我们是通过分析的方式利用范数的性质解决的， 现在用代数的方法证明这个命题；由于 当且仅当 ，当时我们可以令 ，当 时任何 都满意条件；从上面分析可看出，只要让 的实部满意肯定的条件，即可使勾股定理得到满意；用向量的内积证明勾股定理——体会代数的威力勾股定理是几何中一条特别重要的定理，假如少了它，几何中几乎全部关于长度的运算公式都将失效，我们再也无法通过两点的坐标运算它们之间的距离，无法运算一条曲线的长度，无法知道圆的方程是二次曲线，它仍间接地影响三角函数和复数等众多领域，可以说假如没有勾股定理，数学中大部分的内容将不得不被砍掉；勾股定理的证明有许多种，其中有一些证法很麻烦，有一些较简洁，我国的商高、赵爽和古希腊的欧几里德都是在直角三角形的三边上各画一个正方形，然后用割补法证明直角边的两个三角形面积之和等于斜边上的三角形面积；近现代显现了许多简化的证明，其中有许多以面积为工具，有些已相像形理论为工具，等等；近年来又显现了利用微积分方法的证明，但它们都没有逃脱几何的影子，在证明中都是直接地考察一个直角三角形的几何图形；关于代数与几何的关系，中学生有时候在做零星的几何题时会有所体会，比如，用方程的方式求解一条线段的长度，或求解一个角，或证明两个值之间的关系，等等；这些代数的零散应用依旧没有逃出几何的框架；代数第一次大规模进军几何领域应当是笛卡尔的解析几何；有了平面或空间上的坐标系，每一个点都有了一个坐标，使用两个或三个数组成的数组就可以表示一个点，几何的问题就通过坐标转换成了代数中的方程或运算的问题；不管多么困难的几何问题，通过转换，原就上都是可以用代数方法解决的；不过，勾股定理在这个过程中起到了一个更加基础的作用，坐标系中两点之间的距离公式就是由勾股定理得出的，因此无法在解析几何中用这个公式再证明勾股定理了； 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习好资料 欢迎下载可见，在高中的解析几何中，虽然代数方法已经可以在几何领域大显身手，但几何仍是占据了特别重要的基础位置；真正将几何代数化，我认为是在向量被引入数学之后；从今，代数思想占据了几何中更加基础的位置；从勾股定理的向量证法中可以很深地体会这一点；记向量 u 和 v 的内积为
