1997年全国高中数学联赛试题及解答.doc

1997 年全国高中数学联合竞赛试卷第一试(10 月 5 日上午 8:0010:00)一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1．已知数列{ xn}满足 xn+1=xn－ xn－1 (n≥2)， x1=a， x2=b， 记 Sn=x1+x2++ xn，则下列结论正确的是(A)x100a， S100=2ba (B)x100b， S1002ba(C)x100b， S100=ba (D)x100a， S100ba2．如图，正四面体 ABCD 中， E 在棱 AB 上， F 在棱 CD 上，使得 = =λ AEEBCFFD(0f(β )>f()>f(γ ) (B) f(α )> f()>f(β )>f(γ ) (C) f()>f(α )>f(β )>f(γ ) (D) f()>f(α )>f(γ )>f(β ) 6．如果空间三条直线 a， b， c 两两成异面直线，那么与 a， b， c 都相交的直线有(A) 0 条 ( B) 1 条 ( C)多于 1 的有限条 ( D) 无穷多条二．填空题(每小题 9 分，共 54 分)1．设 x， y 为实数，且满足 则 x+y  .{(x－ 1)3+1997(x－ 1)=－ 1，(y－ 1)3+1997(y－ 1)=1． )2．过双曲线 x2－ =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若实数 λ 使得| AB| λ 的直线 ly22恰有 3 条，则 λ= .3．已知复数 z 满足 =1，则 z 的幅角主值范围是 ．|2z+1z|4．已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， SA=SB=SC=2， AB=2，设 S、 A、 B、 C四点均在以 O 为球心的某个球面上，则点 O 到平面 ABC 的距离为 ．5．设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也停止跳动，那么这只青蛙从开EFBCDA2始到停止，可能出现的不同跳法共 种．6．设 a logz+log[x(yz)1+1]， b logx1+log(xyz+1)， c logy+log[(xyz)1+1]，记 a， b， c 中最大数为 M，则 M 的最小值为 ．三、 （本题满分 20 分）设 x≥ y≥ z≥ ，且 x+y+z  ，求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值．π12 π 2四、(本题满分 20 分)设双曲线 xy1 的两支为 C1， C2(如图)，正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上．(1)求证： P、 Q、 R 不能都在双曲线的同一支上；(2)设 P(1，1)在 C2上， Q、 R 在 C1上，求顶点 Q、 R 的坐标． yxOP(1,1) C1C21997 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 3 -五、(本题满分 20 分)设非零复数 a1， a2， a3， a4， a5满足{a2a1=a3a2=a4a3=a5a4，a1+a2+a3+a4+a5=4(\f(1,a1)+\f(1,a2)+\f(1,a3)+\f(1,a4)+\f(1,a5))=S． )其中 S 为实数且| S|≤2．求证：复数 a1， a2， a3， a4， a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．4第二试(10 月 5 日上午 10:3012:30)一、 （本题 50 分）如图，已知两个半径不相等的⊙ O1与⊙ O2相交于 M、 N 两点，且⊙ O1、⊙ O2分别与⊙ O内切于 S、 T 两点。

求证： OM⊥ MN 的充分必要条件是 S、 N、 T 三点共线二、 （本题 50 分）试问：当且仅当实数 x0， x1，…， xn（ n≥2）满足什么条件时，存在实数y0， y1，…， yn使得 z =z +z +…+z 成立，其中 zk=xk+iyk， i 为虚数单位， k=0，1，…， n证明你的结20 21 22 2n论三、 （本题 50 分）在 100×25 的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第 i 行第 j 列中填入的数为 xi , j（ i=1，2，…，100； j=1，2，…，25） （如表 1） 然后将表 1 每列中的数按由小到大的次序从上到下重1997 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 5 -新排列为 x1 , j≥ x2 , j≥…≥ x100 , j（ j=1，2，…，25） （如表 2）求最小的自然数 k，使得只要表 1 中填入的数满足 xi， j≤1（ i=1，2，…，100） ，25Σ j=1则当 i≥ k 时，在表 2 中就能保证 xi， j≤1 成立。

