自动控制原理 第四章 根轨迹小结.ppt

根轨迹概念根轨迹概念常规根轨迹：在负反馈系统，开环系统根轨增益K*由0 变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹 根轨迹与系统性能（稳定性）密切相关 广义根轨迹：除根轨增益K*以外的其他情况下的根轨 迹称广义根轨迹参数根轨迹：在负反馈系统，以非根轨增益K* 为可变参数绘制的根轨迹零度根轨迹：在正反馈系统，开环系统根轨增益 K*由0变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹根轨迹方程 特征方程 1+G（s）H ( s ) = 01+K*= 0j=1m∏s pi( - ) pi开环极点“×”,也是常数！开环零点“○”,是常数！Zji=1n∏根轨迹增益K* ，不是定数，从0 ~ ∞变化 这种形式的特征方程就是根轨迹方程s zj( -)根轨迹的模值条件与相角条件j=1mn1+K*= 0∏∏((ss--zjpi)) i=1-1∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π k=0, ±1, ±2, …j=1i=1mnj=1mnK*= 1∏∏︱ ss--zjpi︱︱︱i=1K*=mnj=1∏︱ s-zj︱∏ s-pi︱︱ i=1相角条件:模值条件:绘制根轨迹的充要条件 确定根轨迹上某点对应的K*值绘制根轨迹的基本法则 1根轨迹的条数 2根轨迹对称于 轴实就是特征根的个数3根轨迹起始于,终止于j=1mnK*= 1∏∏︱ ss--zjpi︱︱︱i=1j=1mn=∏∏︱ ss--zjpi︱︱︱i=11 K*开环极点开环零点(n≠m?)举例( )0( )∞ 4∣n-m∣条渐近线对称于实轴,均起于σa 点,方向由φa确定:∑pi-∑ zj∣n-m∣i=1j=1nmσa=φa=(2k+1)π n-mk= 0,1,2, …5实轴上的根轨迹 6根轨迹的会合与分离1 说明什么2 d的推导3 分离角定义实轴上某段右侧零、极点个数之和为奇数，则该段是根轨迹j=1m∑ i=1n∑d-pi11 d-zj=k= 0,1,2, …λL=(2k+1)π L,无零点时右边为零L为来会合的根轨迹条数7 与虚轴的交点 可由劳斯表求出 或 令s=jω解出 8 起始角与终止角根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j同学们，头昏了吧？根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j0 0j j00jj0n=1;d=conv([1 2 0],[1 2 2]);rlocus(n,d)n=[1 2];d=conv([1 2 5],[[1 6 10]);rlocus(n,d)变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹解题关键：要将开环传函变形，将非开环增 益的参数变换到开环增益的位置。

参数根轨迹注意：该变形是在等效变换的基础上得来的“等效”仅在闭环极点相同这一点上成立零度根轨迹特征方程为以下形式时，绘制零度根轨迹1 、K*:0 ~ +1–2 、K*:0 ~ –1+零度根轨迹的模值条件与相角条件K*=mnj=1∏︱ s-zj︱∏ s-pi︱︱ i=1模值条件:∑∠(s-zj) －∑∠(s-pj) = (2k+1) π k=0, ±1, ±2, …j=1i=1mn相角条件: 2kπ零度绘制零度根轨迹的基本法则 1根轨迹的条数就是特征根的个数不变 ！不变 ！2根轨迹对称于 轴实 3根轨迹起始于,终止于开环极点开环零点( )0( )∞j=1mn=∏∏︱ ss--zjpi︱︱︱i=11 K*不变 ！4∣n-m∣条渐近线对称于实轴,起点∑pi-∑zj∣n-m∣i=1j=1nmσa =不变 ！渐近线方向: φa=(2k+1)π n-mk= 0,1,2, …2kπ5实轴上某段右侧零、极点个数之和为 奇 数，则该段是根轨迹偶6根轨迹的分离点j=1m∑ i=1n∑d-pi11 d-zj=k= 0,1,2, …λL=(2k+1)π L,不变 ！不变 ！7与虚轴的交点8起始角与终止角变了举例说明利用根轨迹分析系统的性能利用根轨迹分析系统的性能例一、设反馈控制系统中要求： （1）概略绘制系统轨迹图，判断系统的稳定性。

（2）如果改变反馈通路传递函数使 H(s) = 1 + 2S 试判断 H(s) 改变后系统的稳定性，研究 H(s) 改变 所产生的效应 解：（1）系统无开环零点，开环极点为： P1 = P2 = 0 , P3 = – 2 , P4 = – 5实轴上根轨迹区间为：[– 5 ，– 2]，[0 ，0]根轨迹渐近线条数为：4，且：由分离点方程：得：0– 2– 5无论 K* 取何值，闭环系统恒不稳定• （2）当H(s) = 1 + 2S 时，系统开环传递函数为：其中 K1* = 2K* . H(s) 的改变使系统增加了一个 开环零点 实轴上的根轨迹区间为：[– ∞ ，– 5] ，[– 2 ,– 0.5 ],[ 0 , 0 ]根轨迹渐近线条数为：3 且 ：系统闭环特征方程为:列劳斯表 S4 1 10 K*S3 7 2K*S2 K*S当 K* = 22.75 时，劳斯表 S 行的元素全为零 由辅助方程：解得根轨迹与虚轴的交点为： S 1,2 = ± j2.55 .0– 0.5– 2– 5由右图可知 ， 当 0 3 时，根轨迹将有两 条分支伸向[S]平面的右半部，这时系统不稳定，所以系统稳定的开环增益范围为：0 K 33、根据对阻尼比的要求，确定闭环主导极点 S1 , S2 的位置。

首先，在[S]平面上画出 ζ = 0.5 时的阻尼线 ，使其与实轴负方向的夹角为 :θ = cos – 1ζ = cos –1 0.5=600 ， 阻尼线与根轨迹 相交点的坐标设为S1，则从根轨迹图上可测得： S1 = – 0.33 + j0.58 与 S2 = – 0.33 – j0.58利用根轨迹的模值方程可求得与S1点对应的k*值下面确定除S1 , S2极点以外的第三个极点的位置已知两个极点 S1,2 = – 0.33 ± j0.58 ,用综合除法 可求得第三个极点 S3 = – 2.34S3 离虚轴的距离是 S1,2 的7倍，可认为 S1,2 为 主 导极点这样，可根据闭环主导极点 S1,2 来估算 系统的性能指标 系统闭环传递函数近似为二阶系统的形式：∴ σ % = = 16.3 %。