数学压轴题研究——面积最值.doc

积】r规则图形面积直接利用面积公式（1•定方向:面积最值问题的分析思路2.定目标:3.定解法:k 4.定最值:不规则图形面积分解为规则图形再表示确泄待求条件解决待求条件＜-题目川有角度或者三角函数值解直 角三角形）题H中只有长度相似）根据函数解析式和范围求最值•••CN-%2 + 4 兀••• y = s 梯形 abcn =1 —x~ + 4x 弍 4、+ 4 L4/= --x2+2x + 8 = --(x-2)2+10 (0

4）定最值：根据范围确定最值在顶点取得 解：（1）三直角结构；（略）（2） v RtAABM RtAMCN ,AB BM 4 x••亦—页…7^7 一莎’当x = 2时，y取最大值，最大值为10.练习：如图：等腰梯形ABCD, AB = 7, CD=1, AD = BC=5.点M, N分别在边AD, BC上运动，MN〃AB, ME丄AB, NF丄AB求当AE等于多少时，四边形MEFN面积的最大值.答案S矩形mefn=ME・EF49+ 一 •6当尸訓，面积的最大值为眷模型二例 2：如图，Rt/XABC , ZBAC = 90°, ZC = 60°, BC = 24,点 P 是 BC 边上的动点（点 P与点B、C不重合），过动点P作PD 〃必交AC于点D试问：当PC等于多少时， AAPD的面积最大？最大面积是多少？分析：（1）定方向：直角三角形（规则图形）面积问题；（2） 定目标：Z\ADP的底PD,高AD都不知道（待求条件）（3） 定解法：本题有明显的角度或三角函数值所以本题是利用解直角三角形求PD 和AD的长4） 定最值：根据范围确定最值在顶点取得解： 设 PC = x, V PD// BA, = 90° , A ZPDC = 90° ,又 V ZC = 60°,A AC = 24ios60° = 12, "560。

*,・・・412一討而-24x) = -—(x-12)2+18a/3 .8(0

4) 定最值：根据范围确定最值在顶点取得解：(1) y = —2兀+ 3(2)解法1:过点E作EF丄兀轴于点F,设E(a -a2 -267 + 3)EF= — a2 —2a + 3 , BF=a+3, OF=—aS 四边形 BOCE - S、bef1四边形EFOC =㊁BF・EF ++ (OC +EF). OF1 . 1=—(a+3 )•(——2a+3) + —(—2a+6)・(~a)2 23 9 9=—a2—a-\■_ (—3<«<0)2 2 23 63当ci -——时，S四边形BOCE最大，最大值为 •2 83 15此时，点E坐标为(一2,—)2 4解法2：过点E作防丄兀轴于点F,设E(a, b)则 S 四边形boce = —(3 + b )•(—a) + — (3 + a\b2 23 3=—(b—a)= —(― 3d + 3)2 23 / 3.2 63 八=——(a + —) + —— (—3< a <0)2 2 8当CI =— 3时，S四边形BOCE最大，且最大ff［为 •2 83 15此时，点E坐标为(一？，—)2 4点睛：(1)本质：求E点坐标本质就是求EF和OF的长2) 设法：两种设点E的方法本质是相同的，都是用横坐标表示纵坐标。

只是表示的时机不同而已3) 易错：长度和坐标之间的转化要考虑象限；练习1：如图，抛物线y = x1-2x^k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0, -3 ).(1) k = ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;(2) 在x轴下方的抛物线上是否存在一点D,使四边形ABDC的面积 最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；心心 c 3/ 3、2 75答案：S= (772 ) H •2 2 83 15 75存在点D(—, ),使四边形ABDC的面积最大为—.2 4 8r模型四例2：如图，抛物线y = -%2 +bx + c与x轴交与A(1,O),B(- 3, 0)两点1) 求该抛物线的解析式；(2) 在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△/为C的面积最大？，若存 在，求11!点P的坐标及△磁的面积最大值.若没有，请说明理由.分析：(1)定方向：斜APBC (不规则图形)面积问题，分解四边形PCOB减去△ BOC；(2)定目标：利用P点坐标表示BE,PE,OE,及求OC的长(待求条件)(3) 定解法：利用坐标表示长度要关注所处的象限解：(1) y = -x2 -2x + 3(2)答：存在。

解法1：(4) 定最值：根据范围确定最值在顶点取得设 P 点(x.-x2 -2x + 3) (-3< x<0)_ 9S&BPC ~ S四边形BPCO ~ S'BOC ~ S四边形BPCO ~1 1 9=—BE • PE + — OE(PE + OC)——2 2 亠=扣+濒』-2r+3)-U_ 3/ 3、2 272 2 83 ?7当 x = ~2 f S、BPc 最大=—3・・•点P坐标为匸,解法2：S'bpc =*PFOB解法3：过P作PF〃X轴,过B作BG〃Y轴.S\BPC ~ S矩形fgbO—S 'BCO — S \BGP — S\PFC点睛：(1) 本质：三法都是将不规则图形转化为规则图形法1和法2体现面积的“割”；而法3 是面积的“补”2) 技巧：法二的分割方法为铅垂高分割法；简洁方便，值得记忆练习2.如图，抛物线经过A(4,0), 3(1,0), C(0,-2)三点.(1) 求出抛物线的解析式；(2) 在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标.答案：(1) y = 一丄 x2+-X-2.2 2⑵S^DAC = — x1 、一一t2 +2t x4 = -r +4r = -(r-2)2 +4 2 12 丿。