2022年同济高数上册公式大全.docx

可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载一. 函数的概念1. 两个无穷小的比较第一章 函数与极限可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载设 limf 〔x〕0, limg〔 x〕0 且 limf 〔 x〕 l可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载g 〔x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（ 1） l = 0 ,称f 〔x〕 是比 g〔x〕 高阶的无穷小,记以 f 〔x〕 = 0[是比f〔x〕 低阶的无穷小.（ 2） l ≠ 0 ,称f 〔x〕 与g〔x〕 是同阶无穷小.（ 3） l = 1 ,称f 〔x〕 与g〔x〕 是等价无穷小,记以 f 〔x〕 ~ g〔x〕g〔x〕] ,称g〔x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2. 常见的等价无穷小当x →0时sin x ~ x,tan x ~ x, arcsinx~ x, arccos x~ x,1- cos x ~ x^2 / 2 , ex - 1 ~x , ln〔1 x〕~ x , 〔1 x〕 1~ x二． 求极限的方法1. 两个准就准就 1. 单调有界数列极限确定存在准就 2. （夹逼定理）设 g〔 x〕 ≤ f 〔 x〕 ≤ h〔 x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载如 limg〔 x〕A, limh〔 x〕A ,就limf 〔 x〕 A可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2. 两个重要公式可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载公式 1 limsin x 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 0 x可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载公式 2 lim 〔1x〕1/ x e可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x 03. 用无穷小重要性质和等价无穷小代换4. 用泰勒公式当 x 0 时,有以下公式,可当做等价无穷小更深层次可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2ex 1 x x 2.x ... x3n3. n.o〔x n 〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载3sin x x x 3.x ...55.〔 1〕nx2n〔2n11〕.o〔 x2 n 1〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2cos x 1 x 2.x ...44.〔 1〕nx2n2 n.o〔 x2n〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载2ln〔1 x〕 x x2〔1 x〕 1 xx ... 33〔〔 1〕n1〕 x21 x nn...o〔 xn 〕〔 1〕...〔〔n 1〕〕 xno〔 xn〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载3arctan x x x32.5x ...52n 1x〔 1〕n 12n 1n.o〔x 2n 1〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载5. 洛必达法就 定理 1 设函数f 〔x〕 ， F 〔 x〕 中意以下条件：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（1）lim f 〔x〕 0 , limF 〔 x〕 0 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x x0 x x0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（2）f 〔 x〕 与F 〔x〕 在x0 的某一去心邻域内可导,且F 〔 x〕 0 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（3）limf 〔x〕存在（或为无穷大）,就limf 〔 x〕limf 〔x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x x0 F〔 x〕x x 0F 〔 x〕x x0 F〔 x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载这个定理说明：当limf 〔 x〕存在时,limf 〔 x〕也存在且等于limf 〔 x〕 .当可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x x0 F〔 x〕x x0F 〔x〕x x0 F〔 x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载limf 〔 x〕为无穷大时,limf 〔 x〕也是无穷大．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x x0 F〔 x〕x x 0F 〔 x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载这种在确定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载的方法称为洛必达（型未定式L H ospital ）法就.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载定理 2 设函数f 〔 x〕 ，F 〔 x〕 中意以下条件：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（1）lim f 〔 x〕 , limF 〔 x〕 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x x0 x x 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（2）f 〔 x〕 与F 〔x〕 在x0 的某一去心邻域内可导,且F 〔 x〕 0 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（3）limf 〔x〕存在（或为无穷大）,就limf 〔x〕limf 〔 x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载x x0 F〔 x〕x x 0F 〔x〕x x0 F〔 x〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载注：上述关于 x同样适用．x0 时未定式 型的洛必达法就,对于 x 时未定式 型可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载使用洛必达法就时必需留意以下几点：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（1） 洛必达法就只能适用于“ 00”和“ ”型的未定式,其它的未定式须可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载先化简变形成“ 00”或“ ”型才能运用该法就.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载（2） 只要条件具备,可以连续应用洛必达法就.（3） 洛必达法就的条件是充分的,但不必要．因此,在该法就失效时并不能确定原极限不存在．6. 利用导数定义求极限可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载基本公式limx 0f 〔x0x〕 f 〔 x0 〕xf ' 〔 x〕 〔 假如存在）可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载07. 利用定积分定义求极限可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载基本格式limn1 nn k 1kf 〔 〕 n1f 〔 x〕dx （假如存在）0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1） ）第一类间断点可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载设 x0是函数 y = f 〔 x〕 的间断点.假如 f 〔 x〕 在间断点x0 处的左，右极限都存在,可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载就称 x0 是 f 〔 x〕 的第一类间断点.左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点. 左右极限不存在为跳动间断点. 第一类间断点包括可去间断点和跳动间断点.（2） ）其次类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为其次类间断点. 常见的其次类间断点有无穷间断点和振荡间断点.四．闭区间上连续函数的性质在闭区间 [ a,b] 上连续的函数 f 〔 x〕 ,有以下几个基本性质.这些性质以后都要用到.定理1．（有界定理）假如函数 f 〔 x〕 在闭区间 [ a,b] 上连续,就 f 〔 x〕 必在[ a,b] 上有界.定理2．（最大值和最小值定理）假如函数 f 〔 x〕 在闭区间 [ a,b] 上连续,就在这个区间上确定存在最大值 M 和最小值 m .定理3．（介值定理）假如函数 f 〔 x〕 在闭区间 [ a,b] 上连续,且其最大值和最小值分别为M 和m ,就对于介于 m和M 之间的任何实数 c,在[ a,b] 上至少存在一个 ξ ,使得f 〔 ξ 〕 = c推论：假如函数 f 〔 x〕 在闭区间 [ a,b] 上连续,且 f 〔 a〕 与f 〔 b〕 异号,就在 〔 a,b〕内至少存在一个点 ξ ,使得f 〔 ξ 〕 = 0这个推论也称为零点定理可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载其次章 导数与微分一．基本概念1．可微和可导等价,都可以推出连续,但是连续不能推出可微和可导.二．求导公式三．常见求导可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载1. 复合函数运算法就2. 由参数方程确定函数的运算法就可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载设x = 〔 t〕 ,y =〔t〕 确定函数 y = y〔 x〕 ,其中' 〔t〕,'〔t〕 存在,且' 〔t 〕 ≠ 0,就 dydx' 〔t 〕'〔t 〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载3. 反函数求导法就设y = f 〔 x〕 的反函数 x = g〔 y〕 ,两者皆可导,且 f ′〔 x〕 ≠ 0可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载就 g '〔 y〕1f ' 〔 x〕1 〔f ' 〔 g〔 y〕〕f ' 〔 x〕 0〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载4. 隐函数运算法就设y = y〔 x〕 是由方程 F〔 x, y〕 = 0 所确定,求 y′的方法如下：把F〔 x, y〕 = 0两边的各项。