课题正弦定理.doc

课题：正弦定理教材：普通高中课程标准实验教科书 数学必修 5【教学目标 】（ 1）知识与技能： ①掌握正弦定理的推导，并能用正弦定理解斜三角形; ②正确使用计算器进行运算 .（ 2）过程与方法： 通过从特殊到一般的方法研究正弦定理，按照“猜想－思考－交流－实验－证明－得出结论” 的方法进行启发式教学， 使学生从中体验数学发现和创造的历程，养成良好的学习思维习惯 .（ 3）情感态度与价值观 ①体会正弦定理结构中简洁、对称、和谐的形式美;②通过知识之间的联系与推理使学生明白事物之间的普遍联系与辩证统一 .【教学重点 】正弦定理的推导【教学难点 】正弦定理的多种推导思路与方法【教学方法 】启发引导、探究讨论【教学手段 】应用多媒体（ PPT，几何画板，实物投影）及计算器辅助教学【教学过程 】1. 正弦定理的探究发现师：请同学们每人在课前发的纸上用直尺任作一个三角形，用量角器、直尺量出三角形的各边和对角，用计算器算出各边与对角的正弦之比（学生动手测量计算，完成下表）aa= A=sin Abb= B=sin Bcc= C=sin C师：（实物展示 3 位学生测量结果）同学们测量出各边与对角正弦值的比 . 看看各位同学的实验结果对此结论大家会有什么样的想法？学生 4：猜想有abcsin Asin Bsin C（再用计算机软件《几何画板》来验算一下：从特殊到一般，演示①直角三角形，1演示②正三角形，演示③任意三角形，都有abcsin Asin B）sin C2. 正弦定理证明：师：通过画图，测量和电脑演示得出的结论只是实验结果， 不能直接拿来使用，是否具有一般性必须经过严格证明 . 这正是数学的严谨性所在 .下面来一起证明：不妨设∠ C 为△ ABC的最大内角（板书证明――分类讨论）（ 1）首先在 Rt△ ABC中（如图）AAccbbBaCBa DCabcabcc ，cc 即：sin Bsin Csin Asin Bsin Csin A（ 2）其次在锐角△ ABC中，过顶点 A 作 BC边上高 AD，在 Rt△ ABD和 Rt△ACD中高AD＝csinB= bsinc 即bcabsin Bsin C，同理可得：sin A sin B所以在锐角△ ABC中也有abcsin Asin B sin CA（ 3）再次在钝角△ ABC中，过点 A 作 AD⊥BC，交BC延长线于AD且cbD ， 此 时 有 sin BcsinACBsin(1800ACB )AD ,则同理有bBaCDbcs i BnCs i n所以在钝角△ ABC中也有abcsin Asin Bsin C综合以上知：在△ ABC中，都有abcsin Asin Bsin C简评：经过画、量、算、猜、证得到证明 .称abc为正弦定理 .sin A sin Bsin C（板书课题： 正弦定理 ）2（板书正弦定理内容： 符号形式abcsin B）sin Asin C师：请大家再研究讨论看有没有其它证法（参照课本第5 页提示）（小组合作讨论研究）（实物展示学生5 证法）利用向量的数量积证明在△ ABC中, 有 BCBAAC . 不妨设∠ C为最大角 , 过点 A 作 AD⊥BC于 D, 于是BC AD(BAAC)ADBAADACAD即0=BAAD cos(90B)ACAD cos，其中，当∠ C 为锐角或直角时，＝90°-C; 当∠ C为钝角时，＝ C -90 ° . 故可得 csinB-bsinC=0, 即bc同理sin Bsin Cacabc可得所以sin Asin Asin Bsin Csin C（学生阅读课本向量法证明过程）（实物展示学生 6 证法）利用建立直角坐标系，确定三角形各顶点坐标以 AB所在直线为 x 轴，过 A 点且垂直于则 C(bcosA,bsinA), 过 C作 AB平行线 CD（如图），过 A 作 BC平行线 AD，CD与 AD交于 D点，则 D（acos( π-B), asin( π-B) ）, 即 D （－ acosB, asinB ） .CD∥AB,故 C、 D 纵坐标 相 等 ， 即 bsinA=asinB, 所 以AB的直线为 y 轴建立直角坐标系，yCDababbO(A) cBxcs i An，同理可得sin B，所Bs insin C以abcsin Asin Bsin C小结学生各种证法： 板书各种方法师：请同学们观察正弦定理的结构，看它有什么特点？