材料力学：弯曲内力图.ppt

弯 曲 内 力 图,,◆ 利用剪力方程和弯矩方程作图,◆ 利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系作图,◆ 利用叠加原理作图,Fs = Fs (x ),M = M（x）,即：,一、剪力方程和弯矩方程 · 剪力图和弯矩图,1. 剪力方程和弯矩方程,用函数表达式表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程 弯矩图为正值画在 x 轴下侧，负值画在 x 轴上侧,2. 剪力图和弯矩图,剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在 x 轴下侧,绘剪力图和弯矩图的最基本方法是，首先分别写出梁的 剪力方程 和 弯矩方程 ，然后根据它们作图Fs 图的坐标系,M 图的坐标系,,,,,,,A,F,B,l,例题1：图 a 所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用,试作此梁的剪力图和弯矩图A,F,B,l,解：将坐标原点取在梁的左端， 写出梁的剪力方程 和 弯矩方程 ：,,解：求得两个支反力,,,,,,,A,B,l,,,例题2： 图示的简支梁 ，在全梁上受集度为 q 的均布荷载 作用试作此梁的的剪力图和弯矩图A,B,l,,,取距左端为 x 的任意横截面写出 剪力方程 和 弯矩方程。

剪力图为一倾斜直线绘出剪力图x=0 处 ，,x= l 处 ，,,,,,,,,,A,B,l,,,,,弯矩图为一条二次抛物线, 由,x = l , M = 0,,,,,,,,,A,B,l,,,,令,得驻点,弯矩的极值,,,,,,,,,A,B,l,,,,绘出弯矩图,,,,,,,,A,B,l,,,,梁跨中截面上的弯矩值为最大,但此截面上 ，Fs = 0,两支座内侧横截面上剪力绝对值为最大,,,,,,,,A,B,l,,,,l,,,,,F,,,,,,A,B,c,a,b,,,解：求梁的支反力,例题3 : 图示的简支梁在 C 点处受集中荷载 F作用试作此梁的剪力图和弯矩图因为 AC 段和 CB 段的内力方程不同，所以必须分段写剪力方程和弯矩方程l,,,,,F,,,,,,A,B,c,a,b,,,,l,,,,,F,,,,,,A,B,c,a,b,,,,,将坐标原点取在梁的左端,AC段：,CB段：,由（1），（3）两式可知，AC，CB 两段梁的剪力图各是一条平行于 x 轴的直线l,,,,,F,,,,,,A,B,c,a,b,,,,,,,,,由（2），（4）式可知，AC，CB 两段梁的弯矩图各是一条斜直线,,,,,l,,,,,F,,,,,,A,B,c,a,b,,,,,,在集中荷载作用处的左，右 两侧截面上: 剪力值（图）有突变 ,突变 值等于集中荷载F。

弯矩图形成尖角，该处弯矩值最大 ，,l,,,,,F,,,,,,A,B,c,a,b,,,,,,,（2）以集中力、集中力偶作用处，分布荷载开始或结束 处， 及支座截面处为界点将梁分段分段写出剪力方程和弯矩方 程，然后绘出剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图的几条规律,（1）取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为正；剪力图向上为正；弯矩图向下为正3） 梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪力值（图） 有突变，其突变值等于集中力的数值在此处弯矩图则形成 一个尖角4）梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值但在此处剪力图没有变化5）梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；,梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面， 或 Fs= 0 的截面处例题4 ： 一简支梁受移动荷载 P 的作用如图所示试求梁的 最大弯矩为极大时荷载 F 的位置解：先设 F在距左支座A 为 x 的任意位置求此情况下梁的 最大弯矩为极大l,,,A,B,F,,,荷载在任意位置时，支反力为：,C,当荷载 F 在距左支座为 x 的任意位置 C 时，梁的弯矩值为 ：,令,C,此结果说明：当移动荷载 F在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大。

得最大弯矩值,将 x = l/2 代入式,,例题5：已知 q = 3kN/m , m = 3kN.m ，列内力方程并画内力图解： FA = 14.5 kN ， FB = 3.5 kN,,,Fs(x) = - qx = - 3x,( 0 x  2),AD:,( 2

将 x 轴的坐标原点取在梁的 左端 假想地用坐标为 x 和 x+dx 的两横截面 m-m 和 n-n 从梁 中取出 dx 一段由于dx 很小，略去 q(x) 沿 dx 的变化m-m 截面上内力为 Fs(x) ， M(x),nn 截面处内力分别为 Fs(x)+dFs(x) , M(x)+dM(x)  Fy= 0 Fs(x) - [Fs(x)+dFs(x)] + q(x)dx = 0,得到,写出平衡方程,,写出平衡方程,略去二阶无穷小量即得,,,得到,,,,公式的几何意义,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小M(x) 图为一向下凸的二次抛物线,Fs(x) 图为一向右下方倾斜的直线,2. q(x)、Fs（x）图、 M（x）图三者间的关系,（1）梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0,,,（2）梁段上无荷载作用，即 q(x) = 0,剪力图为一条水平直线,弯矩图为一斜直线,当 Fs(x) > 0 时，向右下方倾斜当 Fs(x) < 0 时，向右上方倾斜梁上最大弯矩可能发生在 Fs(x) = 0 的截面上 ，或梁段边界的 截面上。

