平面极坐标系中质点的加速度公式及其物理意义.pdf

平面极坐标系中质点的加速度公式及其 物理意义周嘉义我们知道,质点 作平面 曲线运动时,其在极坐标系 中的速度和加速度公式为:心、.一.、.一、 V二Y i+YOj¹a二(Y一YO“)i+(YO+2 Y0)jº式中a:=(Y一YS“)i称为径 向加速度,~‘、“二~之‘a‘0+2Y0)j为何径向加速度的量 值不 等于径 向速度的量值Vr二丫称为横 向加速 度的时间变 化率Y、横向加 速 度的量值不等于横向速度的量值V二YO的时间变化 率YO物理意义 又如何呢?这便是 本文 要讨论的问题+?0呢?加速度公式º中每项的(一)公式的推导如图(1),质 点P沿二F面曲线运 动,’己在一 某叫刻的位置在极坐标 系 中 由极坐标(Y,的表 示以一、一、.二‘石、 i、j_粼舀矢 径丫及垂直于矢径Y(沿O增加的方向)的单 位矢量,则一一一一)一 极轴奋·工Y一一岛Y一二、.二、 V二丫二.‘、~之‘a二V二.、.~ 、 Yi哥一丫Oj” 杯、..-、..-、”一 二 、二二、 Y i+YOj+YOJ一卜YO、}一丫0“i二‘、. ...甲二b=(丫一丫0“)i+(丫0+2Y0)j以上便推出了º式,推 导中运用了关系式i二gj和j=一O(二)加速度公 式 中各 项的物理意义在径向加速度ar=(Y一丫O“)i中;-.盏~、.曰盏 第一项丫 i,是径向速度Vr=Y i的量值的时间变化率。

当丫>o时,此项与质点矢径.孟卜“.二‘ 丫的方向相同,当丫其方向垂直于矢径一,龙指向极角0增加的方向:当O

声少户二一户 ——一-一一令 疾图(2 )使一直管按0=0(t)的规律转动,转 轴过直管的一端且垂直 于管 轴业让一质汽P相28对于直管沿管按r=叹t )的规律运动,如前图( 2 )所示雪为静止坐标系的一轴(相当于极坐标系的极轴),e为直管的角坐标(相当于极坐标系的极角),一xy为与直管 相固连的动直角坐标系,\维位矢量兮:摺冲涂痢):、;豁另 叮在;轴柳谕的正向这 样,相对静止坐标来看,质点就具有沿x轴(直管)的直线运动和垂直 于x轴沿y轴的园周运动(此由直管的转动形成),也正是我们要得到的两个分运动,、沿x轴的直线运动为质点的径向运动,沿y轴方向的为质点的横向园周运动用以上方法得到的两个分运动,其径向运动相对动系xy来说,是相对运动,而横向运‘、.‘盏书如二岛动是牵连运动,相应的径向速度V:二r一i和横向速度V二roj就为相对速度和牵连速度州二‘卜‘二卜月一孟、一则质点的绝对速度V”一八+r ej,与极坐标系中质点的速度公式的形式一样进一步计算可得质点的绝对加速度为盆、a*(r一ro“)i一 +(rg+ZrQ)j与极坐标系中质点的加速度公式 的形式完全一样式中ri为质点的 相对加速度,对应于极坐标系中质点径向速度的量值的时间变化率,而一r吞,全为牵连向心加速度,对应于极坐标系中质点的 园周分运动的向心加逮度,之者合起来对应于极坐标系的径向加速速;明j为牵连 切向 加 速度,对 应于极坐标系中质点的横向园周运动的切狗力班速度,而Zro.j为科氏加速速,是相对运动和牵连运动的 相互影响产生的,对应于极坐标系中质点沿横向 的附加速速,二者合成起来对应极坐标系中质点的横向加速度。

由此可见,我们在极坐标系观察到的质点 的径向运动,若为质点相对转动参照系的 相对运动,在极坐标系观察到的质点的横向运动,若为转动参照系带动质点的牵连 运动,那么,巍这个意壮,一:芬时才称为科氏加速度否则,只能称为质点的横向的附加速 度四 )小结~岛-盏 本文(一)(二)段解决了本文开头所提出的问题,业通过对单位矢量i、j对时间求导,表明 了极坐标系的径向和横向是随位置的不同而不同 的,这也 是径向加速 度为.⋯盏 (?一ro忿)i、横向加速度为( re+Zre)j的产生原因至于(三)段,是为了阐 明在用所介绍的方法来理解极坐标系中质点的运动时,Z rej被称为科氏加速度的前提。