用文字语言把它叙述出来学生 7 回答：（板书： 在三角形中各边与它所对角的正弦之比相等 ）师：这个式子中包含了哪几个等式？每个式子中各有几个量？它可以解决三角形中的哪些类型问题？学生 8 回答： a b ， b c ， a c ，每个等式都有四个量－sin A sin B sin B sin C sin A sin C3两边和各边的对角，知道了其中的三个量就可求出第四个量3. 正弦定理的应用 ：师： 比如在一个三角形中知道了两个角和一条边，就可求出另一角的对边，进而求出其它角与边。

例 1. 如图 , 在△ ABC中， A=30°,C=100°, a=10, 求 c, b( 精确到 0.01)( 分析 ) 已知三角形的两角和一角的对边，求另一角的对边，直接用正弦定理 ; 求第三角及对边，可利用三角形的内角和与正弦定理解：在三角形 ABC中，因为ac，所以sin Asin CA30.0casin C10sin100 o≈ 19.70sin Asin 30obasin B10sin 50oo≈15.32sin Asin 30100.0因此， b,c 的长分别为 15.32 和 19.70B 10 C评注：已知三角形两角和任一边求其它各边和角可直接利用正弦定理变：若在三角形中已知两边及一边的对角，如何求另一边的对角？例 2. 在△ ABC中， A=30°, a=10,c=15, 求角 C ( 精确到 0.1 °)（分析）已知三角形的两边和一边的对角，求另一边的对角，直接用正弦定理 ;解：由正弦定理ac得 sin Ccsin A15sin 30o＝0.75sin Asin Ca10所以 C1≈48.6 °或 C2≈ 180°－ 48.6 °＝ 131.4 °由于 C2+A=131.4°+30°=161.4 °≤ 180°, 故 C2 也符合要求，从而 C有两解C1≈48.6 °或 C2≈131.4 °B151010304CACB152030AC变：若将原题中 a=10 改为 20 呢？sin Ccsin A15sin 30 o＝ 3≈0.375a208则 C1 ≈22.0 °或 C2 ≈180°－ 22.0 °＝ 158.0 °由于 C2+A=158° +30°=188°≥ 180°, 故 C2 不符合要求，从而 C仅有一解C≈22.0 °注：已知三角形的两边和一边的对角，求另一边的对角，可能会出现两解，要注意检验（三角形内角和或三角形内大边对大角）应用小结 ：利用三角形的正弦定理，解决两类问题――已知三角形两角和任一边求其它各边和角 ; 已知三角形的两边和一边的对角， 求另一边的对角， 余下边角也可求 .4. 巩固练习：课本 P9 1,2(1),3(1)（学生板演，带计算器进行计算）5. 课堂小结：(1) 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a b csin A sin B sin C(2) 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任一边，求其它两边和一角；②已知两边和其中一边的对角， 求另一边的对角 （从而进一步求出其它的边和角）可能有两解，要注意检验 .6. 作业布置 ：课本 P11 习题 1.1第1 ，2题思考：abc＝？sin Asin Bsin C5【板书设计】：正弦 定理3. 应用证明：1. 正弦定理：已知两角一边求另一边（ 1）**********abc已知两边一角求另一角sin Asin Bsin C例 1.（ 2）**********多媒体显示区2. 证明方法：构造直角三角形利用向量的。