[数学]扬州大学高等代数课件北大三版第七章线性变换.ppt

高等代数7线性变换第七章 线性变换n学时：22学时n教学手段：p讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与答疑相结合n基本内容和教学目的：p基本内容：线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵；特征值与特征向量；对角矩阵；线性变换的值域与核；不变子空间；若当标准形；最小多项式p教学目的：p1、理解线性变换的定义与运算p2．掌握线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念p3．了解线性变换的值域与核、不变子空间p4．熟悉若当标准形、最小多项式n本章的重点和难点：p重点：线性变换的定义与运算，线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念；p难点：若当标准形、最小多项式高等代数7线性变换§7.1 线性变换的定义高等代数7线性变换一. 线性变换的定义及实例定义定义1 映射 A ：V→V称为线性空间V上的一个变换；V上的变换A 称为线性变换，如果 对任意的α,β∈V, 对任意的k∈P, 1) A (α+β)= A (α)+ A (β)； 2) A (kα)= k A (α). l 本教材一般用花体拉丁字母A ，B，···表示线性变换；l 称如上条件1), 2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变”；l 注意与同构映射 f：V→W（V，W为线性空间）的异同之处。

高等代数7线性变换例例1 S θ：V2→V2 , S θ (α) =α/ (α按逆时针方向旋转θ度得α/ )，（即二维平面上的旋转变换） 设α,α的坐标分别是 (x, y), ( x/, y/ ), 则 . 可以证明， S θ 是二维平面V2 上的一个线性变换证明证明： 对任意的α,β∈V2 , 设α+β=γ（如图） 高等代数7线性变换S θ (α+β) = S θ (γ) =γ/=α/ +β/= S θ (α) + S θ (β) ， S θ (kβ) = kβ/= k S θ (β) . 故S θ 是V2 上的线性变换.α γ θ β kβα/ γ/ β/ kβ/高等代数7线性变换 ζ ke α 高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换例例6 设V是数域P上的线性空间，k∈P, 定义V上的变换为α→kα (对任意的α∈V )，可以证明该变换为线性变换，称为由数k确定的数乘变换，并用K 表示. 当k = 1时，即为恒等变换，当k = 0时，即为零变换.证明明： K 显然是V上的变换. 现仅证其为线性变换. 对任意的α,β∈V , a∈P, K (α+β) = k(α+β) = kα+kβ= K (α)+ K (β)；； K (aα) = k (aα) = (ka)α= a(kα) = a K (α).故 K 是V上的线性变换. □高等代数7线性变换二. 线性变换的基本性质1.A (aα+ bβ)= a A (α)+ b A (β)；2 A (0) = 0, A (－α) = － A (α)；3. A ( k1α1 + ···+ krαr ) = k1A (α1) +···+kr A (αr)； （保持线性关系不变）4. α1, ···, αr 线性相关，则A α1, ···, A αr线性相关.l 反之，则不一定. 例如零变换 A （α）= 0（α≠0）.证明： 1. A (aα+ bβ) = A (aα)+ A (bβ) = a A (α)+ b A (β).高等代数7线性变换2. A (0) = A (0α) = 0 A (α) = 0. A (－α) = A ((－1)α) = (－1) A (α) =－A (α).3.据1，易证该等式成立.4. 据题设，存在不全为0的数k1, ···, kr∈P, 使得 k1α1 + ··· + krαr= 0 → 据3. , 2.可知 A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) = A (0) = 0， 即A α1, ···, A αr线性相关.l 性质3说明：设β= k1α1 + ··· + krαr → A (β) = A ( k1α1 + ··· + krαr ) = k1 A (α1) + ··· + kr A (αr) , 即β与A (β) 具有相同的线性关系. 高等代数7线性变换l 性质1可修改为如下命题：5. A 是线性变换的充要条件是： A (aα+ bβ)= a A (α)+ b A (β) 对任意的αβ∈V，a,b ∈ P.证明： 必要性：即性质1. 充分性：取a = b = 1, 则 A (α+ β)= A (α)+ A (β)； 取a = k, b = 0, 则 A (kα) = A (kα+ 0β) = kA (α)+ 0 A (β) = kA (α)， 故 A 是线性变换. □ 高等代数7线性变换7.2 线性变换的运算高等代数7线性变换 L(V) = {A │ A : V→V的线性变换}n A : V→V是线性空间V上的一种运动，变化。

