历届数学高考试题精选导数及其应用最新（精华版）.pdf

1 / 49 历届高考中的“导数”试题精选( 文科自我测试) 一、选择题：（每小题5 分，计 50 分） 题号12345678910 答案 1.(2005 全国卷文 )函数93)( 23 xaxxxf,已知)(xf在3x时取得极值 ,则 a=( ) （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 2(2008 海南、宁夏文)设( )lnfxxx，若 0 ()2fx，则 0 x（） A. 2 eB. eC. ln 2 2 D. ln 2 3（ 2005 广东） 函数13)( 23 xxxf是减函数的区间为（） A),2(B)2 ,(C)0,(D（ 0，2） 4.（2008 安徽文） 设函数 1 ( )21(0),f xxx x 则( )f x（） A有最大值B有最小值C是增函数D是减函数 5（2007 福建文、理)已知对任意实数x 有 f(x)=f(x) ， g(-x)=g(x) ， 且 x0 时， f (x)0， g (x)0 ， 则 x0，g (x)0 B f (x)0， g (x)0 C f (x)0 D f (x)0， g (x)0）有极大值9. （）求m 的值；（）若斜率为-5 的直线是曲线( )yf x的切线，求此直线方程. 历届高考中的“导数”试题精选( 文科自我测试) 参考答案 | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. 3 / 49 一. 选择题：（每小题5 分，计 50 分） 题号12345678910 答案DBDABACABC 二、填空题：( 每小题 5分 , 计 20 分) 11. 520 xy ; 12. 3 8 ；13. 32 ；14.2, -2 . 三、解答题：(15,16小题各 12 分, 其余各小题各14 分) 15. 解：（ I） f (x) 3x26x9令 f (x)0，解得 x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（ 3，） （II）因为 f( 2)81218a=2a， f(2) 812 18a 22a， 所以 f(2)f(2)因为在（1，3）上 f (x)0，所以 f(x)在 1, 2上单调递增， 又由于 f(x)在2， 1上单调递减， 因此 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间 2，2上的最大值和最小值， 于是有22a20，解得a 2 故 f(x)=x33x29x2，因此 f(1)139 2 7， 即函数 f(x)在区间 2，2上的最小值为7 16. 解（） 32 fxxbxcx， 2 32fxxbxc。

从而 322 ( )( )( )(32)g xf xfxxbxcxxbxc 32 (3)(2 )xbxcb xc是一 个奇函数，所以(0)0g得 0c ，由奇函数定义得 3b ； （）由（）知 3 ( )6g xxx，从而 2 ( )36g xx，由此可知， (,2)和(2,)是函数( )g x是单调递增区间；(2,2)是函数( )g x是单调递 减区间； ( )g x在2x时，取得极大值，极大值为4 2，( )g x在2x时，取得极小值，极小 值为42 17.解： ()由 32 ( )f xxbxcxd的图象过点P（0，2） ,d=2 知,所以 32 ( )2f xxbxcx,f(x)=3x 2+2bx+c,由在 (-1,(-1) 处的切线方程是 6x-y+7=0, 知 -6-f(-1)+7=0, 即 f(-1)=1, f(-1)=6, 326, 121, bc bc 即 0, 23, bc bc 解得 b=c=-3. 故所求的解析式为f(x)=x 3-3x2-3x+2, () f(x)=3x 2-6x-3,令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 x 1=1-2,x2=1+2, 当 x1+2时 , f(x)0; 当 1-2x1+2时, f(x)0 f(x)=x 3-3x2-3x+2 在(1+ 2,+)内是增函数 ,在 (- , 1-2)内是增函数 ,在(1-2,1+2)内 是减函数 . | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. 4 / 49 18.解：设长方体的宽为x （m），则长为 2x(m)，高为 2 3 0(m)35.4 4 1218 xx x h. 故长方体的体积为). 2 3 0()(m69)35.4(2)( 3322 xxxxxxV 从而).1(18)35. 4(1818)( 2 xxxxxxV 令 V（ x） 0，解得 x=0（舍去）或x=1，因此 x=1. 当 0 x1 时， V（ x） 0；当 1x 3 2 时， V（ x） 0， 故在 x=1 处 V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。

