弹性力学简支梁分析报告.docx

我旗Z理2尊Wuhan Institute of Technology武汉工程大学《弹性力学》课程简支梁应力分析报告专业：XXXXXXXX 班级：XXXXXXXX 姓名：XXX学号：XXXXXXXX【摘要】此简支梁应力分析报告中，主要针对简支梁受线性载荷作用 时的应力进行分析通过引用三角级数法求解弹性力学平面问题，同 时运用材料力学方法求解，对比两种方法所求解的结果，从而验证三 角级数求解法的可行性与精确性关键字】矩形截面简支梁应力分析、三角级数、荷载函数、mdtlab应用软件、应力函数【引言】用多项式作为应力函数求解弹性力学问题，是有局限性的, 它必须要求物体的主要边界上的载荷是连续分布的，而且能表示成 代数多项式的形式在这样的情况下，才能逐点满足主要边界上的 条件，并整体地满足次要（端部）边界的条件如果载荷在主要边界上不是连续的，而且分布规律不能用代数整函 数来表示那么，可以用三角级数来表示为此，必须将表示载荷 的函数展开为三角级数，取级数的前几项，对其中的每一项求出解 答，然后将结果叠加这样，可以得到很接近于问题的真实解的近 似解载荷函数的展开将载荷函数展开为三角级数，就是用一系列按 正弦规律或余弦规律沿全梁分布的载荷来代替不连续或其它任意形 式的载荷，这种处理方法在工程实际问题中是很有效的。

又由于三 角级数收敛较快，可以只取级数的前几项就能得到满意的结果一、实际问题：矩形截面简支梁所受荷载如图一所示，已知梁的跨度为L,高度为h,设梁的厚度为一个长度单位，试用三角级数求解简支梁的应力分量2qix二、弹性力学方法求解应力分量(0

于是表达式（5）简化为_ 二〃『亍.mTix 2/ mny6 = 艺—；—sill [(4” Dnjsh f (Bmm=i r I m 兀 I+ A 6)ch 坯 + C.ysh 坯 + D.ych 吗m7T I I I- 召加'龙'・〃7加「人/加与 p6 = 一 , —— Sin [AmSIl ——-+ Dm铝厂 I I+ ch罕+C如罕+D”ych罕]■ 召加2亍 〃7加「小 I厂、1 m叭Tx\ = —〉 cos [(^Bm + C”)sh + (A”】铝 F I 〃” I+ 丄 Dl„)ch 坯 + Dinysh 坯 + C>nych 码H17T I I I带入边界条件（2）及（1）,得到丸『cos坯⑷+丄D”） = 0 角 I m兀(7)(2 加加「小 /厂、]m/di /人〉’ 〃7 COS [(Dm H Cm)sh F ( A〃？铝 l 加龙 II f . m/di f , m 7th 小 ,m7di 门+ Dm)ch + Dmysli + Cmych J = 0iri7T I I I(8)总〃®罕［斫心）(9)亍 d r • n i7ixr A . m/di n——〉,〃厂 Sill [AmSn 卜 BntI m=l I I.in/di - . m/di 小 .ni7dn 八+ ch —j— + Cmysh —— + Dmych —^―J = 0(10)由此可以得出求解系数九、®、G、2的方程，说明如下。

