规律和数列推荐.pdf

第 2 讲 规律及数列寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手：一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根据数据特征极其相互之间的关系找规律二、对数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律三、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律一、等差数列（一）定义：什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：l ， 2，3，4，5，6， 7，8，9，,1， 3，5，7，9，11，13. 2 ， 4，6，8，10，12，14, 3 ， 6，9，12，15， 18，21. 100， 95，90，85，80，75， 70. 20， 18，16，14，12，10，8.这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列 . 其中这个固定的数就称为公差 ，一般用字母d 表示，如：数列中， d=2-1=3-2=4- 3=,=1；数列中， d=3-1=5- 3=,=13-11=2 ；数列中， d=100-95=95- 90=,=75 -70=5 ；数列中， d=20-18=18- 16=,=10-8=2.一般地说，如果一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或者每一项都大于前面的项，上述例1的数列中，第1项大于第 2项，第 2项却又小于第 3项，所以，显然不符合等差数列的定义.为了叙述和书写的方便，通常，我们把数列的第1项记为 a1，第 2项记为 a2，, ，第n 项记为 an，an。

又称为数列的通项，a1；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项.例 1、 请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数1）1，5，9， 13， （ 17 ） ，21，254 （2）3，6，12，24， （ 48） ，96，1922 （3）1，4，9， 16，25， （ 36） ，49， 64，81n2（4）2，3，5， 8，12， 17， （ 23 ） ，30，381 +2 +3 +4 （5）21，4，16，4，11，4， （ 6 ） ， （ 4 ） 奇数项递减4 偶数项是常数（6）1，6，5， 10，9， 14，13， （18 ） ， （17 ） 奇数项、偶数项分别递增，+4 练习 1、求值： 6+11+16+,+501.101+102+103+104+,+999.解： n=（501-6 ） 5+1=100 S100=(6+501) 1002=25350 解： n=（999-101 ） 1+1=899 S100=(101+999) 899 2=494450 （二）通项公式对于公差为d 的等差数列a1， a2，,an, 来说，如果a1小于 a2，则显然 a2- a1= a3- a2= an- an-1=,=d，因此：a2= a1+d a3= a2+d=a1+2d an= a1+(n-1)d 公式（ 1）若 a1大于 an，同理可得an= a1-(n-1)d 公式（ 2）公式（ 1） （2）叫做等差数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可以求出等差数列中的任何一项.例2、 求等差数列 1，6，11，16, 的第20项.解： a1=1 d=5 a20=a1+(n-1)d=1+19 5=96 练习 2、下面的算式是按一定规律排列的，那么，第100个算式的得数是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，,解： a1=4 d=1 an=3+n a100=103 b1=2 d=6 bn=2+(n-1) 6 b100=596 a100+b100=103+596=699 一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，可以得到项数公式 ：例3、如果一等差数列的第4项为 21，第 6项为 33，求它的第 8项.解法一： a4=21 a6=a4+2d=33 2d=33-21=12 a8=a6+2d=33+12=45 解法二： a4+a8=2a6a8=332-21=45 练习 3、 11至18这8个连续自然数的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8个连续数的和，这另外 8个连续自然数中的最小数是多少？解： 11+12+13+, +18=（11+18） 82116 （116+1992） 4=527 错误！未找到引用源。

三）等差数列求和若 a1小于 a2，则公差为d 的等差数列a1,a2,a3,an可以写为a1,a1+d,a1+d2，, ，a1+d（ n-1 ） . 所以，容易知道：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an- 3=,=an-1+a2=an+a1.设 Sn=a1+a2+a3+,+an则 Sn=an+an-1+an-2+,+a1两式相加可得：2Sn= （ a1+an）+(a2+an-1)+,+(an+a1)即：2Sn=n （ a1+an）, 所以，例4、计算 1+5+9+13+17+,+1993.解： 错误！未找到引用源 =(1993-1)4+1 =499 错误！未找到引用源 =错误！未找到引用源497503 练习 4、 300到400之间能被 7整除的各数之和是多少？这些数构成以 301为首项， 7为公差，项数为15的等差数列，它们的和为：5250. 解： s=（301+399） 152=5250 当 a1大于 a2时，同样也可以得到上面的公式. 这个公式就是等差数列的前n 项和的公式 .题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有499项，中间一项即第250项的值是 997，而和恰等于 997499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：这个定理称为中项定理.例5、 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第 3层10块砖, ，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，2， 6，10， 14，,容易知道，这是一个等差数列 . 方法 1：a1=2， d=4 ， an=2106， n=（an-a1） d+1=527 这堆砖共有（a1+an） n2=（2+2106） 5272=555458（块）对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

