圆周运动中的临界问题.docx

圆周运动中的临界问题1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题⑴如图 1、图 2 所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况vvR 绳RR  杆Ov0图 1 图 2 图 3①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v 临界＝ Rg②能过最高点的条件：v≥ Rg ，当 v＞ Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力③不能过最高点的条件：v＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）⑵如图 3 所示情形，小球与轻质杆相连杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力①能过最高点 v 临界＝0，此时支持力 N＝mg②当 0＜v＜ Rg 时，N 为支持力，有 0＜N＜mg，且 N 随 v 的增大而减小③当 v＝ Rg 时，N＝0④当 v＞ Rg ，N 为拉力，有 N＞0，N 随 v 的增大而增大例 1 （99 年高考题）如图 4 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ）A、a 处为拉力，b 处为拉力B、a 处为拉力，b 处为推力C、a 处为推力，b 处为拉力D、a 处为推力，b 处为推力bOa图  4例2 长度为 L＝的轻质细杆 OA，A 端有一质量为 m＝的小球，如图 5 所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是／s，g 取 10m／s2，则此时细杆 OA 受到 （ ）mA、的拉力 B、的压力ALC、24N 的拉力D、24N 的压力O例3 长 L＝，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O 点，上端连接着一个质量 m＝2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运动（同图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：①当 A 的速率 v1＝1m／s 时②当 A 的速率 v2＝4m／s 时图  52、在水平面内作圆周运动的临界问题。

在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）A例 4 如图 6 所示，两绳系一质量为 m＝的小球，上面绳长 L＝2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为 30°与 45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad／s 时，上、下两绳拉力分别为多大？B30°45°C图 6例5 如图 7 所示，细绳一端系着质量 M＝的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量 m＝的物体，M 的中与圆孔距离为，并知 M 和水平面的最大静摩擦力为 2N现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围 m 会处于静止状态？（g＝10m／s2）说明：一般求解“在什么范围内……”这一类的问题就是要分析两个临界状态Mr  om图  743、巩固练习31、汽车通过拱桥颗顶点的速度为 10 m／s 时，车对桥的压力为车重的 如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）A、15 m／sB、20 m／s C、25 m／s D、30m／s2、如图 8 所示，水平转盘上放有质量为 m 的物块，当物块到转轴的距离为 r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍求：ro⑴当转盘角速度ω1＝⑵当转盘角速度ω2＝μg2r 时，细绳的拉力 T13μg2r 时，细绳的拉力 T2ω图  8三、小结1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何答案例 1 分析：答案 A 是正确的，只要小球在最高点 b 的速度大于 gL ，其中 L 是杆的长；答案 B 也是正确的，此时小球的速度有 0＜v＜ gL ；答案 C、D 肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力例 2 解法：小球在 A 点的速度大于 gL 时，杆受到拉力，小于 gL 时，杆受压力V0= gL ＝错误!m／s＝错误!m／s由于 v＝ m／s＜ 5 m／s，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力小球受重力 mg 和细杆的支持力 N由牛顿第二定律 mg－N＝mv2LN＝mg－m    ＝             故应选   Bv2L例3解法一：（同上例） 小球的速度大于 5 m／s 时受拉力，小于 5 m／s 时受压力①当 v1＝1m／s＜ 5 m／s 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 NN由牛顿第二定律 mg－N＝mv2LN＝mg－m    ＝16Nv2Lmg即杆受小球的压力 16N。

②当 v2＝4m／s＞ 5 m／s 时，小球受向下的重力 mg 和向下的拉力 F由牛顿第二定律 mg＋F＝mv2LmgF＝m    －mg＝44Nv2LF即杆受小球的拉力 44N解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力我们可不去做具体的判断而假设一个方向如设杆竖直向下拉小球 A，则小球的受力就是上面解法中的②的情形由牛顿第二定律 mg＋F＝mv2L得到                 F＝m（  －g）v2L当 v1＝1m／s 时，F1＝－16N F1 为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力则杆应受压力当 v2＝4m／s 时，F2＝44N F2 为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球受力就是向下的，是拉力则杆也应受拉力例 4 解析：①当角速度ω很小时，AC 和 BC 与轴的夹角都很小，BC 并不张紧当ω逐渐增大到 30°时，BC 才被拉直（这是一个临界状态），但 BC 绳中的张力仍然为零设这时的角速度为ω1，则有：TACcos30°＝mgTACsin30°＝mω12Lsin30°将已知条件代入上式解得 ω1＝ rad／s②当角速度ω继续增大时 TAC 减小，TBC 增大。

设角速度达到ω2 时，TAC＝0（这又是一个临界状态），则有： TBCcos45°＝mgTBCsin45°＝mω22Lsin30°将已知条件代入上式解得 ω2＝ rad／s所以 当ω满足 rad／s≤ω≤ rad／s，AC、BC 两绳始终张紧本题所给条件 ω＝3 rad／s，此时两绳拉力 TAC 、TBC 都存在TACsin30°＋TBCsin45°＝mω2Lsin30°TACcos30°＋TBCcos45°＝mg将数据代入上面两式解得 TAC＝， TBC＝注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）如果ω＜ rad／s 时，TBC＝0，AC 与轴的夹角小于 30°如果ω＞／s 时，TAC＝0，BC 与轴的夹角大于 45例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止而 M 与平面静止时有两个临界状态：当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N此时，对 M 运用牛顿第二定律Mr  o有 T－fm＝Mω12r 且 T＝mg解得 ω1＝ rad／s m图 7当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力 2N。

再对 M 运用牛顿第二定律有 T＋fm＝Mω22r解得 ω2＝ rad／s所以，题中所求ω的范围是： rad／s＜ω＜ rad／s。