本节将研究这样的运动、变化之间的运算，联系及进一步的特征性质VL ( V )高等代数7线性变换一一. L(V) 上的加法运算上的加法运算定义定义1 对任意的A, , B ∈L(V), α∈V, 规定 (A +B )(α) = A, (α) + B (α)称为A,与B的和，记为A +B .命题命题1 对任意的A, , B , C ∈L(V) A +B ∈L(V) , 且具有如下性质：：1.(A +B ) + C = A +(B + C )；2. A +B = B + A ；3. 存在O ∈L(V), O +A =A ；n对任意的A ∈L(V)，存在－A ∈L(V), A +(－A ) = O .l据4，可定义 A －B =A ＋(－B)，故L(V)中有加法的逆运算：减法运算.高等代数7线性变换证明证明： 首先要证明A +B ∈L(V)，即证明A +B 是V上的变换；且对向量加法和数乘保持不变.高等代数7线性变换高等代数7线性变换二二. L(V)上的乘法运算上的乘法运算定义定义2 对任意的A, , B ∈L(V), α∈V, 规定 A, B (α) = A, (B (α))称A, B是A, 与B 的积，记为A, B .l A, 与B 的乘法即映射的合成.命题命题2 对任意的A, , B , C ∈L(V) A, B ∈L(V), 且具有如下性质：5. (A, B) C ＝A, (B C ) ；6. A, (B ＋ C ) ＝A, B ＋A, C ；7. (B ＋ C )A, ＝B A, ＋ C A, ；8. EA, ＝A, E ＝ A, （为V上的恒等变换）.高等代数7线性变换证明：首先证明A, B ∈L(V), 即A, B 是上的变换，且保持向量加法，数乘运算不变.据映射合成即知确为V上的变换.对任意的α,β∈V, k ∈P, A, B (α+β) = A, (B (α+β)) = A, (B (α) +B (β)) = A, (B (α)) +A, (B (β)) = A, B (α) +A, B (β)； A, B (kα) = A, (B (kα)) = A, (kB (α)) = kA, (B (α)) = k A, B (α) .故 A, B 是V上的线性变换，即A, B ∈L(V).因一般映射的合成满足结合律，故5.成立.(A, (B ＋ C ))(α) =A, ((B ＋ C )(α)) = A, (B (α) + C (α)) = A, (B (α)) + A, (C (α)) = A, B (α) + A, C (α) = (A, B ＋A, C )(α) → 6.成立.7. 同上可证明7.成立. 8. 显然成立. □高等代数7线性变换注: 该命题有以下注意问题高等代数7线性变换三三. L(V)上的数乘运算上的数乘运算定义定义3 设 k∈∈P, A ∈∈L(V), 对任意的α∈∈V，规定 (kA )(α) = kA (α)称kA 为k与A 的数量乘法.l 设K 是L(V)中的数乘变换（见前例6，P274例4）→ 即K (α) = kα，则(kA )(α) = kA (α) = K A (α)→ 即 kA = K A . 所以也可将数乘看成是一种特殊的乘法运算. 本教材即用此定义数乘运算，两种定义方法是一致的. 如上定义2是一种定性描述，而教材定义方式可利用乘法的性质直接推出数乘的性质，使用起来方便. 高等代数7线性变换命题命题3 对任意的k,l∈∈P, A ∈∈L(V) kA ∈∈L(V), 且具有如下性质：11. ( k l )A = k (lA ) ；12. k(A +B ) = kA + kB ；13. ( k+ l )A = kA + lA ；14. (kA )B = k(A B ) ；15. 1A = A .证明证明： 仅证11. 其它性质类似可证.（ kA ∈∈L(V)证明略）据kA = K A 可知， ( k l )A = (K L )A = K (L A )= k (lA ) . (其中用到乘法的结合律成立). □高等代数7线性变换l 据L(V)的加法和数乘及其性质(命题1,3)可知,L(V)关于线性变换的加法和数乘构成数域P上的线性空间. 四四. L(V)上的可逆变换上的可逆变换定义定义4 变换A : V→V 称为可逆变换，如果存在B : V→V, 使得 A B = BA = E .