2022年2021年排列组合计算公式及经典例题汇总.docx

排列组合公式 / 排列组合运算公式排列 A 和次序有关组合 C 不牵涉到次序的问题排列分次序 ,组合不分例如 把 5 本不同的书分给 3 个人,有几种分法 . " 排列"把 5 本书分给 3 个人, 有几种分法 " 组合" 1．排列及运算公式从 n 个不同元素中, 任取 m〔m≤n〕 个元素依据确定的次序排成一 列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.从 n 个不同元素中取出 m〔m≤n〕 个元素的全部排列的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 A〔n,m〕 表示 .A〔n,m〕=n〔n-1〕〔n- 2〕 ⋯⋯ 〔n-m+1〕= n./〔n-m〕.〔 规定 0.=1〕.2. 组合及运算公式从 n 个不同元素中,任取 m〔m≤n〕 个元素并成一组,叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的一个组合.从 n 个不同元素中取出 m〔m≤n〕 个元素的全部组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载c〔n,m〕 表示.c〔n,m〕=A〔n,m〕/m.=n./〔〔n-m〕.*m.〕 . c〔n,m〕=c〔n,n-m〕;3. 其他排列与组合公式从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数＝ A〔n,r〕/r=n./r〔n-r〕..n 个元素被分成 k 类,每类的个数分别是 n1,n2,...nk 这 n 个元素的全排列数为n./〔n1.*n2.*...*nk.〕.k 类元素 ,每类的个数无限 ,从中取出 m 个元素的组合数为c〔m+k-1,m〕.排列（ Anm〔n 为下标, m 为上标 〕）Anm=n× （ n-1 ） ....（ n-m+1 ）. Anm=n 。

/（ n-m ）是阶乘符号）. Ann （两个 n 分别为上标和下标） =n 1. An1 （ n 为下标 1 为上标） =n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载组合（ Cnm〔n 为下标, m 为上标 〕）Cnm=Anm/Amm. Cnm=n /m n-m ） Cnn （两个 n分别为上标和下标）=1 . Cn1 （ n 为下标 1 为上标） =n .Cnm=Cnn-m2021-07-08 13:30公式 A 是指排列,从 N个元素取 R个进行排列.公式 C是指组合,从 N个元素取 R个,不进行排列.N-元素的总个数R参加挑选的元素个数 阶乘 ,如 9＝ 9*8*7*6*5*4*3*2*1从 N倒数 r 个,表达式应当为 n* （ n-1〕*〔n-2〕..〔n-r+1〕;由于从 n 到（n-r+1〕 个数为n－（ n-r+1〕 ＝r 举例：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载Q1: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球, 请问, 可以组成多少个三位数？A1: 123 和 213 是两个不同的排列数. 即对排列次序有要求的,既属于“排列 A”运算范畴.上问题中,任何一个号码只能用一次,明显不会 显现 988,997 之类的组合, 我们可以这么看, 百位数有 9 种可能,十位数就应当有 9-1 种可能,个位数就应当只有 9-1-1 种可能,最终共有 9*8*7 个三位数.运算公式＝ A（ 3, 9〕 ＝ 9*8*7,〔 从 9 倒数 3 个的乘积）Q2: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球,请问,假如三个一组, 代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”？A2: 213 组合和 312 组合,代表同一个组合, 只要有三个号码球在一起即可. 即不要求次序的, 属于“组合 C”运算范畴.上问题中, 将全部的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 C〔3,9〕=9*8*7/3*2*1排列，组合的概念和公式典型例题分析例 1 设有 3 名同学和 4 个课外小组． （1）每名同学都只参加一个课外小组.（ 2）每名同学都只参加一个课外小组,而可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载且每个小组至多有一名同学参加．各有多少种不同方法？解（ 1）由于每名同学都可以参加 4 个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有 种不同方法．（ 2）由于每名同学都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名同学参加,因此共有 种不同方法．点评 由于要让 3 名同学逐个挑选课外小组, 故两问都用乘法原理进行运算．例 2 排成一行,其中 不排第一, 不排其次, 不排第三, 不排第四的不同排法共有多少种？解 依题意,符合要求的排法可分为第一个排 ， ， 中的某一个,共 3 类,每一类中不同排法可接受画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有 9 种．点评 依据分“类”的思路,此题应用了加法原理．为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做 法,也是解决计数问题的一种数学模型．例３ 判定以下问题是排列问题仍是组合问题？并运算出结果．（1） ）高三年级同学会有 11 人：①每两人互通一封信,共通了多少封信？②每两人互握了一次手,共握了多少次手？（2） ）高二年级数学课外小组共 10 人：①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法？②从中选 2 名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法？（ 3）有 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, 19 八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载个求它的积,可以得到多少个不同的积？