第3讲 等比数列及前n项和考纲展示 命题探究1 等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q(q≠0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q叫做等比数列的公比．2 等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．3 等比数列的通项公式及其变形通项公式：an＝a1·qn－1(a1q≠0)，其中a1是首项，q是公比．通项公式的变形：an＝am·qn－m.4 等比数列前n项和公式Sn＝或Sn＝5 等比数列的单调性当q>1，a1>0或01，a1<0或00时，{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．注意点 等差中项与等比中项的区别两个数的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个. 1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列. ( )(2)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )(3)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( )(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( )A．63 B．64C．127 D．128答案 C解析 ∵a5＝a1q4，∴16＝q4.又q>0，故q＝2，S7＝＝127，选C.3．已知在等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝，则该等比数列的公比q为( )A. B.C．2 D．8答案 B解析 ∵(a1＋a3)q3＝a4＋a6，∴q3＝＝＝，即q＝. [考法综述] 通过等比数列的通项公式，前n项和公式等考查，a1，an，n，q，Sn之间的运算关系．通过等比数列的概念考查判断数列为等比数列的方法．命题法1 等比数列的基本运算 典例1 (1)在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则公比q的值是( )A．2 B．－2C．3 D．－3(2)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．[解析] (1)易得q≠1，由题意得两式相除得1＋q3＝9，所以q＝2.(2)由a8＝a6＋2a4，两边都除以a4，得q4＝q2＋2，即q4－q2－2＝0⇔(q2－2)(q2＋1)＝0，∴q2＝2.∵a2＝1，∴a6＝a2q4＝1×22＝4.[答案] (1)A (2)4【解题法】 等比数列的基本运算方法 (1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行． (2)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题． (3)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，，x，xq，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，，，xq, xq3，…(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．命题法2 等比数列的判定与证明 典例2 已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[解] (1)证明：∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝.∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，∴a1＝，c1＝－.又cn＝an－1，故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n，∴an＝1－n.【解题法】 等比数列的判定方法(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定．1.已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )A．21 B．42C．63 D．84答案 B解析 解法一：由于a1(1＋q2＋q4)＝21，a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.解法二：同解法一求出q2＝2，由a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝42，故选B.2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列答案 D解析 根据等比数列性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N*)，则am，ak，an成等比数列，故选D.3．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )A．n(n＋1) B．n(n－1)C. D.答案 A解析 ∵a2，a4，a8成等比数列，∴a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，将d＝2代入上式，解得a1＝2，∴Sn＝2n＋＝n(n＋1)，故选A.4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，公比q＝2，Sk＋2－Sk＝48，则k等于( )A．7 B．6C．5 D．4答案 D解析 ∵Sk＝＝2k－1，∴Sk＋2＝2k＋2－1，由Sk＋2－Sk＝48得2k＋2－2k＝48,2k＝16，k＝4.故选D.5．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.答案 1解析 设数列{an}的公差为d，则a1＝a3－2d，a5＝a3＋2d，由题意得，(a1＋1)(a5＋5)＝(a3＋3)2，即(a3－2d＋1)·(a3＋2d＋5)＝(a3＋3)2，整理，得(d＋1)2＝0，∴d＝－1，则a1＋1＝a3＋3，故q＝1.6．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1.若a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋2＋an＋1－2an＝0，则S5＝________.答案 11解析 设数列{an}的公比为q，由an＋2＋an＋1－2an＝0，得anq2＋anq－2an＝0，显然an≠0，所以q2＋q－2＝0，又q≠1，所以q＝－2，所以S5＝＝11.7．设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.解 (1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3，此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，所以an＝(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝.当n>1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.所以T1＝b1＝；当n>1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝＋－(n－1)×31－n＝－，所以Tn＝－.经检验，n＝1时也适合．综上可得Tn＝－.8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；(2)证明＋＋…＋<.证明 (1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列．an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.所以＋＋…＋<.9.已知数列{an}和{bn}满足：a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．扫一扫·听名师解题(1)对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；(2)试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论．解 (1)证明：假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，则有a＝a1a3，即2＝λ，故λ2－4λ＋9＝λ2－4λ，即9＝0，这与事实相矛盾．∴对任意实数λ，数列{an}都不是等比数列．(2)∵bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]＝(－1)n＋1＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn，又b1＝－(λ＋18)，∴当λ＝－18时，b1＝0(n∈N*)，此时{bn}不是等比数列；当λ≠－18时，b1＝－(λ＋18)≠0，则bn≠0，∴＝－(n∈N*)．故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．等比数列及其前n项和的性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．(4)Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn.(5)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．(6)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．(7)若数列{an}的项数为2n，S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.注意点 使用性质解题时的注意事项(1)在使用等比数列及其前n项和的性质时，要注意字母间的上标、下标的对应关系．(2)在等比数列中，若am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*)，则不一定有m＋n＝p＋q成立．如{an}是非零常数列时，此结论就不成立. 1．思维辨析(1)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )(2)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( )(3)若{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．( )(4)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a4a10＝16，则a6＝( )A．1 B。
