学年高中数学第三章不等式简单线性规划第课时简单线性规划的应用练习含解析北师大版必修.doc

简单线性规划的应用A级　基础巩固一、选择题1．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件，则z＝10x＋10y的最大值是(　C　)A．80　　　　　　　 B．85C．90　 D．95[解析]　画出不等式组，表示的平面区域，如图所示．由，解得A(，)．而由题意知x和y必须是正整数，直线y＝－x＋向下平移经过的第一个整点为(5,4)．z＝10x＋10y取得最大值90，故选C．2．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为(　B　)A．2件，4件　 B．3件，3件C．4件，2件　 D．不确定[解析]　设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则，求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．3．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为(　A　)A．1　　　 B．－1　　　　C．3　　　 D．－3[解析]　作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.4．已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　B　)A．5　 B．4C．　 D．2[解析]　本题考查线性规划与点到直线的距离．如图所示∴A点坐标为(2,1)，z＝ax＋by在A点处取得最小值2，即2a＋b＝2.a2＋b2可看作两点(0,0)(a，b)的距离的平方，原点到直线2a＋b＝2的距离的平方是()2＝4.5．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元．对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为(　B　)A．36万元　　　　　　 B．31.2万元C．30.4万元　 D．24万元[解析]　设对甲项目投资x万元，对乙项目投资y万元，所获利润z＝0.4x＋0.6y万元．根据题意得，画出可行域如图，作直线l0：2x＋3y＝0，平移直线l0可见，当平移到经过可行域内的点A时，z取最大值，由得∴zmax＝0.424＋0.636＝31.2(万元)．6．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝(　C　)A．4 650元　 B．4 700元C．4 900元　 D．5 000元[解析]　设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得.设每天的利润为z元，则z＝450x＋350y.画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，经过点A时取得最大值，又由得.即A(7,5)．∴当x＝7，y＝5时，z取到最大值，zmax＝4507＋3505＝4 900(元)．故选C．二、填空题7．当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是[1，].[解析]　考查线性规划最优解问题．作出不等式所表示区域．由1≤ax＋y≤4.∴a≥0，且在(1,0)点取最小值，在(2,1)取得最大值．故a≥1,2a＋1≤4　∴a≤，故a∈[1，]．8．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是[，4].[解析]　本小题考查线性规划问题，直线过定点问题. 直线y＝a(x＋1)，过定点P(－1,0)，可行域D如图A点坐标为(0,4)，，∴B点坐标(1,1)，∴kPA＝4，kPB＝＝，∴a∈[，4]．三、解答题9．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，求m的值．[解析]　本题是线性规划问题．先画出可行域，再利用最大值为4求m.由m>1可画出可行域如图所示，则当直线z＝x＋5y过点A时z有最大值．由得A(，)，代入得＋＝4，即解得m＝3.10．某人承包一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3 m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2 m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？[解析]　设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个．由题意可得：所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图．在一组平行直线3x＋2y＝t中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，∴最优解为：x＝2，y＝1，∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小．B级　素养提升一、选择题1．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为(　B　)A．1，－1　 B．2，－2C．1，－2　 D．2，－1[解析]　本题主要考查线性规划问题．不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z＝x＋2y过点(0，－1)，(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x＋2y的最大值和最小值分别为2，－2，故选B．2．已知z＝x2＋y 2－4x－4y＋8，则z的最小值为(　B　)A．　 B．C．　 D．[解析]　画出可行域如图所示．z＝(x－2)2＋(y－2)2为可行域内的点到定点(2,2)的距离的平方，∴zmin＝2＝.3．若实数x、y满足不等式，且x＋y的最大值为9，则实数m＝(　C　)A．－2　 B．－1C．1　 D．2[解析]　如图，作出可行域．由，得A，平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取最大值，即＋＝9.解得m＝1.4．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为(　C　)A．2 800元　 B．2 400元C．2 200元　 D．2 000元[解析]　设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4，0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y.线性约束条件为，作出可行域如图，则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，故选C．二、填空题5．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180 t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10 t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元，B型卡车为504元．每天调配A型卡车5辆，B型卡车2辆，可使公司所花的成本费用最低．[解析]　设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，依题意有⇒.目标函数z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示，即可行域．由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(5,2)使z＝320x＋504y取得最小值，z最小值＝3205＋5042＝2 608(元)．6．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张．如果小明带有10元钱，共有11种买法．[解析]　设购买8角和2元邮票分别为x张、y张，则，即.∴2≤x≤12,2≤y≤5，当y＝2时，2x≤15，∴2≤x≤7，有6种；当y＝3时，2x≤10，∴2≤x≤5，有4种；当y＝4时，2x≤5，∴2≤x≤2，∴x＝2有一种；当y＝5时，由2x≤0及x≥0知x＝0，又∵x≥2，故不满足题意．综上可知，不同买法有：6＋4＋1＝11种．三、解答题7．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造1 t甲产品要用煤9 t，电力4 kW，劳动力(按工作日计算)3个；制造1 t乙产品要用煤4 t，电力5 kW，劳动力10个．又知制成甲产品1 t可获利7万元，制成乙产品1 t可获利12万元．现在此工厂只有煤360 t，电力200 kW，劳动力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少吨能获得最大经济效益？[解析]　设此工厂应分别生产甲、乙产品x t，y t，利润z万元，则依题意可得约束条件：利润目标函数为：z＝7x＋12y.画出可行域如图所示．作直线l：7x＋12y＝0，把直线l向右上方平移到l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝7x＋12y取最大值．解方程组得M点坐标为(20,24)．∴生产甲种产品20 t，乙种产品24 t，才能使此工厂获得最大利润．8．某厂有一批长为18 m的条形钢板，可以割成1.8 m和1.5 m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．[解析]　设割成的1.8 m和1.5 m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且，作出不等式组表示的平面区域如图，又由，解出x＝，y＝，∴M(，)，∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝193＋14.48＝172.2(元)．又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝190＋14.412＝172.8(元)；过顶点(8,0)的直线使z＝198＋14.40＝152(元)．M(，)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z＝19x＋14.4y过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)时z＝167.6.∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．答：只要截1.5 m长的零件12个，就能获得最大利润．6。