最大剪力发生在全梁或梁段的界面在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值 弯矩图的相应处形成尖角在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化在Fs=0的截面,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,例题6：一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100KN/m , 如图 所示试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图解：计算梁的支反力,,将梁分为 AC、CD、DB 三段 AC和 DB上无荷载，CD 段有向下的均布荷载DB段 ：水平直线,CD段： 向右下方的斜直线,AC段 ：水平直线,FsA右 = FA = 80 KN,最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上AC段：向下倾斜的直线,CD段：向下凸的二次抛物线,,,,其极值点在 Fs = 0 的中点 E处的横截面上DB段：向上倾斜的直线,MB = 0,,,,,,,全梁的最大弯矩梁跨中 E 点的横截面上MB = 0,,例题7：作梁的内力图,解：支座反力为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,将梁分为 AC、CD、 DB、BE 四段,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,AC：向下斜的直线（）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,CD：向下斜的直线 (  ),,DB：水平直线 (—）,FsB左 =F2 -FB=- 3KN,EB：水平直线 (—）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3m,4m,A,B,c,D,E,4m,4m,,,FsB左 =- 3KN,,,,7kN,1kN,,,,,,,,,,+,+,-,,,,,,,,,,,3kN,3kN,2kN,F点剪力为零,令 其距 A点为 x,= 5m,x = 5m,,,,,7KN,1KN,,,,,,,,,,+,+,-,,,,,,,,,,,3KN,3KN,2KN,= 5m,,,,,,,,,,单位:kN.m,2. 分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系,,若在 x=a 和 x=b 处两个横截面 A，B 间无集中力则,,等号右边积分的几何意义是，上述 A、 B 两横截面间分布荷载图的面积。

式中，FsA 、FsB 分别为在 x = a , x = b 两处各横截面A、 B 上的剪力若横截面 A，B 间无集中力偶作用则得,式中，MA，MB 分别为在 x = a , x = b 处两个横截面A 及 B 上的弯矩等号右边积分的几何意义是，A，B 两个横截面间剪力图的面积例题8：计算梁的 C、 E 两横截面上的剪力和弯矩在AC段中 q = 0 ，且 FsA 右 = FA,解：,在 CE 段中,,,在 AC 段中 FsC = 80KN，剪力图为矩形MA =0,在 CE 段中，剪力图为三角形FsC = 80kN，MC = 16kN.m,,,解：支座力为,FA = 81 kN FB = 29 kN MA = 96.5 kN.m,例题9： 用简易法作组合梁的剪力图和弯矩图将梁分为 AE，EC， CD，DK，KB 五段AE段 ：水平直线,FsA右 = FsE左 = FA = 81kN,ED 段：水平直线,FsE右 = FA - F = 31kN,DK 段：向右下方倾斜的直线,FsK= - FB = - 29kN,KB 段：水平直线,FsB左= - FB = - 29 kN,,,设距 K 截面为 x 的截面上 剪力 Fs = 0 。

即,=1.45m,,,,,,,,,,,,,,,,1m,1m,3m,F=50kN,Me=5kN.m,A,E,C,D,K,B,AE，EC，CD 梁段均 为向下倾斜的直线,,=1.45m,,,,,,,,,,,,,,,,1m,1m,3m,F=50kN,Me=5kN.m,A,E,C,D,K,B,DK段：向下凸的二次抛 物线,在 Fs = 0 的截面上弯矩有 极值,,=1.45m,,,,,,,,,,,,,,,,1m,1m,3m,F=50kN,Me=5kN.m,A,E,C,D,K,B,KB 段：向下倾斜的直线,,=1.45m,,,,,,,,,,,,,,,,1m,1m,3m,F=50kN,Me=5kN.m,A,E,C,D,K,B,,,,,x,,,,,,,单位:kN.m,中间铰链传递剪力 （铰链左，右两侧的 剪力相等）； 但不传递弯矩 （铰链处弯矩必为零）1m,1m,3m,F=50kN,Me=5kN.m,A,E,C,D,K,x,,,,,,,单位:kN.m,,,,x,=1.45m,,补充例题：已知简支梁，的剪力图作梁的弯矩图和荷载图已知梁上没有集中力偶作用解：,AB 段：没有荷载，在B处 有集中力，F=20kN。

因为,所以,,BC 段：无荷载,CD 段：有均布荷载 q (  ),,AB段：向右下倾斜的直线,,d,a,b,c,,,,d,a,b,c,,BC段：向右上倾斜的直线,CD段：向下凸的二次抛物线该段内弯矩没有极值补充例题：已知简支梁的弯矩图，作出梁的剪力图和荷载图。