这时称B 为A 的逆变换，记为A － 1 = B .l B : V→V 即为A : V→V 的逆映射.命题命题4 A ∈∈L(V)，且可逆 A －1∈∈L(V), 规定:16. A －n =(A －1)n .l 16. 是一种规定，也可看成是性质. 即将A n中的幂指数扩充到整数范围（n∈Z）. 可以证明幂运算的性质9.10.依然成立.高等代数7线性变换证明：证明： 证A －1∈∈L(V), 即证A －1是V上的变换，且保持向量的加法和数乘运算不变.A －1显然是V上的变换，关键证其为线性变换.A －1(α+β) = A －1 (A A －1 (α) + A A －1 (β)) = A －1 (A (A －1 (α))+ A (A －1 (β))) = A －1 (A (A －1 (α) + A －1 (β))) = (A －1A )(A －1 (α) + A －1 (β)) = A －1 (α) + A －1 (β).A －1( kα) =A －1(k(A A －1 )(α)) =A －1(k(A (A －1(α)))) = A －1(A (kA －1(α)))= (A －1A )(kA －1(α)) = kA －1(α).故 A －1∈∈L(V), □高等代数7线性变换五. 线性变换的多项式高等代数7线性变换注: 该性质的证明略，注意问题如下:高等代数7线性变换例1 α(≠0)∈R3, Пα是把向量ζ射到α上的内射影变换，则高等代数7线性变换 ППαα(ζ) ζ(ζ) ζ αα ППx x(ζ) (ζ) x x R x(x) 分析: 性质1), 2)即7.1节例2.这里仅需证明3),4),5)高等代数7线性变换高等代数7线性变换例例2 1） 线性空间P[λ]n中，求微商是线性变换(P274例5), 显然 D n = 0. 2） 线性空间P[λ]n中，变元的平移变换S a： P[λ]n→ P[λ]n，a∈P, S a( f (λ)) = f (λ+ a).易验证S a是线性变换. 据泰勒展开式高等代数7线性变换l 以上实例说明，线性变换的一些关系可以通过线性变换之间的运算来表示,从而揭示线性变换的一些内在联系及特征性质. 高等代数7线性变换7.3 线性变换的矩阵高等代数7线性变换一. 引入概念n 设V是数域P上n维线性空间，ε1, ε2, ···, εn是V的一组基，A ∈L(V)，则对任意的ξ（∈V）， ξ= x1ε1+x2ε2+ ···+xnεn , 且其中系数是唯一确定的，称为向量ξ在基ε1, ε2, ···, εn下的坐标. 由于 A ξ= A （ x1ε1+x2ε2+ ···+xnεn ） = x1 A （ε1）+x2 A （ε2）+ ···+xn A （εn ）. → 故A ξ完全由 A （ε1）,A （ε2）, ···, A （εn ） → 有必要研究基ε1, ε2, ···, εn与其象 A （ε1）, A （ε2）, ···, A （εn ）之间的相互联系.从而得到如下结论：高等代数7线性变换定理定理1 设 ε1, ε2, ···, εn是V 的基 对任意的α1,α2,···,αn∈V, 存在唯一的A ∈L(V) , 使得 A εi =αi , i =1, 2, ···, n .l 分析证明思路：1) 存在性： 对任意的α1,α2,···,αn∈V, 存在A ∈L(V) , 使得 A εi =αi , i =1, 2, ···, n (即 P282，2.).2) 唯一性：若另存在B∈L(V) ,Bεi =αi , i =1, 2, ···, n→ A =B (即 P281，1.).高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换l 定理意义分析定理意义分析:高等代数7线性变换高等代数7线性变换(2) 设ε1 ,ε2 , ···,εn是V的基，对任意的ξ∈V， A ∈L(V),ξ=x1ε1 + x2ε2 + ··· +xnεnA ξ=x1Aε1 + x2 Aε2 + ··· +xnAεn由此看出由此看出研究研究A 的特征，关键在于研究的特征，关键在于研究εi与与Aεi 的关系的关系,这里这里εi , Aεi∈ ∈V，，i =1,2,···,n高等代数7线性变换高等代数7线性变换A L(V) APn×nV的基的基ε1 ,ε2 ,···,εn下下高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换l 定理1的意义就在于证明了 是满射，从而是双射.这就为引入如下概念奠定了理论基础.高等代数7线性变换 V εm+1 , ···,εn A AWε1,ε2 , ···, εn· 0 高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换二 的性质高等代数7线性变换l L(V)≌Pn×n, 且保持加，减，乘，数乘，可逆性.