式（7）和式（8）表示它们左边的三角级数恒等于0,因此，级数的系数都应当等于0,于是得Am + Dm = 0(11)4 . niTVc 门.m/di - z I . m/d iAmch —— + DmSn + C”( sh I I m7t Ii i ni7d i I . m 7th . i m 尬、n+ heli ) + Dm( ch + hsh ) = 0/ mn I I为了从式（9）得出所需的方程，需将该式右边的q （x） 在x=0至X=1的区间展位和左边相同的级数，即sm竽 的级 数按照傅立叶级数的展开法则，我们有G(x) = f ［彳［q(x)sin罕乩］sin罕 /;?=! I < I与式（9）对比，即得耳S”+仙⑴sin罕忆从而得出(13)Bm =刀、「g(x) sin dx.m~ 分Jo 1依题意及所给图形可求得Bm —21 ri z、. m7ix .2/ 2ciix . niTDc . J 2cj2(x -1 / 2) . m7ix .二拧4十池〒d拥/2血厂」sm〒乩_ 4/2 z . m7t . mn 、= 4 4 (t/isin qzsni―— + g：sinm7t)m 7t 2 2•・(14)2/2m分(t/iCOSxnn+ qicosniTr)同样可由式（10）得出..加加 n . m/di - . m亦 八.加加AniSIl ―― + Dn£ll ―― + CmSll ―― + DniCH 求出式（13）及式（14）右边的积分以后，既可以由（11）、（12）、（13）、（14）四式求得系数九®、G、% ,从而求出应力分量。

令式中矩阵:、1cK-j-)0〃7加^(―)0加加sh(-j-)1ch(-j-)0/ . jnTdi . . jnrdi——sh(——) + hch(——) m/r I I0/八加加、hsh(—)IH7TI fj nTd i I “ 尬、——ch(——) + hsh(——) IH7T I I07 〃7加hch(—)向量：A = [Am 向量：4/2b=[0,0, 4 4(<7ishii n 7：Bm CmdJm7r ——-©sin2 2“ m7i 、⑷ C OS ——+ ① C OS/??7t) .0] 2由矩阵Ax = b,求其特征值便可求出A”、6、G"、%将®带入&,、c”,、q后，在将所得结果带入应力表达式（6）后, 就可得到6、%、°三、釆用材料力学方法求解应力分量由平衡方程可求得简支梁两端的支反力R「qd +丄初,16 16用=2川+三0梁的惯性矩厶=加八占几 中性轴以下的面积对中 16 16 12 12性轴的静矩为s： = t（与-b）,然后通过截面法可以求得应力分量6、Ov、Zxy o因为简支梁所受的荷载函数不连续，故求解梁的应力分量时需分 段讨论虫时,由力的平衡条件有尺+弓匕*丫 =舟中/ +召92/,得:由力矩的平衡条件右m + 1.Z^H.x.3._x(A^1/_i_X^2/)= o ,得: 2 / 2 16 16M = —qilx+—qilx- — x16 16 2/于是有：Mv 9qixI2 + 3c/2XI2 - 24qi x56 =——= ・ y厶 4//Jr _ F.-S* _ 9qil2 + 3qil2-qix2 fh2 2、& IfTx> = —:— = • - y )(2)同理可求得，当|

四、采用级数方法求解应力分量为了用三角级数求解简便确定应力的值，首先我们取某一固定的 点设 l=10mm, h=lmm, q、= 4NIni, qi = 6N/m ,取坐标为 x=4mm, V=0.2nun的固定点，代入相应的值通过matlab确定m的值，随着m 的增大，叠加项逐渐增加，误差越来越小，当误差小于某一微小量时, 我们此时可以认为叠加的项数满足工程的要求，下表为正应力、切应 力随m值的变化情况表(m=l,2,3…24)m值123456正应力6 (Mpa)77.277677. 283777.278077.283177.278377.2826切应力励(Mpa)13.998714. 013213.999814. 012414. 001014.0116m值789101112正应力6 (Mpa)77.278477. 282477.278877.282177.278877.2819切应力怎(Mpa)14.001914.011014. 002714. 010214.003614.0097m值131415161718正应力6 (Mpa)77.279077. 281777.279277.281577.279477.2813切应力(Mpa)14. 004214. 009214. 005014. 008714. 005814.0084m值192021222324正应力6 (Mpa)77.279677. 280977.279677.280577.279877.2803切应力(Mpa)14. 006214. 007914.007014.007414. 006714.0071将此固定点代入材料力学方法求解出的应力公式，可求得:6, = 77.2800 (Mpa) Txyy = 14.0070 (Mpa)与上述表格中的数据相对比，不难发现当m值越大时应力值越接近于料力学方法求解出的应力值，当m二24时，计算。