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第六章自由电子论和电子的输运性质习题i. 一金属体积为V，电子总数为N，以自由电子气模型1）在绝热条件下导出电子气的压强为3其中U =_ NE 0.0 5 F（2）证明电子气体的体积弹性模量【解 答】（1） 在绝热近似条件下，外场力对电子气作的功W等于系统内能的增加dU，即 式中P是电子气的压强.由上式可得在常温条件下，忽略掉温度对内能的影响，则由《固体物理教程》（）式得 由此得到（2） 由《固体物理教程》（）式可知，体积弹性模量K与压强P和体积V的关系为 将代入体积弹性模量K与压强P和体积V的关系式，得到2. 二维电子气的能态密度证明费米能其中 n 为单位面积的电子数.【解 答】 由已知条件可得单位面积金属的电子总数作变量变换则有即1 + eEF kBT = en币|2 mkBT由上式解得3. 金属膨胀时，价带顶能级 发生移动 证明【解 答】 解法一：金属中自由电子的费米能 可认为是能带顶，式中 当金属体积膨胀后，体积由v变成了V'二V + AV，费米能变成了费米能的变化量与已知条件比较可得解法二：由《固体物理教程》（）式可知，自由电子的能态密度电子总数 金属膨胀后，能态密度增大，费密能级降低，但电子总数不变，即 由以上两式解得4•由同种金属制做的两金属块，一个施加30个大气压，另一个承受一个大气压，设体积弹性模量为1011 Nm2，电子浓度为5 X 1028 ；m3计算两金属块间的接触电势差.【解 答】两种金属在同一环境下，它们的费密能相同，之间是没有接触电势差的.但当体积发生变化，两金属的导电电子 浓度不同，它们之间将出现接触电势差•设压强为0时金属的费密能为Ef，金属1受到一个大气压后，费密能为Ef 1，金属 E2受到30个大气压后，费密能为Ef2，则由《固体物理教程》（）式可知，金属1与金属2间的接触电势差 由上边第 3 题可知由《固体物理教程》（）式可知，固体的体积变化AV与体积弹性模量K和压强P的关系为 所以两金属的接触电势差将代入两金属的接触电势差式子，得 e e5•若磁场强度B沿z轴，电流密度沿x轴，金属中电子受到的碰撞阻力为—P丘，P是电子的动量，试从运动方程出发,求金属的霍尔系数.解 答】电子受的合力eF=dPdt1）由于电子受的阻力与它的速度成正比，所以电场力与阻力平衡时的速度是最高平均速度，此时电子的加速度变为0，（1）式化成B)2）因为电流的方向沿x轴，平衡后，电子沿z轴方向和y轴的速度分量为0.因此，由（2）式得eTmx3)由以上两式得0=- a + eTBv.4)=Bv5)称为霍耳电场，其方向与磁场和电流方向的关系如图所示.图 霍尔电场将电流密度j =b£xx和（5）式一并代入霍耳系数R=8—1HjB得到R=HxeTmG6)7)8)将《固体物理教程》（）式代入上式，并取m*=m得6. 试证金属的热导率 其中 l 是费密面上电子的平均自由程.【解 答】 T由《固体物理教程》（）式可知，金属中导电是电子的弛豫时间T满足以下关系 电子的波矢 k 在空间内的分布十分密集，上式可用积分表示令（）则W\E,9方。

是能量为E的电子在单位时间内被散射到立体角内的几率.如果散射是各向同性的，W（E，9）与9无关，则上式说明，1T就是能量为E的电子在单位时间内总的散射几率，也就是说T是电子的平均自时间.由《固体物理教程》（）式可知，金属的热导率式中TF是费密面上的电子的平均自由时间.电子的平均自由时间TF和平均速度vF与平均自由程1的关系是 而平均速度由下式求得 于是得到k —严2 kBT3@mE0）2F7•设沿Xy平面施加一电场，沿Z轴加一磁场，试证，在一级近似下，磁场不改变电子的分布函数，并用经典力学解释 这一现象.【解 答】在只有磁场和电场情况下，《固体物理教程》（）式化成 由上式可解得 考虑到外界磁场和电场对电子的作用远小于原子对电子的作用，必有 于是有相当好的近似因为所以 _①冒可见在一级近似下，磁场对分布函数并无贡献由经典理论可知，电子在磁场中运动受到一洛伦兹力—ev x B，该力 与电子的运动方向v垂直，它只改变电子的运动方向，并不增加电子的能量，即不改变电子的能态也就是说，从经典理论看, 磁场不改变电子的分布函数.8. f0 是平衡态电子分布函数，证明【解 答】金属中导电电子处于平衡态时，其分布函数FB9.立方晶系金属，电流密度J与电场8和磁场令 则有试把此关系改写成【解 答】立方晶系金属的电流密度j与电场8和磁场B的关系是 对大多数金属来说，T F Q 10"14秒，如果取加-m，则有 因此电流密度的主项 也即电场的主项式中 ww 为立方晶系金属的电阻率.由立方晶系金属的电流密度j与电场8和磁场B的关系解得 将电场的主项代入上式右端的8 中，得到其中10. 有两种金属，价电子的能带分别为 其中A > B，并已测得他们的费米能相等.（1）它们的费米速度哪个大？（2）在费米面上的电子的弛豫时间相等的情况下，哪种金属的电导率大？ 【解 答】（1）已知A金属与B金属的费米能相等所以金属中电子的费米半径kF、费米速度VF和有效质量处的关系是m* v =耳 kF= F.A金属电子的有效质量B 金属电子的有效质量于是 因为A > B，所以A金属电子的费米速度大.（2）如果外电场沿X方向，则X方向的电场8 x与电流密度jx的关系（参见《固体物理教程》式）为上式积分沿费米面进行.