2024年高考真题——数学试卷（新高考II卷）解析版.pdf

12024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 II 卷）卷）数数学学本试卷共本试卷共 10 页，页，19 小题，满分小题，满分 150 分分.注意事项：注意事项：1.答题前答题前，先将自己的姓名先将自己的姓名、准考证号准考证号、考场号考场号、座位号填写在试卷和答题卡上座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答选择题的作答：每小题选出答案后每小题选出答案后，用用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知1iz ，则z（）A.0B.1C.2D.2【答案】C【解析】【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.【详解】若1 iz ，则22112z .故选：C.2.已知命题 p：x R，|1|1x；命题 q：0 x，3xx，则（）A.p 和 q 都是真命题B.p和 q 都是真命题C.p 和q都是真命题D.p和q都是真命题【答案】B【解析】【分析】对于两个命题而言，可分别取=1x、1x，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.【详解】对于p而言，取=1x，则有101x，故p是假命题，p是真命题，对于q而言，取1x，则有3311xx，故q是真命题，q是假命题，2综上，p和q都是真命题.故选：B.3.已知向量,a b 满足1,22aab，且2bab，则b（）A.12B.22C.32D.1【答案】B【解析】【分析】由2bab得22ba b，结合1,22aab，得221 441 64a bbb ，由此即可得解.【详解】因为2bab，所以20bab，即22ba b，又因为1,22aab，所以221 441 64a bbb ，从而22b.故选：B.4.某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并部分整理下表亩产量900，950）950，1000）1000，1050）1100，1150）1150，1200）频数612182410据表中数据，结论中正确的是（）A.100 块稻田亩产量的中位数小于 1050kgB.100 块稻田中亩产量低于 1100kg 的稻田所占比例超过 80%C.100 块稻田亩产量的极差介于 200kg 至 300kg 之间D.100 块稻田亩产量的平均值介于 900kg 至 1000kg 之间【答案】C【解析】【分析】计算出前三段频数即可判断 A；计算出低于 1100kg 的频数，再计算比例即可判断 B；根据极差计3算方法即可判断 C；根据平均值计算公式即可判断 D.【详解】对于 A,根据频数分布表可知,6 12 183650,所以亩产量的中位数不小于1050kg,故 A 错误；对于 B，亩产量不低于1100kg的频数为341024，所以低于1100kg的稻田占比为1003466%100，故 B 错误；对于 C，稻田亩产量的极差最大为1200900300，最小为1150950200，故 C 正确；对于 D，由频数分布表可得，亩产量在1050,1100)的频数为100(6 12 1824 10)30，所以平均值为1(6 925 12 975 18 102530 107524 1125 10 1175)1067100，故 D 错误.故选；C.5.已知曲线 C：2216xy（0y），从 C 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段PP，P为垂足，则线段PP的中点 M 的轨迹方程为（）A.221164xy（0y）B.221168xy（0y）C.221164yx（0y）D.221168yx（0y）【答案】A【解析】【分析】设点(,)M x y，由题意，根据中点的坐标表示可得(,2)P xy，代入圆的方程即可求解.【详解】设点(,)M x y，则0(,),(,0)P x yP x，因为M为PP的中点，所以02yy，即(,2)P xy，又P在圆2216(0)xyy上，所以22416(0)xyy，即221(0)164xyy，即点M的轨迹方程为221(0)164xyy.故选：A6.设函数2()(1)1f xa x，()cos2g xxax，当(1,1)x 时，曲线()yf x与()yg x恰有一个交点，则a（）A.1B.12C.1D.24【答案】D【解析】【分析】解法一：令 21,cosaxF xaxG x，分析可知曲线()yF x与()yG x恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在 y 轴上，即可得2a，并代入检验即可；解法二：令 (),1,1h xf xg xx，可知 h x为偶函数，根据偶函数的对称性可知 h x的零点只能为 0，即可得2a，并代入检验即可.【详解】解法一：令()f xg x，即2(1)1cos2a xxax，可得21cosaxax，令 21,cosaxF xaxG x，原题意等价于当(1,1)x 时，曲线()yF x与()yG x恰有一个交点，注意到 ,F xG x均为偶函数，可知该交点只能在 y 轴上，可得 00FG，即1 1a，解得2a，若2a，令 F xG x，可得221 cos0 xx 因为1,1x，则220,1 cos0 xx，当且仅当0 x 时，等号成立，可得221 cos0 xx，当且仅当0 x 时，等号成立，则方程221 cos0 xx 有且仅有一个实根 0，即曲线()yF x与()yG x恰有一个交点，所以2a 符合题意；综上所述：2a.