矩阵论简明教程9.doc

§4 的应用 一、线性方程组相容性的判别与通解定理 设，，则线性方程组相容的充要条件是；且相容时的通解为=+， 任意 二、相容线性方程组的极小范数解当相容线性方程组有无穷多解时，需要在其中求出-范数最小的解，即求的解，使=称为相容方程组的极小范数解 定理 相容方程组的极小范数解唯一，且= 证 可知的通解为=+， 任意从而 ==++ =+++ =+++ =+即，由于是的解，所以它是极小范数解 再证唯一性设是的极小范数解，则存在，使 =+，且=如同前面推导可得==+于是得，即 =，故=证毕 三、矛盾方程组的最小二乘解当方程组不相容时，它没有通常意义下的解，此时对任意都有人们希望求出这样的，它使为最小，即=称这个问题为最小二乘问题，称为矛盾方程组的最小二乘解 定理 矛盾方程组的全部最小二乘解为=+， 任意 证 因为==，而对任意，有==++ + =+++ =+++ =+=可见不管如何取值，=+总是最小二乘解再证的任一最小二乘解总可以表为上述形式因为=，与前面推导类似有=+从而=0，即=，可见是方程组=的解。

由=知，方程组=相容，且通解为=+=+， 任意故 =+，，即具有上述形式证毕 推论1 是矛盾方程组的最小二乘解的充要条件是，是相容方程组=的解 推论2 是矛盾方程组的最小二乘解的充要条件是，是相容方程组=的解 证 若满足=，则===反之，若满足=，则======最后说明方程组=总是相容的利用=得==即=，故=相容证毕 四、矛盾方程组的极小范数最小二乘解矛盾方程组的最小二乘解一般不唯一，在所有最小二乘解中-范数最小的解，即=称为矛盾方程组的极小范数最小二乘解或最佳逼近解 定理 矛盾方程组的极小范数最小二乘解是唯一的，且= 证 由推论1知的最小二乘解是=的解，从而的极小范数最小二乘解就是=的极小范数解，故它是唯一的，且 == 证毕 综上所述可以发现，有了Moore-Penrose逆后，方程组的各种“解”可以统一表述如下： （1） 相容=； （2）=+ （任意）是相容方程组的通解，或是矛盾方程组的全部最小二乘解； （3）=是相容方程组的极小范数解，或是矛盾方程组的极小范数最小二乘解。

例 用广义逆矩阵方法判断线性方程组是否相容？如果相容，求通解和极小范数解；如果不相容，求全部最小二乘解和极小范数最小二乘解 解 该方程组的系数矩阵，右端向量为，前面已求得 因为，所以方程组相容，其通解为=+=+，任意极小范数解为 == 例 已知， 1．求的满秩分解； 2．求； 3．用广义逆方法判断是否有解； 4．求的极小范数解或极小范数最小二乘解（指出所求的是哪种解）解 1. =； 2. =； 3. ==，方程组无解； 4. 极小范数最小二乘解 == 例 设（）是中两两正交的单位列向量，记，则=分析 因为=，所以==== 例 设，证明证 =，但== 记=，注意到 ===设，则有由得，即或是的特征值，由列满秩知，当时，，于是==，即1是的特征值，故== 例 已知，则=或 分析 法1. 取，，则，从而==法2. =， ==165。