针对新大纲曲线积分、曲面积分依然是数一的必考点.doc

针对新大纲：曲线积分、曲面积分依然是数一的必考点万学海文2010年新的考试大纲止式公布了，新的大纲和去年相比没有任何的变化， 同学们可以放心的安装原来的计划进行复习了对于研究生入学数学一的考试中，曲线积分、曲面积分，是每年必考内容， 这部分一般情况下是占16分，但是也有特殊情况，像07年一共是占了 18分， 一个大题10分，一个单选题，一个填空题各4分，去年和今年这部分是山了 14 分，大题10分，一个单选题或者是一个填空题4分，曲线、曲面积分无外乎出 这两个题型，一个是曲线积分的计算，再一个就是曲面积分的计算关于曲线积 分的计算，大家要记住，我们做的是考研题而不是一般的练习题，所以大家应该 想到做这样的题，格林公式用上了没有，怎么用呢？ 一般来讲，考的题是曲线不 封闭，那么做一条和两条曲线就把它封闭起來了，然后就变成了可以用格林公式 来计算的形式当然不同的题也是因题而异，具体的方法还耍在灵活运用中得 到总结和提升还有•一种曲线可能是封闭的，但是在这个曲线内部有奇点，这个 时候就要以奇点为中心做一个小圆，曲线积分是可以把路径的表达式直接带到被 积函数中去，只要带上去，我们的奇点就没了，就可以用格林公式了，对于曲而 积分是类似的，大家要想到用高斯公式来做，以往的考题，曲面通常不封闭，那 要我们加上一个或两个曲面让它封闭，满足高斯公式的条件，然后用高斯公式來 做。

而今年考了一个曲面就是封闭的，在这个曲面内部有一个奇点，这个题目我 们可以用挖洞法來做，仿照我们曲线积分一样，我们应该以奇点为中心做一个球 面，沿着这个曲面的积分就等于沿着这个小球面的积分，我们可以把曲面的面积 表达式直接带到被积函数中去，这样一来，就把奇点切掉了，马上我们就可以用高斯公式来计算这样问题就变的简单了，关于这方面的题冃，同学们要多练习, 掌握各种题型的解题方法，这样在考试中才能游刃有余的应对任何题型下面是 最近三年的线面积分的考题，同学们不妨作为练习，看一看自己是否弄明白了， 不清楚的地方还需耍继续思考和练习09真题（19）（木题满分10分）计算曲面积分/=砂妇M沁+皿叭其中工是曲面2x2 + 2y2 + z2=4 的外侧.【解析】/= JJ胃：2豐;2腭y H冲2兀2+2严+込2=4•（宀）*2严rm詁丙丹产心严2++）小君瓠③...①+②+③二—（（兀2+）+才严）+鬲（（兀2+j+才严）+丟（（兀2 +二护）=0 由于被积函数及其偏导数在点（0, 0, 0）处不连续，作封闭曲面（外侧）纠宀八宀疋心讣有y 二•空 jR3 3R317 _ ff xdydz + ydxdz + zdxdy _ rr xdydz + ydxdz + zdxdy lJ T （宀心严 •08真题 （16）（本题满分10分）计算曲线积分（sin2xdx + 2（/ - 1））边，其中厶是曲线y = sin兀上从点（0,0）到点（龙,0）的一•段.(添加X轴上的盲线段用格林公式化成二重积分计算)取厶为X轴上从点(如0)到点(0,0)的一段，D是由厶与厶围成的区域J sin 2xdx + 2(x2 - l)ydy=j sin 2xdx + 2(x2 - V)ydy- sin 2xdx + 2(x2 - \)ydy=_ JA兀yd兀dy _ J sin 2xdx = - [ dx [ 4xydy -—cos 2x D 2孑 兀2=一]x(l -cos2x)dx = —+ —sin 2x0 2=-f 2%sin2 xdx0 v2-[sin 2xdx =-—() 乙 乙07真题(18)(本题满分10分)计算曲面积分I = ^xzdydz + 2xydzdx + ^xydxdy, z2其中工为曲面—亍(0G1)的上侧【详解】 取百为S平面上被椭圆宀亍二1所围部分的下侧, 记Q为由工与工同成的空间闭区域，则/ = JJ xzdydz + 2zydzdx + Zxydxdy-jj xzdydz + 2zydzdx + ZxydxdyGauss公式 jj xzdydz + 2zydzdx + 3xydxdy = jjj(z + 3z)dxdydz 工 。

^izdxclydz, = 3 [ dz JJ zdxdy = 7tc ・ y2 .X-+—=l-z4而 fJ xzdydz + 2zydzdx + 3xydxdy= — JJ 3xydxdy = (),/ = ti.。