高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换 Aξ ξ三 线性变换下的坐标变换向量ξ与Aξ在同一基下的坐标变换公式l 注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别注意与基变换公式下的坐标变换公式的区别（见P6.4）高等代数7线性变换高等代数7线性变换三 A (∈∈L(V))在不同基下的矩阵在不同基下的矩阵B=X-1AX定理4 A (∈∈L(V))在基在基ε1 ,ε2 , ···,εn下的矩阵是下的矩阵是A A (∈∈L(V))在基在基η1 ,η2 , ···,ηn下的矩阵是下的矩阵是B (η1 ,η2 , ···,ηn) = (ε1 ,ε2 , ···,εn)X A A(η1 ,η2 , ···,ηn) = (ε1 ,ε2 , ···,εn)X B = X-1AX同一A 在不同基下的矩阵之间的关系式是完全由基变换公式所确定的 高等代数7线性变换高等代数7线性变换定义定义3 A,B∈Pn×n, 称A相似B，记A∽B，如果存在可逆矩阵X∈Pn×n, 使得 B=X－1AX 相似关系相似关系∽∽的性质：的性质：1）） 自反性：对任意的自反性：对任意的A∈∈Pn×n, A∽∽A. (存在E ∈Pn×n, A=E－1AE)2）） 对称性：对称性：A∽∽B，则，则 B∽∽A. (A∽B → 存在可逆阵X ∈Pn×n，B=X－1AX → XBX－1= X(X－1AX)X=A, 即存在Y=X－1，A=Y－1 BY → B∽A）3）） 传递性：传递性：A∽∽B, B∽∽C, 则则 A∽∽C. (A∽B, B∽C → 存在可逆阵X,Y∈Pn×n, B=X－1AX , C= Y－1BY → C= Y－1(X－1AX )Y=(XY)－1A(XY) → A∽C )l 矩阵的相似关系是矩阵的相似关系是P上的等价关系上的等价关系.高等代数7线性变换4） X－1A1X + ··· + X－1Ar X = X－1(A1 + ··· + Ar )X (X－1AX)( X－1AX) ··· ( X－1AX) = X－1(A1A2 ··· Ar)Xl 即 A1∽B1 ··· Ar∽Br , 则 A1+A2+···+Ar∽B1+B2+···+Br , A1A2 ··· Ar∽B1B2 ··· Br .5） X－1(Ar )X = (X－1AX )r (是性质4的特例)6）A∽B, 则 Ar ∽Br (A∽B → B=X－1AX → 据性质5,Br = (X－1AX )r = X－1(Ar )X → Ar ∽Br ).l 据以上性质得： A∽B, 则 f (A)∽ f (B), f (x)∈Pn×n . (设 f (x)= a0 + a1x + ··· + anxn , 因 A∽B → Ar ∽Ar , r = 0,1, ···, n, 又由B=X－1AX得 kB=k(X－1AX )= X－1(kA)X,即 kA∽kB → 据性质4知 a0 A0+ a1A + ··· + anAn ∽ a0B0 + a1B + ··· + anBn ，即 f (A)∽ f (B）).高等代数7线性变换 7） （定理5） （1） A (∈L(V))在不同基下矩阵A，B相似； （2） A∽B（A , B∈Pn×n）, 则存在A (∈L(V))， 使A,B是 A 在不同基下的矩阵.证明证明： 由定理4即知 (1) 成立. 这里仅证(2). A∽B →存在可逆阵X, 使 B=X－1AX, 又据定理1, 有A (∈L(V)), A (ε1,ε2, ···,εn ) = (ε1,ε2, ···,εn )A → 设 (ε1,ε2, ···,εn )X = (η1,η2, ···,ηn ) → 因X可逆，故 (η1,η2, ···,ηn )X －1 = (ε1,ε2, ···,εn ) → {ε1,ε2, ···,εn } 与{η1,η2, ···,ηn }等价 → η1,η2, ···,ηn 是V的基 , 且A (η1,η2, ···,ηn ) = A ((ε1,ε2, ···,εn )X) = (A (ε1,ε2, ···,εn ))X= (ε1,ε2, ···,εn )AX = ((η1,η2, ···,ηn ) X－1)AX=(η1,η2, ···,ηn ) X－1AX = (η1,η2, ···,ηn )B → A, B分别是在基ε1,ε2, ···,εn 和基η1,η2, ···,ηn 下的矩阵. □ 高等代数7线性变换l 矩阵的相似关系作为Pn×n上的等价关系把Pn×n分成若干个互不相交的子集 → 提出问题： 对任意的A ∈L(V), 找到一个基，使在该基下的矩阵最简单？ （这是今后要讨论解决的一个问题）基基ε1,ε2,···,εn基基η1,η2,···,ηnL(V)A P n×n A ∽ B高等代数7线性变换高等代数7线性变换l 利用矩阵相似性质可以简化矩阵的运算 （如利用如上例题可简化如下矩阵的计算）高等代数7线性变换7.4 特征值与特征向量高等代数7线性变换一. 特征值、特征向量概念引入n 问题： 对任意的A∈L(V), 如何找到一个基，使A 在该基下的矩阵最简单？定义定义4 A ∈L(V), 若存在A ∈P，存在ξ(≠0)∈V，使得 A ξ=λ0ξ （1），则称λ0为A 的特征值，ξ为A 的属于λ0的特征向量.ê 几何意义：V3中， A ξ与ξ 在同一直线上，其长度相差|λ0|倍.ê 特征向量不为特征值所唯一确定，而特征值为特征向量所唯一确定（即特征向量只能属于一个特征值）.高等代数7线性变换证明证明：1）A ξ＝λ0ξ → 对任意的k∈P, k≠0, A (kξ) ＝kA ξ＝k(λ0ξ)＝λ0(kξ) . □ 即: 凡kξ都是A 的属于λ0的特征向量.2) 设α是A 的属于特征值λ1 ,λ2 特征向量 → A α= λ1α= λ2α→ (λ1 －λ2)α= o → 因α≠0, 故 λ1 －λ2 = o → λ1 =λ2 . □两集合无公共向量A λ1统领的特征向量全体λ2统领的征征向量全体高等代数7线性变换ê Vλ={α∈V | Aα=λα}是V的子空间，称为A 的属于特征值λ的特征子空间特征子空间，由A 的属于特征值λ的特征向量与零向量(非λ的特征向量)组成.证明证明：对任意的 k∈P, α,β∈Vλ ,A (α＋β) = A (α)＋A (β) = λα＋λβ= λ(α＋β) → α＋β ∈Vλ A (kα) = kA α=k (λα) =λ(kα) → kα∈Vλ 故Vλ是V 的子空间. □ê 例例 取数乘变换K ∈L(V)，对任意的α(≠ 0)∈V, k∈P, K (α) = kα, 即V中非零向量均为K 的属于特征值 k 的特征向量，特征子空间即为V. 特别当 k = 1时, V中非零向量均为恒等变换 E 的属于特征值的特征向量； 当k = 0 时,V中非零向量均为零变换 O 的属于特征值0 的特征向量. 它们的特征子空间均为V. 高等代数7线性变换二二. 特征值、特征向量的计算特征值、特征向量的计算1. 命题 : 设A (∈L(V))在基ε1,ε2, ···,εn 下的矩阵A= (aij)n×n , 则 ξ= x1ε1+ x2ε2 + ··· + xnεn 是A 的属于特征值λ的特征向量的充要条件是高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换ê 该命题说明，λ是否为A 的特征值，ξ(≠0) 是否为A 的属于λ的特征向量，关键在于 |λE－A| 是否等于0，故有必要研究多项式 |λE－A| 的特性 → 促使引入一下概念：2. 定义定义5 A∈Pn×n, λ是文字，矩阵 |λE－A| 的行列式称为矩阵A的特征多项式，记为 fA(λ) .ê fA(λ) = |λE－A| ∈P[x], ∂ fA(λ) = n .ê λ为A 的特征值的充要条件是fA(λ) = 0 . 高等代数7线性变换 对命题对命题《《λ是是A 的特征值的充要条件是的特征值的充要条件是 fA(λ) = 0 》》的证明分析的证明分析:l 以上讨论说明，线性变换A 的特征值均为 fA (λ)的根，设λ0是的特征值，即 fA (λ0) = |λ0 E－A| = 0 →如上齐次线性方程组 (λ0E－A)X=0 的非零解均为A 的属于特征值λ0 的特征向量 → 给出如下课题的思路：高等代数7线性变换3. 求特征值，特征向量的方法 （对给定的A ）高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换该实例说明：导数为0的多项式只能是零或非零常数， 其中非零常数均为求导线性变换D 的属于特征值0的特征向量.高等代数7线性变换例例4 S θ：V2→V2 , S θ (α) =α/ (α按逆时针方向旋转 θ度得α/ ).(即二维平面上的旋转变换, 见P274例1).高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换三三 特征多项式特征多项式 fA(λ) (A∈∈Pn×n, P为复数域为复数域)的性的性质质高等代数7线性变换2.设 f A(λ)在复数域C上有n个根λ1, λ2, ···, λn3.（重根按重数计），a1 + a2 + ··· +an = Tr(A), 称为A的迹，则1） λ1+λ2+ ··· +λn= Tr(A)； （2） λ1λ2···λn = | A | . 高等代数7线性变换证明: 据根与系数的关系及性质1 → λ1+λ2+ ··· +λn = a11+ a22 + ··· + ann = Tr(A) 成立. λ1λ2···λn = (－1)n (－)n | A | = | A | 成立. □3. (定理定理6) n阶矩阵A∽B，则存在可逆矩阵X∈Pn×n, 使得 fA (λ) = fB (λ) .