补形法在立体几何中的应用.docx
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补形法在立体几何中的应用李远国在立体几何中，有许多题如果采用原来的几何体去求解，有时显得 十分繁难但根据问题的已知条件及证题需要 ，合理地将原来的几何 体适当地向外延伸、补加、移位，使之扩展为一个特殊、简单、完整 且特征较为熟悉的几何体，再利用所得新的几何体求解，这种方法叫补 形法补形法是解立几题的一种重要的思想方法 ，它不仅能缩短从已 知到未知的探求过程，起到化难为易、驭繁就简的作用，而且能培养学 生丰富思维能力，促进创造性思维的发展其基本策略归纳如下一、补成正方体或长方体例1正方形ABCD及ADEF所在平面互相垂直，求AC和DF所成的解:如图,将图形补成正方形ABCD — FPQE,v PC// FD,•••/ ACP为AC和DF所成的角.易知/ ACP=60° ,• AC和DF所成角为60°例2过正方形ABCD的顶点A作PA丄平面ABCD,设AB=PA,求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小解:，将图形补成正方体 ABCD — PQMN,v QP丄 AP QP丄 PD,「•/ APD为面PAB和面PCD所成的二面角的 平面角v/ APD=45 °故所求的二面角为45°例3正四面体S— ABC的棱长为2,求 (1)SA和BC的距离,⑵正四面体S— ABC外接球半径R解:，将正四面体补成正方体 APCQ—— MBNS,则正方体棱长为1 (1)SA和BC距离就是平面SA与平面BC间距离，显然是1(2)正四面体外接球，也就是正方体的外接球。
球的直径2R是正方体对角线长,A P例4:在三棱锥P-ABC中，三组相对棱相等，且分别为13、14、15, 求其体积解:因为长方体对面不平行的对角线恰好可组成对棱相等的三棱锥 ，故将三棱锥补成长方体，设长方体三棱分别为a、b、c2 2 2a b M32 2 2b c =142 2 2则 c a =15a - - 99—70 解得126-V三棱锥=V长方体一 4V A_BCD1 1=abc -4 abc1 abc =42.55 3评注：对棱长全相等的正四面体通常把它补成正方体若是相对 棱长相等的四面体，则可考虑把它补成长方体二、台体补锥体例5:正三棱台ABC-A ' B' C'侧面与底面成45°，求侧棱与底面所成角的正切解:将图形补成正三棱锥S ABC,设AB中点EAABC中心0,/ SEO为侧面与底面所成角的平面角=45令 S0二h，则 OE=hOA =OEo=2hRt△ AEO 中,sin30tgSAO-^JRt△sAO 中， OA 2丄故侧棱与底面所成角正切为2三、锥体补成柱体例6 如图,三棱锥P-ABC中，已知PA丄BC,PA二BC=1,PA、BC的公垂线 ED=h.1 2V = — 1 h求证:三棱锥P — ABC的体积 61解:以△ ABC为底面，以PA为侧棱补成三棱柱ABC — PB‘ C .1 2* V 三棱柱=1S EBC = ^1 h_ 1 _ 1 2-V三棱锥=;V三棱柱=;1h3 6例7在四棱锥 A ‘一 ABCD中,A ' A丄底面ABCD,A 〃二a底面ABCD 是边长为a的正方形，求过A垂直于A ' C的截面的面积.解:，将四棱锥A ‘一 ABCD补成正方体ABCD — A ' B' C D', 易证A ' C丄截面AB' C,且A '在截面上的射影 R是正△ AB ' D ' 的中心.•••过A垂直于A ' C的原四棱锥的截面是四边形 APRQ.而^ APR s AB ' O ',Sab D = 43 ( \ "JO)，2 a"'=1 _ ^3 2…S^PR - 3Sab O = 12 a .所求截面面积SLAPRQ=2S_APR=~fa2四、补相同的几何体例 8 长方体 ABCD -A1B1C1D1 中'AB= 2 ' AD=1 ' AA1 二2 '求异面 直线A1C1与BD1所成的角。
图5解：如图5,补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的长方体BiF，连结BF，则/ DlBF为异面直线AlCl与BD1所成的角，亠1而AB J , AD=1 , 72 虽 BD卫 「连结DiF，在△ DiBF中，BF= 2 , 1 2 , DiF-5，由余弦定理得cos.— Dj BF10535故A1C1与BD1所成角为arccos10535评注：补相同几何体之目的在于平移相关直线例9斜三棱柱的一个侧面的面积等于s,这个侧面与它所对的棱的距离1 sa 求证：这个棱柱的体积等于2 .解：设侧面A ACC的面积为s,侧棱BB到侧面A ACC的距离为a将三棱柱 ABC — A B C •拼成四棱柱ADBC — A D B C，如图181则V四棱柱=sa V三棱柱=2sa五、对相应的平面图形补形平面图形翻折成空间图形问题，有时不容易画好直观图，可以先 对平面图形作必要的补形，如补成矩形、正方形等，使翻折图形理想 化（成为直棱柱、正棱柱等）例10在平行四边形 ABCD中，AC丄AB , AB=AC=a ,把它沿对角线AC折成60°的二面角求：D到AB的距离解：将平行四边形 ABCD补成矩形BFDE， 沿AC折成60的二面角后形成三棱柱 ABF — CED， 如图20取AB中点K 贝V FK _AB，从而 DK _ ABFK= 2,2RtLDKF 中，DK= 一 DF2+FK2二子a，即D到AB的距离为—a。
2例11把RtA ABC沿直角C的平分线CD折成60°的二面角A — CD —B,求:BC与平面ACD所成的角，解:将图形ABC补成矩形FBHG，折后形成直三棱柱FEB—GCH,作BM丄EF垂足为M,则BM丄面ADC，•••/ BCM为BC于平面ADC所成的角.设 BC=a,贝UBE 2a,2迈 46BM= asi n60 = a,2 4Rt BMC中，sinMCB= BM=-6 ,BC 4l6.BC与平面ACD所成的角为arcsin -4六、不规则几何体补成规则几何体例12如图，多面体的底面是边长为I的正方形，上面的棱平行于底面，其长为2I，其余棱均为I，求这个多面体的体积解：如图7,作以2I为棱长的正四面体ABCD，连结AC、AD、 BC、BD中点组成的四边形为正方形即为多面体的底面（因正四面体 的对棱互相垂直），这个正方形所在平面把四面体分成两个全等的多_ 1V多面体=—V 面体，故 2正四面体=1丄2 3，2l 2l33 3图6OC图7补形法往往与分割法一起使用，可以灵活地解决立体几何中角、距 离及体积等问题补形法不仅能缩短从已知到未知的探求过程 ，获得 优解,而且还能培养丰富的想像力，促进创造性思维的发展。