（ 4）有 8 盆花： ①从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆, 有多少种不同的选法？②从中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？分析 （ 1）①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与次序有关是排列.②由于每两人 互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与次序 无关,所以是组合问题．其他类似分析．（1） ）①是排列问题,共用了 封信.②是组合问题,共需握手 （次）．（2） ①是排列问题,共有 （种）不同的选法.②是组合问题,共有 种不同的选法．（3） ）①是排列问题,共有 种不同的商.②是组合问题,共有 种不同的积．（4） ）①是排列问题,共有 种不同的选法.②是组合问题, 共有 种不同的选法．例４ 证明 ． 证明 左式右式．∴ 等式成立．点评 这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质 ,可使变形过程得以简化．例 5 化简 ． 解法一 原式可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载解法二 原式点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式, 并利用阶乘的性质.解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化．例 6 解方程：（ 1） .（ 2） ． 解 （ 1）原方程解得 ．（ 2）原方程可变为∵, ,∴即原方程可化为,解得．第六章 排列组合，二项式定理一，考纲要求1. 把握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简洁的问题 .2. 懂得排列，组合的意义,把握排列数，组合数的运算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简洁的问题 .3. 把握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们运算和论证一些简洁问题 .二，学问结构可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载三，学问点，才能点提示〔 一〕 加法原理乘法原理说明 加法原理，乘法原理是学习排列组合的基础,把握此两原理为处理排 列，组合中有关问题供应了理论依据 .例 1 5 位高中毕业生,预备报考 3 所高等院校,每人报且只报一所,不同的报名方法共有多少种 .解： 5 个同学中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名,因而每个同学都有 3 种不同的 报名方法,依据乘法原理, 得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=3 5〔 种〕〔 二〕 排列，排列数公式说明 排列，排列数公式及解排列的应用题,在中学代数中 较为特别,它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面把握的学问不同,内容抽象,解题方法比较灵敏,历届高考主要考 查排列的应用题,都是挑选题或填空题考查 .例 2 由数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数,其中小于 50 000 的 偶数共有 〔 〕A.60 个 B.48 个 C.36个 D.24 个1解 由于要求是偶数,个位数只能是 2 或 4 的排法有 A 2.小于 50 000 的五位数,万位只能是 1，3 或 2，4 中剩下的一个的1 3排法有 A 3; 在首末两位数排定后,中间 3 个位数的排法有 A 3,1 3 1得 A 3A 3A 2＝ 36〔 个〕由此可知此题应选 C.例 3 将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载里,每格填一个数字,就每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种 .解： 将数字 1 填入第 2 方格,就每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 3 种,即 214 3,3142,4123.同样将数字 1 填入第 3 方格,也对应着 3 种填法.将数字 1 填入第 4 方格,也对应 3 种填法,因此共有填法为3A13=9〔 种〕.例四 例五可能有问题,等摸索三〕 组合，组合数公式，组合数的两个性质说明 历届高考均有这方面的题目显现, 主要考查排列组合的应用题,且基本上都是由挑选题或填空题考查 .例 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台,就不同的取法共有 〔 〕A.140 种 B.84 种 C.70种 D.35 种1 2解： 抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C 4·C52 1种.甲型 2 台乙型 1 台的取法有 C 4·C5 种依据加法原理可得总的取法有C2 2 2 14·C5+C4·C5=40+30=70〔种 〕可知此题应选 C.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载例 5 甲，乙，丙，丁四个公司承包 8 项工程,甲公司承包 3项,乙公司承包 1 项,丙，丁公司各承包 2 项,问共有多少种承包方式 .3C1解： 甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C 8 种. 乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有5 种.2丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式有 C 4 种.2丁公司从甲，乙，丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2项工程的方式有 C 2 种.3 1 2 2可编辑资。