华罗庚学校数学教材(五年级下)第11讲 逻辑推理(二).pdf

本系列共 15 讲 第十一讲第十一讲第十一讲第十一讲逻辑推理（二）逻辑推理（二）逻辑推理（二）逻辑推理（二）. 文档贡献者：与你的缘与你的缘与你的缘与你的缘上一讲我们介绍了有关逻辑推理问题的简便例子， 它并没有用到专门的数学原理，而是直接运用正确推理，解决逻辑问题的这一讲我们将利用图表解决一些较为复杂的逻辑推理问题例 11一次数学考试，共六道判断题考生认为正确的就画“√”，认为错误的就画“×”记分的方法是：答对一题给 2分 ，不答的给 1 分，答错的不给分已知 A、B、C、D、E、F、G 七人的答案及前六个人的得分记录在表中请在表中填出 G 的得分，并简单说明你的思路ABCDEFG1√√√××√2√××√××3√×√×××4√√××√√5√×√√×√6√√××××得分755597分析由于 E 得了 9 分，说明他只答错了一道题先假设答错的是第 1 题， 这样就有一个标准答案， 并由此可分析其他人的得分 如出现矛盾，再假定 E 答错的是第 2 题，…，直到判断出 E 答错的题号为止有了正确答案，就可写出 G 的得分解：假设 E 的第 1 题答错，那么 A 至少错 3 道题，一题未答，最多得 5 分，与 A 得 7 分矛盾。

所以 E 第 1 题答对假设 E 第 2 题答错，可知 A 最多得 3 分，矛盾所以 E 第 2 题答对假设 E 第 3 题答错，则 B 最多得 3 分，矛盾所以 E 第 3 题答对假设 E 第 6 题答错，则 D 最多得 3 分，矛盾所以 E 第 6 题答对由于 E 得 9 分，因此 E 只答错一题，因此 E 第 4 题答错，于是A 的第 2、4 两题对，3、6 两题错，而 A 得 7 分，说明 A 的第 5 题是对的由 A、E 两人的答案，可得一标准答案如下表：按此标准评分，与题中所给 A、B、C、D、E、F得分相符合，所以 E 的第 4 题确实答错了上表的答案是正确的，故可知 G 得 8题号123456答案×√×√√×分例 12李英、赵林、王红三人参加全国小学生数学竞赛，他们是来自金城、沙市、水乡的选手，并分别获得一、二、三等奖现在知道：（1）李英不是金城的选手；（2）赵林不是沙市的选手；（3）金城的选手不是一等奖；（4）沙市的选手得二等奖；（5）赵林不是三等奖根据上述情况，王红是____的选手，他得的是____等奖解：为了便于分析，我们画表帮助思考根据条件（1） （2） ，在相应的格中打上“×”。

由条件（4）得出：如果王红是沙市的选手，他得二等奖，那么由条件（3）可知：金城选手不是一等奖，只能是三等奖又因为李英不是金城选手，只有赵林得三等奖这与条件（5）矛盾，金城沙市水乡李英×2赵林×1王红3所以王红不是沙市选手，沙市选手应该是李英，他得二等奖这样金城的选手只能是王红，他得三等奖例 13李云和他哥哥参加一次集会，同时出席的还有其他两对兄弟见面后有的人握手问候，没有人和自己的兄弟问候，也没有人和同一个人握两次手事后李云发现除自己外每个人握手次数互不相同，问李云握了几次手？李云的哥哥握了几次手？解：设除李云（用 O 表示）之外的五个人分别是 A、B、C、D、E，他们握手的次数分别是 0 次、1 次、2 次、3 次、4 次，那么他们的握手情况可以用下图来表示，其中一条连线表示握过手一次，没有连线表示没握过手2 2 2 24 4 4 43 3 3 32 2 2 21 1 1 10 0 0 0B B B BC C C CD D D DE E E EO O O OA A A A从图中很容易看出：李云握手 2 次那么， 谁是李云的哥哥呢？因为A是唯一没有和E握过手的人 ，所以 A、E 是一对兄弟。