从而最大体积VV（ x） 9 12-6 13（m3），此时长方体的长为2 m，高为 1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m3 19解：（） 2 ( )363 (2)fxaxxx ax 因为2x是函数( )yf x的极值点，所以(2)0f，即6(22)0a，因此1a 经验证，当1a时，2x是函数( )yf x的极值点 （）由题设，xxaaxxg6) 1(3)( 23 0)0(g 当( )g x在区间0 2，上的最大值为(0)g时，06)1(3 23 xxaax对一切2,0 x都 成立， 解法一：即 xx x a 3 63 2 对一切2,0 x都成立令 xx x x 3 63 )( 2 ，2,0 x，则 min )(xa 由0 )3( 6)2( 3 )( 22 2 xx x x，可知 xx x x 3 63 )( 2 在2,0 x上单调递减， 所以 5 6 )2()( min x， 故 a 的取值范围是 6 5 ， 解法二：也即06)1(3 2 xaax对一切2,0 x都成立， （1）当 a=0 时， -3x-60 在2 ,0 x上成立； （2）当0a时，抛物线6)1(3)( 2 xaaxxh的对称轴为 a a x 2 )1(3 ， 当 a0 时，0 2 ) 1(3 a a ，有 h(0)= -60, 所以 h(x)在),0(上单调递减， h(x) 0 时,因为 h(0)= -60） . （）令F（x） xf（x），讨论F（x）在（ 0.）内的单调性并求极值； （）求证：当x1 时，恒有xln2x2a ln x 1. . 历届高考中的“导数”试题精选( 理科自我测试) 参考答案 一、选择题：（每小题5 分，计 50 分） 题号12345678910 答案CACBDDDCCC 二、填空题：( 每小题 5分 , 计 20 分) 11.3 ；1216；13.2 ； 14. 23 R4R 3 4 ,球的体积函数的导数等于球的表 面积函数 三、解答题：(15,16小题各 12 分, 其余各小题各14 分) 15. 解：每月生产x 吨时的利润为)20050000() 5 1 24200()( 2 xxxxf ).(200,200024000 5 3 )( )0(5000024000 5 1 21 2 3 舍去解得由 xxxxf xxx | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. 9 / 49 0)(200),0)(xfxxf使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大 值为：)(31500005000020024000)200( 5 1 )200( 3 元f 答：每月生产200 吨产品时利润达到最大，最大利润为315 万元 . 16. 解： ( ) 因为 22 ( )91fxxaxx, 所以 2 ( )329fxxax 2 2 3()9. 33 aa x 即当 2 ( )9. 33 aa xfx时，取得最小值 因斜率最小的切线与126xy平行，即该切线的斜率为-12 ， 所以 2 2 912,9. 3 a a即解得3,0,3.aaa由题设所以 () 由( ) 知 32 3,( )391,af xxxx因此 2 12 ( )3693(3(1) ( )0,1,3. (, 1)( )0,( )(1 ( 1,3)( )0,( )13 ( )0,( )3. ( )(, 13 fxxxxx fxxx xfxf x xfxf x fxf x f x 令解得： 当时，故在， ）上为增函数； 当时，故在（，）上为减函数； 当x (3,+) 时，故在（ ，）上为增函数 由此可见，函数的单调递增区间为）和（ ，）； 单调递减区13 .间为（， ） 17解：（ 1） 32 ( )1f xxaxx求导： 2 ( )321fxxax 当 2 3a时，0，( )0fx, ( )f x在R上递增 当 2 3a，( )0fx求得两根为 2 3 3 aa x 即( )f x在 2 3 3 aa ， 递增 , 22 33 33 aaaa ， 递减 , 2 3 3 aa ， 递 增 （2）要使 f(x) 在在区间 21 33 ，内是减函数， 当且仅当，0)(xf在 21 33 ，恒成立， 由)(xf的图像可知，只需 0 3 1 0 3 2 f f ，即 0 3 2 3 4 0 3 4 3 7 a a , 解得。

a2 所以，a的取值范围, 2 18.解：（）因为,)()( xx eexf所以切线l的斜率为, t e 故切线l的方程为).(txeey tt 即0)1 (t eyxe tt （）令y= 0 得 x=t+1, x=0 得)1(t ey t | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. 10 / 49 所以 S（ t）=)1()1( 2 1 tet t = t et 2 )1( 2 1 从而).1)(1( 2 1 )(ttetS t 当t（0， 1）时，)(tS0, 当t（1,+）时 ,)(tS0) 的图像在点 (ak,ak2)处的切线与x 轴的交点的横坐 标为 ak+1, kN其中 ，若 a1=16，则 a1+a3+a5 的值是 _ 【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容 【思路点拨】 先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0) 的图像在点 (ak,ak2)处的切线的斜率，然 后求得切线方程，再由 0y ，即可求得切线与x 轴交点的横坐标 【规范解答】由y=x2(x0) 得， 2yx ， 所以函数y=x2(x0) 在点 (ak,ak2)处的切线方程为： 2 2(), kkk yaaxa 当 0y 时，解得 2 k a x ， 所以 1135 ,164121 2 k k a aaaa . | 精. | 品. | 可. | 编. | 辑. | 学. | 习. | 资. | 料. 13 / 49 【答案】 21 7.（2010江苏高考4）将边长为1m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块， 其中一块是梯形，记 2 ( S 梯形的周长） 梯形的面积 ,则 S的最小值是 _ _。

【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想 【思路点拨】 可设剪成的小正三角形的边长为 x ，然后用 x 分别表示梯形的周长和面积，从而 将 S 用 x 表示，利用函数的观点解决. 【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为 x， 则： 22 2 (3)4(3) (01) 1133 (1)(1) 22 xx Sx x xx 方法一：利用导数的方法求最小值 2 2 4(3) ( ) 13 x S x x ， 22 22 4(26) (1)(3)( 2 ) ( ) (1) 3 xxxx S x x 22 2222 4(26) (1)(3)( 2 )42(31)(3) (1)(1)33 xxxxxx xx 1 ( )0,01, 3 S xxx ， 当 1 (0, 3 x 时， ( )0,S x 递减；当 1 ,1) 3 x 时， ( )0,S x 递增； 故当 1 3 x 时， S的。