则中间一项为 a264=a1+（264-1 ） 4=1054. 方法 2：a1=2， an=2106，则中间一项为（a1+an） 2=1054 a1=2， d=4 ， an=2106， n= （an-a1） d+1=527 这堆砖共有 1054 527=555458（块） . 练习 5、 把100根小棒分成 10堆，每堆小棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？解：分为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19. （四）等差数列的应用例6、把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，请指出： 197排在第几行的第几个数？第 10行的第 9个数是多少？ 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 3133 35 37 39 43 45 47 49, ,分析与解答197 是奇数中的第99 个数 . 数表中，第1 行有 1 个数 . 第 2 行有 3 个数 . 第 3 行有 5 个数,第 n 行有 2n-l个数因此，前n 行中共有奇数的个数为：1+3+5+7+,+（2n-1 ）=1+（2n-1 ） n 2 =nn 因为 999910 10. 所以，第99 个数位于数表的第10 行的倒数第2 个数，即第 18 个数，即197 位于第 10 行第 18 个数 . 第 10 行的第 9 个数是奇数中的第90 个数 . 因为 99+9=90），它是 179. 练习 6、 将自然数如下排列，1 2 6 7 15 16 ,3 5 8 14 17 ,4 9 13 18 ,10 12 ,11 ,在这样的排列下，数字3排在第 2行第 1列， 13排在第 3行第 3列，问： 2011排在第几行第几列？解：分析与解答不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动 45，就成为三角阵（如下图），三角阵中，第1 行 1 个数，第 2 行 2 个数, 第n 行就有 n 个数，设2011 在三角阵中的第n 行，则：1+2+3+,+n-1 20111+2+3+,+n 即： 2011 n（ n+1） 2 用试值的方法，可以求出n=63. 又因为 1+2+,+63=2016，即第 63 行中最大的数为2016 三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又2016-2011=5 ，所以， 2016 是三角阵中第 63 行从右开始数起的第6 个数（若从左开始数，则为第58 个数） . 把三角阵与左图作比较，可以发现：三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列. 三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行. 由此，我们可知，2011 位于原图的6 行 58 列. 二、有规律的数列前一节里我们对一类特殊的数列等差数列作了研究，找到了求其中第n 个数以及求其中前面n 个数之和的计算规律。

除了等差数列以外，还有各种不同的数列，如何找出相应数列的组成规律？例 7、找出以下各个数列的规律，在括号里填上适当的数1)4 ，6，10， 16，24，34，46，( ) ；(2)1 ，4，7，5， 8，11， 9，12，( ) ；(3)1 ，4，9，16，25， 36，( ) ；(4)5 ， 9，8，16，11， 23，14，30， ( ) 解(1) 是一个不断增大的数列，我们把相邻两数增加的部分记下来，作成下面的表这样一来，它增加的规律就非常清楚，46 后面一个数应是46+14=60注意，表中“+”号表示增加2) 虽然不再是一个不断增加的数列，我们仍可以用上法记下后一数比前一数增加( 用 “+”号)或减少 ( 用“ - ”号 ) 的数量，于是得到下表由此也清楚看出这数列的规律是从1 开始按照“加3，加 3，再减 2”的法则做的，因为9 到12 是在减 2，后面接的第一个“+3”，故 12 后面那个数应是12+3=153) 不难看出是由平方数组成的，括号中应填72=49另一方面，(3) 仍是一个不断增加的数列，因此还可以按上面的方法研究它增加的规律，我们得到下表因此，下一个数应是36+13=49，这与当作平方数看所得结果相同。

4) 也是有增有减的数列，记下相邻两数增减的数量可得下表我们发现，带“+”号的数是等差数列4，8，12，16，, ，而带“- ”号的诸数也是一个等差数列 1，5，9，, ，于是下一个数应填30-13=17 实际上 (4) 可看成是由5，8，11，14，, ，及9，16，23，30，, ，这两个等差数列相间组合而成的一般说来，一个有规律的不断增加的数列常常可以反复用上例中(1) 的方法找出其规律练习 7、 找出以下各个数列的规律，在括号里填上适当的数1)3 ，12，27，48，75，(108 )； +9 +15 +21 +27 +33 (2)3 ，26，111，324，755，1518， 2751，( 4616 )；错误！未找到引用源 (3)2 ，10，10，66，26，218，50，514，82，1002，(122 ) ，(1730 )；奇数项： 错误！未找到引用源偶数项： 错误！未找到引用源4)0.25 ，0.4 ，0.5 ，1.6 ， 0.75 ，3.6 ，1，6.4 ，( 1.25)， (10 ) 奇数项： 错误！未找到引用源偶数项： 错误！未找到引用源例 8、十个圆最多可以把整个平面分成几个部分？解：直接画图容易看出，一个圆把平面分成两个部分( 圆内与圆外 ) ，两个圆至多把平面分成 4 个部分，而3 个圆至多把平面分成8 个部分 ( 见图 2.1) 。

图 2.1 这样对照圆的个数，我们得到一个数列2。