2022年圆锥曲线压轴题解题策略.pdf

学习好资料欢迎下载圆锥曲线压轴题解题策略圆锥曲线问题将几何与代数知识有机结合在一起,较好地考察了学生的数学思维和创新,灵活处理问题的能力,是高考命题的热点之一.本文重点分析圆锥曲线的解题策略,希望同学们读后对圆锥曲线有一个新的认识,并通过自己不断地领悟和练习提高自己的解题能力. 一、知识准备圆锥曲线解题的本质就是将题干中的条件和提干中条件和图形中隐含的几何特征转化成等式或不等式,最后通过代数运算解决问题,而其中的关键是怎样转化或构造不等式. 1抓住定义构造等式，定义是圆锥曲线的核心和根本，涉及焦点时，优先用第一定义或第二定义2抓住题中特殊几何关系来构造等式或应用几何关系使解题简化内心1、三条角平分线支点2、角平分线上的点到两边距离相等3、切线长定理4、面积法（ SABI+SACI+SBCI=SABC）重心1、中线交点2、AH=2HD 重心三条高线交点（可用垂直构造等式）外心垂直平分线交点（垂直平分线的性质构造等式）三角形两边之和大于第三边（焦点三角形）直线与圆锥曲线相交（1）两不同交点 O （2）交于左右两支X1X2O （3）交于同一支X1X2O 用点与圆坐位曲线的关系来构造等式或不等式(1)在椭圆上1220220byax（2）在椭圆外220220byax1 学习好资料欢迎下载（3）右椭圆内220220byax1 用曲线本身的一些坐标限制（在椭圆中，-axa,-byb）用 k 相等（三点共线）注：条件已用完，当缺少等式时，且无明显几何特征时，考虑用、。

3用其它条件构造等式或不等式用非负数k2，R， |x|大于 0 构造问题中的要求与条件中的范围相联系结合参数方程，利用参数的几何意义或三角函数的有界性，构造不等式4与平面几何的联系圆直径所对的圆周角为90 度（可用垂直构造等式）相交弦，割线长定理中位线（坐标原点为中点，往往考虑不到）5点差法直线与曲线相交，且出现中点时，常常使用抛物线涉及k 时，常使用二、例题例 1椭圆12222byax（ab0）上相异两点A、B 的垂直平分线在x、y 轴上的截距分别 tx、ty 证明：2222btyatx22222)(baba解析：本题初看无法下笔，要求证明的不等式非常复杂，无法入手，条件中只有垂直平分线这个条件，设垂直平分线l 与 x，y 轴交于 M（tx，o） 、N（o，ty） 因为 |AM|=|BM| ，于是 M（x1-tx）2+y12=（x2-tx）2+y02，但是这个等式与问题求证等式无法联系，还需要等式或不等式，注意到A、B 在椭圆上，则1221221byax，1222222byax，y12=b2（2211ax） ，y22=b2（221ax）学习好资料欢迎下载(x1ty)2+b2(2211ax)=(x2tx)2+b2（221ax） ，整理得 2a2tx(x2x1)=(a2b2)(x22x12) x1x2221xx=222batxa同理得221yy=222batyb知道221xx和221yy，自然想到是AB 中点坐标，但中点条件无法用（几何特征不明显） ，且问题中得证的是不等式，现在得到的是等式，还需要一个不等式。

从整个图形中观察，且结合知识准备中的、，可用点与圆坐位曲线的关系来构造不等式（中点在椭圆内部）P)2,2(2121yyxx是弦 AB 的中点，且在椭圆内部2222222222)()(bbatybabatxa1，整理得：2222btyatx22222)(baba评注：本题用完垂直平分线的条件后，已无其他条件可用，且无几何特点根据知识准备， 考虑用点在曲线上来构造等式，但最后是证不等式，必须构造一个不考虑用点在圆锥曲线内，才能构造出一个不等式例 2已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在 X 轴上， K 为 1 的直线过椭圆的右焦点F且交椭圆于A、B 两点，OBOA与 a=（ 3，-1）共线1）求椭圆的离心率2）设 M 为不椭圆上任意一点，且OBOAOM（R,）证明22为定值解析：（1）设 AB 为中点为 M （x，y）则 OM 与 a=（3，-1）共线x+3y=0 根据点差法22;abkxy223ba学习好资料欢迎下载36ac（2） 设 A （x1， y1） 、 B （x2， y2） 、 M （x， y） ， 由 （1） 知223ba所以椭圆方程为132222bybx要证22为定值，现只有OBOAOM一个条件转化为等式为yyyxxx2121，现缺少等式，且问题中 、的次数为2，但，中 ，次数为 1，必须再构造等式，题中条件都已用完，可考虑点在椭圆上这一隐含等式。