将上式与 比较，可得立方晶系金属的电导率 在费米面是一球面的情况下，上式积分为 其中利用了 V kE=叩.将关系式 代入电导率式得于是可见B金属的电导率大.11. 求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能及一个电子对比热的贡献. 【解 答】设一维一价金属有N个导电电子，晶格常数为Q •如图所示，在E - E + dE图 一维金属中自由电子的能带能量区间波矢数目为 利用自由电子的能量于波矢的关系 可得E - E + dE能量区间的量子态数目 由此得到能态密度在绝对零度时费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有由上式即可求得电子的费米能 平均一个电子所具有的能量f（£ ）其中 f E 是电子费米分布函数.利用分布积分，得到 利用《固体物理教程》（）和（）两式得2a* 2mE = 一3兀耳平均一个电子对热容量的贡献为其中利用了费米能与费米温度的关系E = k TF B F.12. 对于二维金属，重复上述问题.【解 答】如图所示，在绝对零度时，二维金属中的导电电子（设为自由电子）在波矢平面内充满一费米圆 •自由电子的能量E二耳2k2 2m，所以能量E T E + dE区间的电子占据图中dk的范围•在此范围内的波矢数目为图 二维波矢空间其中是二维金属中导电电子的波矢密度，s是金属面积.由e二n2k22m得能量E T E + dE区间的量子态数目则为能量密度在绝对零度时，费米能级以下的量子态全被电子占据，所以有由上式可得其中 n 是金属中导电电子的密度.可见二维金属中导电电子的费米半径为平均一个电子所具有的能量利用分布积分，得到利用《固体物理教程》（）和（）两式得平均一个电子对热容量的贡献为13•证明热发射电子垂直于金属表面运动的平均动能为kB，平行于表面运动的平均动能也是B【解 答】 当无外加电场，温度也不太高时，金属中的价电子是不会脱离金属的，因为金属中的价电子被原子实紧紧的吸引着，电 子处于深度为E0 一势阱中•如图所示，要使最低能级上的电子逃离金属，它至少要从外界获得E0的能量•要使费米面上的电 子逃离金属，它至少要从外界获得申二％ — Ef丿的能量.为方便计，取一单位体积的金属•在k空间内dk范围内的电子数目E图深度为E0势阱其中转换成速度空间，则在V TV + dV区间内的电子数目式中利用了关系对于能脱离金属的热发射电子，其能量E必满足一 Ef >申）对大多数金属来说,申>> kBT，所以必有 式中已取 于是 设金属表面垂直于z轴，热发射电子沿z轴方向脱离金属，则要求 而速度分量Vx、Vy可取任意值•所以在区间Vz T Vz + dVz的热发射电子数目x y z z z利用积分公式得到垂直于金属表面的速度分量为 的电子在单位时间内逃出金属表面的数目为于是，热发射电子垂直于金属表面运动的平均能量利用积分公式得到E0 是金属中的电子脱离原子实的吸引所需要的最低能量，在克服原子实的吸引脱离金属的过程中，这部分能量已消耗掉了因此脱离金属的电子垂直于金属表面运动的平均动能为BBB因为在V TV +dV速度区间内的电子，在单位时间内逃出金属表面的数目为所以，热发射电子平行于金属表面运动的平均动能利用积分公式得到热发射电子平行于金属表面运动的平均动能为14. 证明，当kBT << EF时，电子数目每增加一个，则费密能变化N Q 0）B F其中 N EF0 为费密能级处的能态密度.【解 答】由《固体物理教程》（）式可得式中当电子每增加一个，费密能的变化因为导电电子数目很在，所以于是由《固体物理教程》（）式可知，自由电子的能态密度由此可得F15. 每个原子占据的体积为a3，绝对零度时价电子的费密半径为 计算每个原子电子数目.【解答】 由《固体物理教程》（）式可知，在绝对零度时导电电子的费密半径 现在已知一金属导电电子的费密半径 所以，该金属中导电电子的密度a3 是一个原子占据的体积，由此可知，该金属的原子具有两个价电子.16. 求出绝对零度时费密能ef、电子浓度n、能态密度nVeF '及电子比热CV与费密半径kF的关系.【解答】绝对零度时电子的费密半径 电子浓度n与费密半径的关系是 由《固体物理教程》（）式可得到绝对零度时电子的费密能与费密半径的关系为 由《固体物理教程》（）式可知，自由电子的能态密度是由此可得 由《固体物理教程》（）式可知平均一个电子对热容量的贡献为 因为所以一个电子的热容与费密半径的关系为17. 经典理论认为，所有价电子都参与导电,电流密度j与所有电子的漂移速度Vd的关系是已知铜的电子浓度n二1029...： m3 , j二5 X IO4 A m3 ,试比较费密速度VF和漂移速度Vd .【解答】UkF是费密面上电子的动量,电子的费密速度则为将漂移速度与费密速度比较,得将代入上式,得到可见如果认为所有价电子都参与导电,则价电子的漂移速度将远小于费密面上电子的速度.这一点也不难理解,因为量子论认为, 参与导电的电子只是费密面附近的少数电子•如果把费密面附近的电子对电流的贡献也粗略地写成由于n'<< n,所以v >> v .由于 F d18. 电子漂移速度Vd满足方程试确定稳定态时交变电场下的电导率【解答】设交变电场则电子漂移速度满足的方程变成 设上式的特解为 则 A 满足的方程为由上式的到齐次方程的通解为电子漂移速度满足的方程的解为w 熙 eT8v = Be -1 t ——f -0——eiwt.d = m\1 + i®T 丿当电子达到稳定态后，上式右端的第一。