证明： A∽B → 存在可逆矩阵X∈Pn×n, 使得 B = X－1AX → fB(λ) = |λE－B| = |λE－X－1 AX| = | X－1(Λe－A)X | = | X－1 ||λE－A|| X | = | X－1 || X ||λE－A| = | X－1 X | |λE－A| = |λE－A| = fA (λ) . □高等代数7线性变换Ø 3.说明，说明，相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变换换A 的矩阵的矩阵A的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故可将矩阵可将矩阵A的特征多项称为线性变换的特征多项称为线性变换A 的特征多项式，记为的特征多项式，记为 fA (λ). 不同基下 A A fA(λ) = fB(λ) = fA (λ) BL(V)A Pn×n A ∽ B高等代数7线性变换Ø A∽∽B，则，则 |A| = |B| .证明证明 : A∽B → fA (λ) = fB (λ) → 两多项式的常数项相等，即 (－1)n | A | = (－1)n | B | → | A | = | B |. □Ø 定理定理 6 的逆一般不成立，即的逆一般不成立，即 fA(λ) = fB(λ) 一般推不出一般推不出A∽∽B| .但 A，B不相似. 因为与A = E 相似的矩阵只能是 A. ( 设 X－1 AX = B → B = X－1 AX = X－1 X = E = A )高等代数7线性变换4. 哈密顿哈密顿 – 凯莱凯莱 ( Hamilton – Caylay ) 定理定理 : 设设 fA (λ) 是数域是数域 P上上n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式，则的特征多项式，则 fA (A) = An －－ (a11＋＋ a 22＋＋ ··· ＋＋ann )A + ··· + (－－1)n| A | E = 0 . Caylay (1821- 1895)英国数学家，天文学家. 矩阵论的创立人。

1845年发表“线性变换理论”，1858年给出哈密尔顿-凯莱定理. 他也是n维几何，高位抽象空间的创立人. 在群论和天文学方面也有贡献. 1895年卒于英国剑桥.Hamilton (1805 - 1865)英国数学家，物理学家. 对分析力学做出重要贡献. 在数学方面的主要贡献是发现“四元数”，其主要著作为“四元数讲义”.17岁发现“光束理论”矩阵论的提出，源于四元数的研究,故一般称该定理为哈密顿 – 凯莱定理.高等代数7线性变换Ø 该定理的证明从略. 其意义为: 当矩阵A的特征多项式 fA (λ)中的文字 λ取矩阵数域P上的n阶矩阵X，从而构成矩阵多项式时 fA (X)时，A是该矩阵多项式的根，即 fA (A) = 0 （零矩阵）.Ø 由于 L(V) ≌ Pn×n, A 与A之间保持运算，故有如下推论成立.5.(推论推论) 6.设设A ∈∈L(V), fA (λ)是是A 的特征多项式，则的特征多项式，则 fA (A ) = O .高等代数7线性变换7.5 对角矩阵高等代数7线性变换Ø 对角矩阵 是矩阵中最简单的一种→ 哪些A (∈L(V))在适当的基下,其矩阵是对角矩阵？ → 若A 在某基下的矩阵是对角矩阵，则称A 可对角化可对角化 → 本节问题：什么样的线性变换可以对角化？1. (定理定理1) A (∈∈L(V), dimV=n) 可对角化的可对角化的2.充要条件是：充要条件是：A 有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 .高等代数7线性变换高等代数7线性变换2 (定理定理8) 属于不同特征值的特征向量线性无关属于不同特征值的特征向量线性无关.证明证明： 对特征值的个数n进行归纳. 仅一个特征值λ1时，据定义存在非零向量ξ∈V，有 A ξ=λ1ξ成立 → ξ显然线性无关. 设属于k个不同特征值的特征向量线性无关，现证属于k+1个不同特征值λ1, ···,λk, λk+1的特征向量 ξ1, ···,ξk, ξk+1线性无关. 