M（x，y）在椭圆上22212213)(3)(byyxx即2212122222212123)3(2)3()3(byyxxyxyxA、B 在椭圆上222222212133,33byxbyx剩下的21213yyxx可由韦达定理求出，最后可得122例 3过定点A（ m， o） （mo）作直线l 交抛物线：y2=2P (PO)于、两点，关于轴的对称点为，连结交轴于点，（）求证：直线恒过定点；（）若AQAP（ ），求证：BQPB解析： （） 要证直线过定点，首先要将直线的解析式写出来，现在的任务将值求出，根据知识准备中， 抛物线中的值一般用点差法，根据点差法可得212yyPk，),(11yxP，),(22yxQ，),(221yxQ， 根 据 点 差 法212yyPk， 于 是 直 线 方 程 为)(21211xxyyPyy，整理得2121212yyyyyyPxy但方程毫无特征，缺少等式注意到题中的隐含条件：A、P、Q 三点共线学习好资料欢迎下载21112yyPmxy，整理得：PMyy221，代入整理得：)(221mxyyPy过点（ -m，O） 2）证：过P作 PHX，设 1交 X 轴于 N 则QNPHAQAPQ 与 Q1共于 X 轴对称11BQPBNQPHQNPH1BQPBAQAP1BQPB（ 0）例 4自点 A（0，-1）向抛物线C：y=x2作切线 AB ，切点为B，且点 B 在第一象限，再过线段 AB 的中点 M 作直线 L 与抛物线C 交于不同的两点N、F 直线 AF、AN 分别交抛物线 C 于 P、 Q 两点， （1） 求切线 AB 的方程及切点B 的坐标； （2） 证明)(RABPQ。

解析：（1） AB 方程： y=2x1，切点 B 的坐标（ 1，1） 2）设 N（x1,x12） ，F（x2, x22） ， P（x3, x32） ，Q（x4,x42）AB=（ 1，2） ，PQ=（x4x3）(1，x4+x3) 即证 x4+x3=2，但题中已无多余条件，缺少等式寻找隐含条件三点共线因为A、 P、F 共线，可是kAP=kAF,可得x2x3=1 同时由A、N、Q 共线得x1x4=1，2121213411xxxxxxxx再根据韦达定理问题便可迎刃而解例 5已知椭圆C1：13422yx，抛物线C2：PXmy2)(2（P0） ，且 C1，C2的公共弦AB 过椭圆 C1的右焦点，是否存在M、 P 的值，使抛物线C2 的焦点恰在直线AB 上？解析：假设C2的焦点在AB 上，怎样才能用好焦点既在C1上又在 C2这个条件，涉及学习好资料欢迎下载焦点，考虑到圆锥曲线的统一定义，将AB 用不同的定义表示两遍所以 |AB|=)212()212()2()2(212121xxpxxPxPx则34124)(2342221kkxxP现在两个未知数，只有一个等式，必须再找一个，于是考虑到直线与方程联立设 AB 方程为 y=k(x-1) 与椭圆方程联立： （ 3+4k2）x2-8k2x+4k212=0。

设 A、B 坐标（ x1，y1） ， （x2，y2）x1+x2=22438kk再与抛物线联立：pxmkkx2)(2，因为 C2的焦点（mP,2） ，在)1(xky上，所以)12(pkm，即2kpkm，代入得：04)2(22222pkxkpxk由于 X1，X2也是方程的两根，所以2221)2(kkpxx从而2222)2(438kkpkk所以)2)(34(8224kkkP所以34124)2)(34(822224kkkkk解得： k2=6 于是 k=34,6 p例 6已知双曲线的中心在原点，右顶点A（1，0） ，点 P、Q 在双曲线的右支上，点M（m，0）到直线AP 的距离为1 （1）若直线AP 的斜率为k，且 |k|3,33，求实数m的取值范围 （2）当 m=12时， APQ 的内心恰好是点M，救此双曲线的方程解析： （1）由点 M（m，0）到 AP 距离为 1 的条件转化为由m，k 的等式，再根据知识准备中要求的量与题设中给的范围相联系，可轻松解决2）可设双曲线方程)0(1222bbyx，为求出双曲线的方程，必须求出b 的值，学习好资料欢迎下载或求出双曲线上一点的坐标现在的条件有四：A 坐标（ 1,0） ； M 坐标（0, 12） ；M 为 APQ 的内心； M 到 AP 距离为 1。

先分析 M 为 APQ 的内心，因为几何特征非常有特色， 根据知识准备中内心的四个特征，但好像都没有用，现在必须从另外三个条件中挖掘其它的几何特征，注意到题中两个特殊点A、M 距离为2，M 到 AP 距离 1，所以MAP=45 ，再用 M 为 APQ 内心条件，所以kAP=1，kAQ=1（不妨设P 在第一象限）直线 PQ 方程 X=2+3，直线 AP 方程为 y=x-1，所以 P 坐标（21 ,22） ，双曲线方程1) 122(22yx评注：从这道题可以看出圆锥曲线问题一定要注意几何特征，如图形中的特殊点（中点、定点、动点）之间的关系，三角形五心的性质，特殊图形（平行四边形，圆）的性质四、总结根据上面的例题，笔者总结一下较难的圆锥曲线题的解题思路：1 认真寻找有没有几何特征（图形中的特殊点，特殊图形）2 将发现的几何特征和题目条件转化为等式或不等式（可根据知识准备中提供的构造等式的方法）3 当发现等式不够时，考虑知识准备中的、。