25Σ j=1表 1 表 2x1,1 x1,2 … x1,25 x1,1 x1,2 … x1,25x2,1 x2,2 … x2,25 x2,1 x2,2 … x2,25… … … … … … … …x100,1 x100,2 … x100,25 x100,1 x100,2 … x100,2561997 年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1．已知数列{ xn}满足 xn+1=xn－ xn－1 (n≥2)， x1=a， x2=b， 记 Sn=x1+x2++ xn，则下列结论正确的是(A)x100a， S100=2ba (B)x100b， S1002ba(C)x100b， S100=ba (D)x100a， S100ba解： x1=a， x2=b， x3=b－ a， x4=－ a， x5=－ b， x6=a－ b， x7=a， x8=b，…．易知此数列循环， xn+6=xn，于是 x100=x4=－ a，又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故 S100=2b－ a．选 A．2．如图，正四面体 ABCD 中， E 在棱 AB 上， F 在棱 CD 上，使得 = =λ AEEBCFFD(05，选 D．x2+(y+1)2|x－ 2y+3|12+(－ 2)2 5m5．设 f(x)=x2－ πx ，   arcsin ， β= arctan ， γ= arcos(－ )， =arccot(－ )，则13 54 13 54(A)f(α )>f(β )>f()>f(γ ) (B) f(α )> f()>f(β )>f(γ ) (C) f(i)>f(α )>f(β )>f(γ ) (D) f()>f(α )>f(γ )>f(β ) EFBCDA1997 年全国高中数学联赛 冯惠愚- 7 -解： f(x)的对称轴为 x= ，π 2易得， 00．故 f(t)单调增，现 x－1 =1－ y， x+y=2．2．过双曲线 x2－ =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 B 两点，若实数 λ 使得| AB| λ 的直线 ly22恰有 3 条，则 λ= ．解：右支内最短的焦点弦 = =4．又 2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2 a=2，这样的弦由对2b2a称性有两条．故 λ= 4 时设 AB 的倾斜角为 θ ，则右支内的焦点弦 λ= = ≥4，当 θ= 90°时， λ= 4．2ab2a2－ c2cos2θ 41－ 3cos2θ与左支相交时， θ= ±arccos 时， λ= = =4．故 λ= 4．23 | 2ab2a2－ c2cos2θ || 41－ 3cos2θ |3．已知复数 z 满足 =1，则 z 的幅角主值范围是 ．|2z+1z|解： =14r4+(4cos2θ －1) r2+1=0，这个等式成立等价于关于 x 的二次方程|2z+1z|4x2+(4cos2θ －1) x+1=0 有正根．△ =(4cos2θ －1) 2－16≥0，由 x1x2= >0，故必须14x1+x2=－ >0．4cos2θ － 14∴cos2 θ ≤－ ．∴ (2 k+1)π －arccos ≤2 θ ≤(2 k+1)π +arccos ．34 34 34∴ kπ + － arccos ≤ θ ≤ kπ + + arccos ，( k=0，1)π 2 12 34 π 212 34B‘C’D’A‘BCDA SQPRacb84．已知三棱锥 SABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2， AB=2，设 S、 A、 B、 C 四点均在以 O 为球心的某个球面上，则点 O 到平面 ABC 的距离为 ．解： SA=SB=SC=2， S 在面 ABC 上的射影为 AB 中点 H，∴ SH⊥平面 ABC．∴ SH 上任意一点到 A、 B、 C 的距离相等．∵ SH= ， CH=1，在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO 与 SH 交于 O，则 O 为 SABC3的外接球球心． SM=1，∴ SO= ，∴ OH= ，即为 O 与平面 ABC 的距离．2 33 335．设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到达 D 点，则跳完 5 次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．解：青蛙跳 5 次，只可能跳到 B、 D、 F 三点(染色可证)．青蛙顺时针跳 1 次算+1，逆时针跳 1 次算－1，写 5 个“□1” ，在□中填“+”号或“－”号：□1□1□1□1□1规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后 2 个□中继续填写符号．前三□同号的方法有 2 种；前三个□不同号的方法有 23－2 =6 种，后两个□中填号的方法有 22种．∴ 共有 2+6×4=26 种方法．6．设 a logz+log[x(yz)1+1]， b logx1+log(xyz+1)， c logy+log[(xyz)1+1]，记 a， b， c 中最大数为 M，则 M 的最小值为 ．解： a=log( +z)， b=log(yz+ )， c=log( +y)．xy 1x 1yz∴ a+c=log( + +yz+x)≥2log2．于是 a、 c 中必有一个≥log2．即 M≥log2，于是 M 的最小值1yz1x≥log2．但取 x=y=z=1，得 a=b=c=log2．即此时 M=log2．于是 M 的最小值≤log2．∴ 所求值 =log2．三、 （本题满分 20 分）设 x≥ y≥ z≥ ，且 x+y+z= ，求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值．12 2解：由于 x≥ y≥ z≥ ，故 ≤ x≤ － ×2= ．12 6 2 12 3∴ cosx siny cosz=cosx× [sin(y+z)+sin(y－ z)]= cos2x+ cosxsin(y－ z)≥ cos2 = ．即最小12 12 12 12 318值．(由于 ≤ x≤ ， y≥ z，故 cosxsin(y－ z)≥0)，当 y=z= ， x= 。