泰勒级数4.2b(1).ppt

作业（1）在z=i 点，将lnz 展为泰勒级数（2）在z=nπ点，将sinz 展为泰勒级数（3）在z=0点，将sin2 z 展为泰勒级数（4）在z=0 点，将1/(z 2+4) 展为泰勒级数§2解析函数的泰勒展开证明一、泰勒定理若f(z)在区域G内解析，z0∈G,只要圆 :│z-z0│≥ R 含于G内，则f(z)在圆内任意一点z可展为幂级数 其中：C为闭圆 :│z-z0│≥ R 的边界，方向为逆时针方向证明泰 勒定理根据 （1）（2） Cauchy积分公式及推论因为f(z)在K闭圆上解析，由Cauchy积分公式f(z)展得的幂级数各项应为z的幂函数，上式中与Z有关的是z-z0ξ-z0cz0GakK=0,1,2…∆2：收敛半径：R=LL：展开中心到被展函数离z0最近的奇点的距离【例】●X展开的三要素：展开中心，收敛半径，展开系数∆1 ：展开中心：题目中给定∆3：展开系数由不同的展开方法求出收敛半径R＝1（0到1的距离）∆3：展开方法泰勒展开的唯一性定理：对于给定的一个圆内解析的函数，它的泰勒展开是唯一的即若：则定有：有唯一性定理作保障，同一道题目可以使用不同的展开方法1、直接展开法 利 用：【例1】在z0=0点邻域，将f(z)=ez展为泰勒级 数【例2】在z0=0点邻域，将f(z)=sinz展为泰勒 级数【例3】在z0=1点邻域，将f(z)=lnz展为泰勒级数 二、泰勒级数的展开方 法直接展开法利用：【例1】在z0=0点邻域，将f(z)=ez展为泰勒级数∵f(z)=ez 在全平面解析 ∴由泰勒定理有形式展式形式展式给出了展开中心z0，并给出了收敛半径R【例2】在z0=0点邻域，将f(z)=sinz展为泰勒级数∵ f (z)=sinz 在全平面解析 级数展开式中，等号左右的奇偶性是一致的【例3】在z0=1点邻域，将f(z)=lnz展为泰勒级数∵lnz是Lnz的主值分支，是一单值函数且lnz的奇点是0，∞∴lnz在z=1点及其邻域解析，可以展为泰勒级数基 本 展 式2、间接展开法理论依据：泰勒展开的唯一性出发点： 基本展式方法一、变量变 换【例1】在z0=0点，将f(z)=1/(2-z)展为泰勒级数【例2】在z0=1点，将f(z)=ez展为泰勒级数【例3】在z0=0点，将f(z)=ln(1+z)展为泰勒级数【例4】在z0=0点，将f(z)=1/(z-1)(z-2)展为泰勒级数方法一、变量变换【例1】X0 解： f(z)在z0=0点及其邻域解析 令【例2】在z0=1点邻域，将f(z)=ez展为泰勒级数z-1＝Z解： f(z)在z0=1点及其邻域解析 【例3】在z0=0点，将f(z)=ln(1+z)展为泰勒级数解： f(z)在z0=0点及其邻域解析 令1+z＝ ZX0 【例4】在z0=0点邻域，将f(z)=1/(z-1)(z-2)展为泰勒级数其中：X0 X法二：【例5】在z=0点及其邻域内解析方法二、算术运算法【例6】－π/20 π/2XX微分法：适用于被展函数的原函数易展开的情况【例7】0 X∵f(z)的奇点是 z=1f(z)在z=0点及其邻域内解析方法三、分析运算法积分法：适用于被展函数的导数易展开的情况【例8】∵f(z)的奇点是 z=1f(z)在z=0点及其邻域内解析0 X。