2020年高考数学十年真题精解（全国Ⅰ卷）专题03 导数（word档含答案）.docx

2020年高考数学十年高考真题精解（全国卷I） 专题3 导数十年树木，百年树人，十年磨一剑本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，对全国卷Ⅰ具有重要的应试性和导向性三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）一）2020考纲考点2020考纲要求（1）导数的基本概念以及运算法则了解导数概念的实际背景. （2）导数的切线方程求解理解导数的几何意义（3）函数的根的个数的确定利用函数的单调性解决根的个数问题（4）导数含参单调性的求法了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次).（5）导数的极值、最值、零点等的综合应用了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小 值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数 一般不超过三次).（6）导数的恒成立求参问题会利用导数解决实际问题（7）导函数的极值点偏移问题会利用导数解决实际问题（8）导数的双变量不等式以及相关的证明问题会利用导数解决实际问题（9）导数的端点效应以及隐极值点代换会利用导数解决实际问题（2） 本节考向题型研究汇总题型考向考点/考向导函数之求切线方程（1） 求在某点处的切线方程（2） 已知切线的方程或者斜率求切点（3） 根据切线方程求导函数中的参数值（4） 根据导数的几何意义求参数的取值范围（5） 导数的切线方程的综合应用导数之利用单调性求极值、最值问题（1） 利用单调性求最值和极值（2） 利用极值和最值求导函数中的参数（3） 利用极值和最值得性质求导函数中参数的取值范围导函数之求零点问题（1） 已知零点的个数求参变量的取值范围（2） 已知函数的性质求函数零点的个数（3） 和零点相关的证明问题导函数之极值点偏移问题利用极值点偏移导函数之恒成立求参问题（1） 分离参变量求参数取值范围（2） 构造导函数求参数取值范围一、考向题型研究一： 导数之求切线的方程（2019新课标I卷文科T13）曲线y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线方程为　 　．【答案】y＝3x．【解答】解：∵y＝3（x2+x）ex，∴y＝3ex（x2+3x+1），∴当x＝0时，y＝3，∴y＝3（x2+x）ex在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．【点评】本题考查了利用导数研究函数上某点的切线方程，切点处的导数值为斜率是解题关键，属基础题．(2018新课标I卷理科T5) 设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为A. y=-2x B. y=-x C. y=2x D. y=x【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶此项系数为零求得a=1，进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f(x)=3x2+1，所以f(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f(0)x，化简可得y=x，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(x0,f(x0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.（2017•新课标Ⅰ文科T14）曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为　 　．【答案】x﹣y+1=0【解答】解：曲线y=x2+，可得y′=2x﹣，切线的斜率为：k=2﹣1=1．切线方程为：y﹣2=x﹣1，即：x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力(2015新课标I卷文科T14)已知函数的图象在点，（1）处的切线过点，则　　．【答案】1【解答】解：函数的导数为：，（1），而（1），切线方程为：，因为切线方程经过，所以，解得．故答案为：1．（2012高考新课标I卷理科T12）设点P在曲线上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为(　　)A．1－ln2 B．(1－ln2) C．1＋ln2 D．(1＋ln2)【答案】B【解析】函数与函数互为反函数，图象关于直线对称。

问题转化为求曲线上点P到直线的距离的最小值，则的最小值为用切线法）：设直线与曲线相切于点，因为，所以根据导数的几何意义，得，，所以切点，从而，所以因此曲线上点P到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，从而，所以，故选择B1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤2．求过曲线y＝f(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x0，f(x0))．(2)利用所设切点求斜率k＝f′(x0)＝.(3)用(x0，f(x0))，P(x1，y1)表示斜率．(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k.(5)根据点斜式写出切线方程．(6)将切线方程化为一般式．二、考向题型研究二：导函数之利用单调性求最值、极值问题(2013年高考新课标I卷文科T20)已知函数,曲线在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)讨论的单调性，并求的极大值【解析】(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．(2018新课标I卷理科T16.) 已知函数fx=2sinx+sin2x，则fx的最小值是_____________．【答案】-332【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得f(x)=4(cosx+1)(cosx-12)，从而确定出函数的单调区间，减区间为[2kπ-5π3,2kπ-π3](k∈Z)，增区间为[2kπ-π3,2kπ+π3](k∈Z)，确定出函数的最小值点，从而求得sinx=-32,sin2x=-32代入求得函数的最小值.详解：f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+1)(cosx-12)，所以当cosx<12时函数单调减，当cosx>12时函数单调增，从而得到函数的减区间为[2kπ-5π3,2kπ-π3](k∈Z)，函数的增区间为[2kπ-π3,2kπ+π3](k∈Z)，所以当x=2kπ-π3,k∈Z时，函数fx取得最小值，此时sinx=-32,sin2x=-32，所以fxmin=2(-32)-32=-332，故答案是-332.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.(2018新课标I卷文科T21)．（12分）已知函数．（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．【解析】（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．由题设知，f ′（2）=0，所以a=．从而f（x）=，f ′（x）=．当02时，f ′（x）>0．所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a≥时，f（x）≥．设g（x）=，则 当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．因此，当时，．(2017新课标I卷理科T21.)（12分）已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【解析】（1）的定义域为，（i）若，则，所以在单调递减（ii）若，则由的当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增。

2）（i）若，由（1）知，至多有一个零点（ii）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为① 当时，由于，故只有一个零点；② 当时，由于，即，故没有零点；③ 当时，，即又又，故在有一个零点设正整数满足，则由于，因此在有一个零点综上，的取值范围为(2016新课标I卷文科T21)已知函数.(I)讨论的单调性；(II)若有两个零点，求的取值范围.【解析】 (I)(i)设，则当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增. (ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).①若，则，所以在单调递增.②若，则ln(-2a)<1,故当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减.③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又，取b满足b<0且，则，所以有两个零点.(ii)设a=0，则所以有一个零点.(iii)设a<0，若，则由(I)知，在单调递增.又当时，<0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时<0，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.(2018新课标I卷理科T21). 已知函数f(x)=1x-x+alnx．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：fx1-fx2x1-x22时， f(x)在(0,a-a2-42),(a+a2-42,+∞)单调递减，在(a-a2-42,a+a2-42)单调递增.（2）证明见解析.【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据f(x)存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定a>2，令f(x)=0，得到两个极值点x1,x2是方程x2-ax+1=0的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）f(x)的定义域为(0,+∞)，f(x)=-1x2-1+ax=-x2-ax+1x2.（i）若a≤2，则f(x)≤0，当且仅当a=2，x=1时f(x)=0，所以f(x)在(0,+∞)单调递减.（ii）若a>2，令f(x)=0得，x=a-a2-42或x=a+a2-42.当x∈(0,a-a2-42)∪(a+a。