平面上两直线的夹角求法解析.docx

CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company Onel平面上两直线的夹角求法解析一、 内容概述在2004年审定的人教A和B版教材中，平面两条直线的夹角概念与相应问 题没有涉及到.但是，该问题完全可以作为三角恒等式中两角差的正切公式：/ * tan S-tan …心 两/瓦tan （or— = cos 8 - ,1+蝴演盆£ ,平面向量中直线法向量夹角的余弦 险1%及ab* & = 7Zjr=i直线方向向量夹角的余弦 阈四的应用来进行考查.二、 基本概念① 平面上直线方程的两种常用表示：直线的点斜式方程：尸奴牝 3）；直线的一般式方程：招切+二° （&昨不全为② 平面上两条相交直线夹角的概念：平面上两条相交直线土，&所成四个角中的最小角，叫做两条直线的夹角.③ 平面上两条直线所成角的范围：如果两条直线平行或重合，规定它们所成的角为0日；如果两条直线垂直，规定它们的夹角为90°；如果两条直线相交且互不垂直，则两直线的夹角范围为质，％°）.④ 平面上直线的方向向量：基线与平面上一条直线'平行或重合的向量藻，叫做直线'的方向向量；直线点斜式方程，二由+堆莉）的一个方向向量为（1肉.⑤ 平面上直线的法向量：基线与平面上一直线'垂直的向量林，叫做直线'的法向量；直线的一般式方程出+分+ c = 不全为°）的一个法向量为S』）.三、理论推导t (a: 4)-皿口―成胃1.已知倾斜角域斜毂)，根据两角差的正切公式 1 +岫础求两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系升》中，直线L的倾斜角为％，直线上的倾斜角为叫.假设弗顷°)为直线「1，&所成的一角，显然电=我+ 8，则目二玛-国，由公 式得：0°如又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角我范围是，所以tan % - tan a:l.1 + tan 叫 tana = aictan即，平面上直线与直线上的夹角CGS & =求平面上2.已知直线的一般式方程，运用直线法向量夹角余弦 两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系1力中，直线L的一般式方程为 场+1二°, 一法向量境=（孔切；直线今的一般式方程为«2A假设湘熟CT）为直线妃弓所成的一角，显然小硒 F （左图）或 日二视藏〉（右图）由法向量夹角的余弦得：海号 >-刖瓦「J瑚+屏 国*驴~』峦+快】^+3信 又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角配范围是炉，如°），所以 cos^>0 .从而得：AA'^rBBAA'+BB'即，平面上直线「】与直线上的夹角3.已知直线的点斜式方程，利用直线方向向量夹角余弦 求平面上两直线夹角.证明：如下图所示，在平面直角坐标系升》中，直线L的点斜式方程为 尸二化「+阳，一方向向量'二（L片）；直线上的点斜式方程为 fxf 一方向 向量W =（L与）.假设即F为直线上上所成的角，显然队£崩>=丸（左图）或9=即，平面上直线「】与直线上的夹角J]+ 妒 J1 +活；又因为平面上两条相交且互不垂直的直线夹角配范围是如。

所以cos<^>0 .从而得:注意：可以求出直线一般式方程的某个方向向量，也可以求出直线点斜式 方程的某个法向量.但是，无论利用哪一种方法，都必须谨记平面上两直线所 成角与两直线夹角的区别：两直线夹角化的范围是炉淳仃〕，即3的三角函数值 一定是非负的.四、例题解析对于有关平面上两直线的夹角问题，理论简单，方法也易于掌握，该部分 难点是如何根据题意选取恰当的理论和方法来解决问题.下面结合具体实例谈 谈求解方法是如何选择的.例1已知直线「】，弓的斜率是二次方程亍-4工十1 = 0的根，试求直线与 上的夹角.解析：设直线"2的斜率分别为"揣，解二次方程汇十1二0得， 冬=2+y?，^ = 2—右将灯山代入公式 5也 得， 1+旧+掴瞻—再） 2 .所以直线「1与今的夹角目=朔盆 用=6".点评：本题结合二次方程求解问题考查第一种方法的运用，解决此类问题 的时候，要理解直线倾斜角与直线斜率的关系，并能准确选择求直线夹角的方 法.例2求直线提公+心-12二0与直线/2:7^-12;v-l=0的夹角.解析：题目中的直线方程是一般式形式且互不垂直，因此我们选择法向量 求夹角的方法...l 2771^3, ? & = arccos 所以直线「】与上的夹角直线；：3x + 4y-12二0一法向量&="）；直线提社-13-1二。

一法向量 鑫二（7-1 a点评：本题主要考查对公式的选择及熟练程度，也可以尝试利用方向向量 求解，鼓励一题多解.例3光线沿直线如打+*-2 = 0照射到直线质脂5+2 =上后反射，求反 射光线线所在直线%的方程.由十y - 2=0解析：联立沽+芬+ 2=19得反射点的坐标为32），由题意知直线上过该 点，则设弓的方程为皿3-2）+&° + 2）=° （其中药=0,切为直线的法向量，球不同 时为零）.由物理学中的反射原理可知：直线L与直线上的夹角等于直线上与直线弓的夹 角，即：2 + 2 盘 + 2-b 275x75 后乂山+朋，解得"11占或@=菱（舍去，否则勺与，1重合）.所以，直线乌的方程为由-11^-26 =点评：本题首先应思考将问题转化为求过定点，且与所给直线夹角已知的 直线方程；其次，在求直线方程时,往往采用待定系数法一一先设出所求直线的 方程，再利用直线的夹角求解方法列式求解.五、沉思提高3^10£ cos 已知直线L过点RT」），且与直线X女-尸+ 1二°的夹角为 1求直线「1方程.。