二维信号与系统的傅立叶分析.doc

第二章 二维信号与系统的傅立叶分析本章讨论二维光场的傅里叶分析方法§2-1 光波的数学描述一、 平面波的复振幅因为光是电磁波，一般说光场分布和光效应应该用电矢量场来描述但是在有些情况下，把光场作为标量场来讨论是方便的在各向同性的均匀介质中，沿 r 方向传播的理想单色平面谐波是位置和时间的函数，如图所示202urt12用表达式可以表示为 )cos()(2cos00 tkruTtu式中 u0 是振幅，t 是时间， 是沿传播方向的位置坐标， T 是时间周期，时,zyxr间频率 ， λ 是波长（波长的倒数称为空间频率或波数，用 表示） ，T/1 /1称为空间角频率， 称为位相为计算简单，常用复数表示光波场，2k )(tkr即 ]Re[)(0tkrju在实际应用中，为简单起见可以省去 Re[ ]，直接将单色平面波写成)(0tkrjeu而 tjtjjkrtkrj eeu U0)(0式中 称为复振幅，复振幅是位置坐标的函数复振幅是以振幅为模，jkreu0U以初位相 kr 为幅角的复数因为光的时间频率很高（对可见光来说在 1014Hz 左右） ，人眼和其它光接受器达不到如此高的频率响应，所以眼和光接受器接收的都是光的平均强度。

而光的平均强度与振幅的平方成正比，在很多情况下可以只用复振幅表示光波，以使计算简化例如计算光的平均强度，就可以写为 2U|I若平面波传播方向的单位矢量 的方向余弦为 ，定义平面波kˆ }cos,{csˆk传播方向的波矢量 ，那么平面波在空间某点的复振幅还可以表示为kˆ2)coscscos(20 )coscscs(00)(  zyxj zyxjkjeuerrkU二、 球面波的复振幅点光源发出的光波是球面波由于任何光源总可以看成点光源的集合，所以球面波是经常遇到的光波形式球面波的等相面是球面，各点的振幅与该点到球心的距离成反比所以当以球面波的球心为坐标原点时，球面波可以写成 )(0),(tjeratuk仍然是波矢量，r 是(x, y, z)点的矢径，a 0 是 r=1 处的振幅kˆ2对于发散球面波，波矢量 k 与矢径 r 方向相同；而对于会聚球面波，波矢量 k 与矢径 r 方向相反，于是球面波的复振幅可以写作 会 聚发 散jkrjrjear00)(kU当球面波的球心不在坐标原点而在（x 0, y0, z0）时，要注意2022)()()(zxr§2-2 光场中任一平面上的复振幅一、 平面波光场中任一平面上的复振幅我们已经知道平面波光场的复振幅可以写为  j zyxj zyxj zyxjkjeueuer0 )coscscos(2)sss(20 )coscscos(00)(rkU式中 表示空间位相，这样在 x，y ，z 方向的空间频率分别为  cos21,cos21,cos21  zfyff zyx所以平面波光场的复振幅又可以写为 )(200)( zfyfxfjjeuer rkU空间频率的单位是周/毫米（cy/mm） 。

空间频率分量可以为正或负，传播方向 与kˆ坐标轴的正向夹角 小于 90°时是正值，大于 90°是负值),(如果我们把光轴选为 z 轴（如图） ，那么所研究的物平面就平行于 xy 平面如果物平面与 xy 面的距离为 z1，则在物平面处平面波的复振幅为)coscos(2001 1),() zyxjjeuzyxr rkU而 ，即coscos222cos所以 )cos(2cos120)ss(121),( yxjzj zyxj eeuzyx 对于位于 z1 处确定的物平面，复数 与 x，y 无关，它并不反映物1szj平面上各点的复振幅差异，我们令 221coss20zjeuU于是物平面上的复振幅可以表示为 )(20)cos(20),( yfxjyxj eeyx U上式就是平面波光场中与 z 轴垂直平面上的复振幅对于波矢量在 xz 平面内（或者说平行于 xz）的情况，这时 ，所以复振幅0cosxfjxjyxj eeeyx  20cos20)cos(20),(U可以看出，在垂直于 z 轴的物平面上，复振幅只随 x 变化，而与 y 无关。

下图清楚地表明了这一情况等相线是与 x 轴垂直的直线，位相间隔是 2π 的一组等距平行线，这些等相线上各点光震动的情况是相同的（振幅相同，位相相差 2π 的整数倍） ，因此复振幅在与 z 轴垂直的平面上的变化是周期性的，其空间周期在 x 方向是 1/fx，记为Tx=1/fx=λ/cosα，在 z 方向是 1/fz，记为 Tz=1/fz=λ/cos γ对于波矢量 k 不在 xz 平面的一般情况，我们已经导出在垂直于 z 轴的平面内的复振幅是 )(20cos),(yfxjjeyxU显然等相线应该是 ,210)cos(2)(2 nxyfx即 yfyx画出此方程表示的直线族如下由图示的几何关系，得等相线的空间周期为 2222 cos1cos1yxfT二、 球面波光场中任一平面上的复振幅若坐标系的原点与球面波中心重合，所研究的平面仍与 Z 轴垂直，该平面与 xy 平面的距离为 z1，则所考察的平面上的复振幅为212120001),( zyxjkjkrj ezyxaearzyx kU在近轴近似条件下，即 ，根据泰勒级数展开（忽略高阶小量） ，有221yx)21(1221122 zyxzzyx所以 12121210)(0201),(zyxjkzyxjkzyxjkezaeazyxU由上式可以看出，在近轴近似条件下，球面波在与 z 轴垂直的平面上的复振幅的分布特点是：振幅是与 z1 成反比的常量，位相与 z1，x，y 都有关，其等相线是一组同心圆。