D 只和 A、B 没握过手，而 A 已经是 E 的兄弟了，所以 B、D 也是一对兄弟这样只剩下 C 是李云的哥哥，他握手的次数也为 2 次例 14红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行有 A、B、C、D、E 五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包A 猜：第二包是紫的，第三包是黄的；B 猜：第二包是蓝的，第四包是红的；C 猜：第一包是红的，第五包是白的；D 猜：第三包是蓝的，第四包是白的；E 猜：第二包是黄的，第五包是紫的猜完后，打开各纸包一看，发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对请你判断他们各猜对了哪一包？解：我们把题目中的条件列成一个表，就更清楚了一二三四五A紫黄B蓝红C红白D蓝白根据已知条件，每一包都只有一人猜对，而第一包只有 C猜 ，所以 C 猜对了第一包，是红的；又根据每人只猜对了一种，所以 C猜第五包是白的，猜错了；第五包只有 C、E 两人猜，所以 E 猜第五包是紫的，猜对了；那么 E 猜第二包是黄的，猜错了；紫颜色的珠子，只有 A、E 两人猜，那么 A 猜第二包是紫的，猜错了；第二包有 A、B、E 三人猜，其中 A、E 都猜错了，所以 B 猜第二包是蓝的，猜对了；那么 B 猜第四包是红的，猜错了；D 猜第三包是蓝的，也猜错了；所以 A 猜对的是第三包，是黄的；D 猜对的是第四包，是白的。

总结以上推理判断，A 猜对了第三包是黄色的，B 猜对了第二包是蓝的，C 猜对了第一包是红的，D 猜对了第四包是白的，E 猜对了第五包是紫的注：如果题中只给了一个条件： “每人都只猜对了一包”，你能判断他们都猜对了哪包吗？例 15有 A、B、C 三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A 有一场踢平，共进球 2 个，失球 8 个；B 两战两胜，共失球 2 个；C 共进球 4 个，失球 5 个请你写出每队比赛的比分分析解决本题首先要明白两点常识：E黄紫（1）一个队踢进一个球，对方就失去一个球，所以三个队的总进球数应等于总失球数；（2）两个队踢平，显然该场球的进、失球的总应相等根据已知条件，可以列成表格如下：解：已知每两个队要赛一场，一共要赛三场球B 是两战两胜 ，显然一场胜 A，另一场胜 C；A 踢平一场无疑是与 C比赛的这场球由总进球数等于总失球数，则 B 队的进球数应为 9 个因为 A 与 C 两队进球总数是 6 个，那么除去 A、C 对 B 的那两场球赛中，踢进 B 队的那 2 球外，剩下的 4 个球便是 A 与 C 踢平那一场中双方各自踢进对方的进球数的和，因此 A 与 C 踢成 2 比 2。

现在 2 从 C 的进球数分析， 由于 C 进球 4 个， 除去与 A 两平外 ，另外进的两个球是对 B 比赛进的球数；再从 C 的失球数分析，因为C 对 A 失两球， 表中 C 共失了 5 个球， 因此另外失的 3 个球就是对B失的球数所以 C 对 B 是 2 比 3再因为 B 进球共 9 个，除去对 C 进的 3 个球，那么对 A 就进了球队胜场数负场数平场数进球数失球数A128B22C456 个球，A 对 B 没有进球，所以 B 对 A 是 6 比 0例 16北京至福州列车里坐着 6 位旅客：A、B、C、D、E、F，分别来自北京、天津、上海、扬州、南京和杭州已知：（1）A 和北京人是医生；E 和天津人是教师；C 和上海人是工程师2）A、B、F 和扬州人参过军，而上海人从未参军3）南京人比 A 岁数大；杭州人比 B 岁数大；F 最年轻4）B 和北京人一起去扬州；C 和南京人一起去广州试根据已知条件确定每位旅客的住址和职业分析由于职业可由住址确定，所以只需考虑确定旅客的住址a)北京天津上海扬州南京杭州A××××B××C×××D××√×××E×××F××解：下面我们利用表格进行推理表格中记号“√”表示这个人是来自这个城市，记号“×”表示这个人不来自这个城市。