设 a1ξ1+ ··· + akξk + ak+1ξk+1= 0 (1)给等式（1）两边同乘以λk+1，得 a1 λk+1 ξ1+ ··· + ak λk+1 ξk + ak+1 λk+1 ξk+1= 0 （2）给等式（1）两边同施以线性变换A ，得高等代数7线性变换 A（a1ξ1+ ··· + akξk + ak+1ξk+1) = a1A ξ1+ ··· + akA ξk + ak+1A ξk+1 = a1λ1ξ1+ ··· + akλkξk+ ak+1λk+1ξk+1 = 0 (3)由(3) －(2) 得 a1(λ1－λk+1)ξ1+ ··· + ak(λk－λk+1)ξk + ak+1(λk+1－λk+1)ξk+1= 0 → a1(λ1－λk+1)ξ1+ ··· + ak(λk－λk+1)ξk = 0 → 因 ξ1, ···,ξk 线性无关 (归纳假定) 可知 ai(λi－λi) = 0 , i =1, ··· , n → 因特征值互异，即λi－λi ≠ 0 , i =1, ··· , n ，故得 a1= ··· = a k = 0 → 等式 (1) 为 a k+1ξk+1 = 0 → 由ξk+1≠ 0 推出 a k+1 = 0 → ξ1, ···,ξk, ξk+1线性无关. □高等代数7线性变换3 （推论推论1） A ∈∈L(V), dimV=n, fA (λ)在数域在数域P中有中有n个个 不同的根，则可对角化不同的根，则可对角化. ············ξ1ξ2ξn λ1 λ2 ··············· λnA 高等代数7线性变换4 (推论推论2) A ∈∈L(V), dimV=n, fA (λ)在复数域在复数域C中无重中无重5根，则可对角化根，则可对角化.l 证明思路与定理8相仿，对特征值的个数k 进行归纳即可，此处从略. 关键是正确理解意义. 高等代数7线性变换 ······ λ1 λ2 ··············· λk A (∈∈L(V))高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换7.6线性变换的值域与核高等代数7线性变换一一 引入概念引入概念定义6 A (∈L(V)) 的值域 A V = { Aξ| ξ∈V}；A 的核 A －1(0) = {ξ| Aξ= 0,ξ∈V}.Ø 也将A 的值域和核表示为： A V = ImA , A －1(0) = KerA .vA A V 0 A V A －－1 1( (0)0)高等代数7线性变换Ø 称称dimA V为为A 的秩，的秩，dimA －－1(0) 为为A 的零度的零度.Ø A V , A －1(0) 是 V 的子空间.证明证明： 对任意的A α，A β∈A V， A α+A β= A (α+β)，kA α= A (kα)∈A V，且A V非空，故A V是V的子空间. 对任意的α,β∈A －1(0) → A α=A β= 0 →A (α+β) =A α+A β= 0，A (kα)= kA α= 0 → α+β， kα∈A －1(0) , 且 A －1(0) 非空 故A －1(0) 是V的子空间. □高等代数7线性变换例例 线性空间 P[x]n 中 D (f (x)) = f /(x). 则 D 的值域为P[x]n-1, D 的核为子空间P.二二. 值域与核的性质值域与核的性质1( (定理定理定理定理10) 10) A A ∈∈∈∈L(V), εL(V), ε1 1, ··· ,, ··· ,εnεn是是是是V V的基，且的基，且的基，且的基，且 A A 在在在在2该基下的矩阵为该基下的矩阵为该基下的矩阵为该基下的矩阵为A A，则，则，则，则 1) 1) A A V= V= A A (L((L(ε ε1 1, , ···, ···, ε εn n )) = L( )) = L( A A ε ε1 1, ···, , ···, A Aεnεn ) )；；；； 2) 2) A A 的秩的秩的秩的秩 = A= A的秩的秩的秩的秩. .Ø A（（L(ε1, ···,εn )）= L(A ε1, ···, A εn )高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换2(定理11) A ∈L(V), dimV=n，则 A 的秩+ A 的零度 = n .高等代数7线性变换高等代数7线性变换3.(推论) ∈L(V), dinV = n ，则4. A 是单射的充要条件为A 是满射 证明思路分析证明思路分析证明思路分析证明思路分析：： 分三步完成：分三步完成： （（1 1）） A A 是单射的充要条件为是单射的充要条件为 A A －－1 1(0) = {0}(0) = {0}；； （（2 2）） A A －－1 1(0) = {0}(0) = {0}的充要条件为的充要条件为 A A V = VV = V；； （（3 3）） A A V = V V = V 的充要条件为的充要条件为A A 是满射是满射. .高等代数7线性变换高等代数7线性变换Ø 该性质说明该性质说明：dimA V+dimA －1(0) = n. 但此时不能断定A V+A －1(0) =V. 例如在 P[x]n 中, D P[x]n = P[x]n-1, D －1(0) = P, D P[x]n + D －1(0) = P[x]n-1≠ P[x]n . 