当球面波的中心坐标是 ，则观察面上的复振幅为),(0zyx12020 2012020)()( )()()(2011 )(),(zyxjk zyxjkeezazyx U其中 U0 是由点光源和 z0 决定的复常数§2-3 二维傅立叶变换在相干光照明的情况下（即存在干涉效应） ，描述物光波场的函数 是复函数，),(yxg实际上也就是 xy 面上的复振幅其模代表的是振幅，其辐角代表空间初位相),(yxg在非在相干光照明的情况下（即不存在干涉效应） ， 是实函数，也就是 xy 面上),(yxg的光波场的振幅分布下面分别分析这两种情况一、 相干照明的情况在相干光照明的情况下，复振幅 的空间频谱为),(yxgdxyeyxgyxgfGfjyx yx)(2),()],([),( F反之，已知空间频谱 ，求光波场的复函数 ，则yxf , yxfjyxefGyxg yx)(2),()],([),( 1-上式与垂直于 z 轴的平面上的平面波的复振幅 相比较，)(0,fjyxU可以看成是无限多个振幅 U0=1，方向为 ，权重为),(yxg yxffcoscs的平面波叠加的结果。

yxyxdffG二、 非相干照明的情况在非相干照明的情况下，振幅函数 是一个非负实函数对于实函数的频谱),(yxg有以下性质：),(yxf1、 ， （我们称具有这样性质的函数为厄米函数）),(,yxyxfGf2、 ， 即 的模为偶函数||)(| ),(yxfG3、 ， 即 的辐角为奇函数),(,yxyxff所以 ),(),|,(|)),( yxyfjyxfjyx efGf 振幅函数 的空间频谱——即傅立叶变换为),(yxgdxyeggfGfjyx yx)(2),()],([), F所以振幅函数  0 )(2),( )(2)]()(2cos[|),(|2in|| )](cs[|),(|||)],([),( yxyxyxyx yxyxyxyx yfxjfj yxfjyx dffffGj fff deGfyxgyx yx 奇 函 数 的 积 分—偶 函 数 的 积 分1-所以在非相干光照明时，物光波 可以看成是由幅值为 的无,g yxyxdffG|),(|限多个空间频率为 fx, fy 的不同取向的 ]平面波叠加而成)()(2cos[yxyxff实际上   000 )(2 )]()(2cos[|),(||| )]()(s[|),(|co|| )]()s[|),(|),( yxyxyxyx yxyxyxyxyx yxyxyxyxyfxj dffffGfffff dffffGdeg 这样物光波又可以看成是无限多对幅值相同（ ） ，yxydfGG|),(||,| 方向对称( ， ， ， )的平面波的叠加。

xfcosxf)cs(yfcsyfcos(这也正是杨氏双缝干涉的情况由于振幅函数 为非负实函数，所以),(yg 0 )]()(2cos[|),(|2 yxyxyxyx dffffGx 中必存在一个“直流”项，即 ，并且 ，否则就不)]0|||,|0,|G能保证 为非负),(yxgᘖᘖᘖᘖὪ04ᘖ8 ᘖ୦୦§2-4 线性系统和线性空间不变系统有关系的事物按一定方式或规则组成的整体叫系统由光学元件组成的收集、传递或变换信息的一个整体叫光学系统理想成像光学系统就是将空间的物体信息传递、变换到像空间，在象面上形成不失真的物体像，显然这一成像过程是线性的实际成像由于光学元件存在像差，是非线性的但是在一定条件下可把一个成像光学系统近似看成是一个线性系统，或者称线性空间不变系统光学系统与电学系统不同，其输入、输出都为(x,y) 的二维函数（光强为二元实函数，而复振幅为二元复函数） 在傅立叶光学中，常把光学系统对输入信号的转换看成一个数学算符的作用，从而系统的作用就是完成数学上的变换和运算我们用算符 Ƨ[ ]表示系统的作用因此若 表示系统的输入，则系统的输),(1yxg出可以表示为g2(x2,y2)=Ƨ[g1(x1,y1) ]系统的作用只涉及到它将输入信号以什么方式变换为输出信号，算符 Ƨ[ ]已经完全表征了系统的作用，不涉及系统内部的具体结构。

输入和输出信号的关系往往极为复杂，不易找出 Ƨ[ ]的具体形式根据讨论光学成像系统的需要，我们着重研究线性系统和线性空间不变系统一、 线性系统1. 线性系统的定义若系统的输入函数和输出函数有同样的线性叠加关系，则该系统为线性系统用数学表达式就是Ƨ[c1t(x,y)+c2s(x,y) ]=c1Ƨ[t(x,y) ]+ c2Ƨ[s(x,y) ]如果对任何输入函数都可以分解为某些“基元”函数的线性组合，而这些“基元”函数通过线性系统后的输出函数又是可以求得的，则可以通过对这些“基元” 输出函数的线性组合来求得任何输入函数通过该系统后的输出函数，这便是线性系统的最方便之处选取“基元”函数必须考虑两个因素，即① 输入函数能方便地分解成“基元”函数的线性组合；② 系统的“基元”响应函数能比较简单地求得在光学中， “基元”函数主要有两种：δ 函数和复指数函数（包括余弦函数） 2. 脉冲响应和叠加积分下面以“点基元”为例说明线性系统的分解和综合过程所谓的“点基元”即取 δ 函数作为“基元”的函数根据 δ 函数的挑选性质，任何输入函数 可以表示为),(1yxgdyxg),(),, 111上式可以看成一种特殊的线性叠加，叠加系数为 。

输入函数g,(通过系统后的输出函数 为),(1yxg ),(2y。