解法二：令 2()1cos,1,1h xf xg xaxax x，原题意等价于 h x有且仅有一个零点，因为 221cos1coshxaxaxaxaxh x，则 h x为偶函数，根据偶函数的对称性可知 h x的零点只能为 0，即 020ha，解得2a，若2a，则 221cos,1,1h xxx x，5又因为220,1 cos0 xx当且仅当0 x 时，等号成立，可得 0h x，当且仅当0 x 时，等号成立，即 h x有且仅有一个零点 0，所以2a 符合题意；故选：D.7.已知正三棱台111ABCABC-的体积为523，6AB，112AB，则1A A与平面 ABC 所成角的正切值为（）A.12B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高4 33h，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得4 33AM，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥PABC，1A A与平面 ABC 所成角即为PA与平面 ABC 所成角，根据比例关系可得18PABCV，进而可求正三棱锥PABC的高，即可得结果.【详解】解法一：分别取11,BC BC的中点1,D D，则113 33AD,AD=，可知1 1 11316 69 3,233222ABCA B CSS ，设正三棱台111ABCABC-的为h，则1 1 11529 339 3333ABCA B CVh，解得4 33h，如图，分别过11,A D作底面垂线，垂足为,M N，设AMx，则22211163AAAMAMx=+=+，2 3DNADAMMNx=-=-，6可得22211162 33DDDND Nx，结合等腰梯形11BCC B可得22211622BBDD,即2216162 3433xx，解得4 33x，所以1A A与平面 ABC 所成角的正切值为11tan1AMA ADAM=；解法二：将正三棱台111ABCABC-补成正三棱锥PABC，则1A A与平面 ABC 所成角即为PA与平面 ABC 所成角，因为11113PAABPAAB，则1 1 1127P A B CP ABCVV，可知1 1 12652273ABC A B CP ABCVV，则18PABCV，设正三棱锥PABC的高为d，则1136 618322P ABCVd ，解得2 3d，取底面 ABC 的中心为O，则PO底面 ABC，且2 3AO，所以PA与平面 ABC 所成角的正切值tan1POPAOAO.故选：B.8.设函数()()ln()f xxaxb，若()0f x，则22ab的最小值为（）A.18B.14C.12D.1【答案】C【解析】【分析】解法一：由题意可知：()f x的定义域为,b，分类讨论a与,1bb的大小关系，结合符号7分析判断，即可得1ba，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析ln()xb的符号，进而可得xa的符号，即可得1ba，代入可得最值.【详解】解法一：由题意可知：()f x的定义域为,b，令0 xa解得xa；令ln()0 xb解得1xb；若 ab，当,1xbb 时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x，不合题意；若1bab ，当,1xab 时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x，不合题意；若1ab ，当,1xbb 时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x；当1,xb时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x；可知若1ab ，符合题意；若1ab ，当1,xba时，可知0,ln0 xaxb，此时()0f x，不合题意；综上所述：1ab ，即1ba，则2222211112222abaaa，当且仅当11,22ab 时，等号成立，所以22ab的最小值为12；解法二：由题意可知：()f x的定义域为,b，令0 xa解得xa；令ln()0 xb解得1xb；则当,1xbb 时，ln0 xb，故0 xa，所以10ba；1,xb时，ln0 xb，故0 xa，所以10ba；故10ba，则2222211112222abaaa，当且仅当11,22ab 时，等号成立，所以22ab的最小值为12.8故选：C.【点睛】关键点点睛：分别求0 xa、ln()0 xb的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分.在每小题给出的在每小题给出的四个选项中选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求.全部选对得全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分分.9.对于函数()sin2f xx和()sin(2)4g xx，下列正确的有（）A.()f x与()g x有相同零点B.()f x与()g x有相同最大值C.()f x与()g x有相同的最小正周期D.()f x与()g x的图像有相同的对称轴【答案】BC【解析】【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A 选项，令()sin20f xx，解得,2kxkZ，即为()f x零点，令()sin(2)04g xx，解得,28kxkZ，即为()g x零点，显然(),()f x g x零点不同，A 选项错误；B 选项，显然maxmax()()1f xg x，B 选项正确；C 选项，根据周期公式，(),()f x g x的周期均为22，C 选项正确；D 选项，根据正弦函数的性质()f x的对称轴满足2,224kxkxkZ，()g x的对称轴满足32,4228kxkxkZ，显然(),()f x g x图像的对称轴不同，D 选项错误.故。