由（1）可知，A、C、E 既不是北京人，也不是天津、上海人；由（2）可知，A、B、F 不是上海人，也不是扬州人于是得到 D是上海人那么他不是其他城市的人如图（a）由（3）知，A 和 F 不是南京人，那么 A 一定是杭州人，而其他旅客都不是杭州人如下图(b)由（4）可知，B 不是北京人，也不南京人；C 不是南京人，那么 B 是天津人，C 是扬州人；故 F 是北京人，E 是南京人北京天津上海扬州南京杭州北京天津上海扬州南京杭州A× ××××√B×××C× ×××D× ×√×××E× ×××F××××(b)(c)综合上述推理，我们得到：A 是医生，来自杭州；B 是教师，来自天津；C 是工程师，来自扬州；D 是工程师，来自上海；E 是教师，来自南京；F 是医生，来自北京例 17甲、乙、丙三人分别在北京、天津、上海的中学教数学、物理、化学已知：（1）甲不在北京；（2）乙不在天津；（3）在北京的人不教化学；（4）在天津的人教数学；（5）乙不教物理A×××××√B×××C××××D××√×××E××××F××××根据以上情况判断，甲、乙、丙三人分别在何处教何课程？分析根据已知条件，我们把人、地区、科目这三类分别用点表示在三个集合内。

规定：两者之间有关系用实线连接，没有关系用虚线连接这样把问题转化为用图进行推理[如图(a)]据此，下面的结果是显然的： （1）如果某一点用虚线连接某一个集合的两个点，则这点与这一集合内的第三个点应连实线； （2）如果在以不同集合内的点为顶点的三角形中两条边是实线，则第三条边也应该是实线这样，上述三角形中若一条边为虚线，另一条边为实线，则第三条边一定为虚线这两条结论是解题的依据解题的关键是找到三个以实线为边的三角形北京·甲·天津·乙·上海·丙·物理数学化学(a)(b)解：根据题意，甲与北京、乙与天津、乙于物理、北京与化学之间连虚线；天津与数学之间连实线[如上图(b)]这样，根据上面的结论，乙与数学应连虚线，乙与化学应连实线从而天津与化学连虚线，上海与化学连实线，乙与上海连实线[如下页图(c)]，即乙在上海教化学由图(c)进一步可以看出，甲与上海应连虚线，甲与天津连实线，因而甲与数学连实线[如下页图(d)] 由此得出： 甲在天津教数学，而余下就是丙在北京教物理 习题十一1，A、B、C、D 四位同学参加 60 米赛跑的决赛赛前，四位同学对比赛结果各说了如下的一句话：A说 ：“我会得第一名B说 ：“A、C 都不会取得第一名。

”C说 ：“A 或 B会得第一名D说 ：“B会得第一名结果有两位同学说对了试问：谁会获得这次决赛的第一名？2，A、B、C、D 四人住同一间寝室，其中一人在修指甲，一人在洗头，一人在画画，另一人在看书已知：（1）A 不在修指甲，也不在看书；（2）B 不在画画，也不在修指甲；（3）若 A 不在画画，则 D 不在修指甲；（4）C 既不在看书，也不在修指甲；（5）D 不在看书，也不在画画请问：他们各自在干什么？3，张、王、李三人分别出生在北京、上海和武汉，他们分别是歌唱演员、相声演员和舞蹈演员已知：（1）小王不是歌唱演员，小李不是相声演员；（2）歌唱演员不出生在上海；（3）相声演员出生在北京；（4）小李不出生在武汉试分别确定他们的出生地和职业4，有甲、乙、丙、丁四人同住在一座四层的楼房里，他们之中有工程师、工人、教师和医生如果已知：（1）甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层低，丁住第四层；（2）医生住在教师的楼上，在工人的楼下，工程师住最低层试问：甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层？各自的职业是什么？。