其中 ， D P[x]n ∩ D －1(0) = P . 即dim (D P[x]n + D －1(0)) = n－1, 而dim(D P[x]n ∩ D －1(0)) =1.例例 设A∈Pn×n，A2 = A. 证明A相似于一个对角矩阵高等代数7线性变换 高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换7.7不变子空间高等代数7线性变换一一 不变子空间的概念及性质不变子空间的概念及性质定义定义7 A ∈L(V), W是数域P上线性空间V的子空间，称W是A 的不变子空间的不变子空间，简称为A －－子空间子空间，如果：对任意的ξ∈W，Aξ∈W .Ø 即 A W W （对线性变换A 封闭）.性质性质1 对任意的A∈L(V),V,{0}是A－子空间（例1）. V WA W性质性质2 对任意的A ∈L(V), A 的值域A V, 核 A －1(0)是A －子空间(例2).证明证明： 对η∈A V→η∈V→A η∈A V, η∈A －1(0) , A η= 0∈A －1(0)，故命题成立. □性质性质3 AB =BA ，则B V, B －1(0)是A －子空间(例3).证明证明： 对任意的Bξ∈B V，A (Bξ) = B (Aξ)∈B V→ B V是A －子空间. 对任意的ξ∈B －1(0), Bξ= 0, 要证明 ξ∈B －1(0)，关键证B (A ξ) = 0. 而 B (A ξ) = A (Bξ) = A (0) = 0,故B －1(0)是A －子空间. □ Ø 同理： A V， A －1(0)是B －子空间.Ø 由于A f (A ) = f (A )A ，故 f (A ) V, f (A )－1(0)是A －子空间.性质性质4 K ∈L(V), 则V的任一子空间是K －子空间.Ø V的任一子空间是零变换，单位变换的不变子空间.证明证明：设W是V的任一子空间，对任意的α∈W, 由子空间的定义可知，Kα= kα∈W, 故命题成立. □性质性质5 A ∈L(V), W是A －子空间，f (x)∈P[x], 则W是f (A )－子空间.性质性质6 W1, W2是A －子空间，则 W1+W2 , W1∩W2仍是A －子空间.证明证明： 对任意的α1+α2∈W1+W2，A (α1+α2) = Aα1+Aα2 ∈W1+W2. 对任意的α∈W1∩W2，Aα∈W1且Aα∈W2，故Aα∈W1∩W2，所以命题成立. □性质性质7 A ∈L(V), 则A 的属于特征值λ的特征子空间Vλ是A－子空间.证明证明： 对任意的ξ∈Vλ, Aξ=λξ∈Vλ → Vλ是A－子空间. □性质性质8 A ∈L(V), 则A 有一维A－子空间的充要条件是：存在λ∈P, 对任意的ξ(≠0)∈W, A ξ=λξ,且 W= L(ξ).高等代数7线性变换Ø 该性质即说：W是A 的一维不变子空间的充要条件是：W是A 的某特征值λ的一维特征子空间Vλ.证明证明： 必要性 设W是A －子空间，dimW = 1 → 取W的基ξ，即W = L(ξ) → A ξ∈W, 即存在λ∈P, 使得 A ξ= λξ成立. 充分性 设Aξ=λξ (ξ≠0) → L(ξ) = W显然是V的一维子空间，对任意的α∈W，α= xξ → 应有 Aα= A (xξ) = xAξ= x(λξ) =λ(xξ) = λα∈W ,即W是一维A －子空间. □高等代数7线性变换二 线性变换在子空间上的限制（A｜W）定义定义 A ∈L(V), W是A －子空间，规定 A｜W：W→W， A｜W(α) = A α(α∈W),称A｜W为A 在W上的限制.A A｜WVWVW高等代数7线性变换Ø 实例：实例：1. A｜A －1(0) 是A －1(0) 上的零变换.（对任意的α∈A －1(0) , A｜A －1(0)(α) =A α= 0 ）2. A∈L(V),W是V的子空间，则A｜W∈L(W).3. A｜Vλ是Vλ上的数乘变换.（对任意的α∈Vλ，Aα=λα）性质性质10 A∈L(V),W = L(α1, ···,αr )是V的A－子空间的充要条件是： Aα1, ···,Aαr∈W.证明证明：A W = A L(α1, ···,αr ) = L(Aα1, ···,Aαr )，故高等代数7线性变换三三 不变子空间与线性变换的对角化不变子空间与线性变换的对角化高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换Ø V分解成A －子空间直和的充要条件：A 在某基下矩阵是准对角矩阵高等代数7线性变换命题： A 可对角化的充要条件是V可分解成A 的一维不变子空间的直和.高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换高等代数7线性变换。