金融数学课后习题答案.doc

第一章习题答案1. 设总量函数为 A(t) = t2 + 2t + 3 试计算累积函数 a(t) 和第 n 个时段的利息In 解: 把 t = 0 代入得 A(0) = 3 于是:a(t) =A(t)A(0)=t2 + 2t + 33In = A(n) − A(n − 1)= (n2 + 2n + 3) − ((n − 1)2 + 2(n − 1) + 3))= 2n + 12. 对以下两种情况计算从 t 时刻到 n(t δB (t)⇒ 2t1 + t2 >21 + t⇒ t > 121．已知季结算名贴现率为8%，分别对以下两种情况计算25个月底的5000元在当前的现值：全部采用复贴现；在最后的不足年份内采用单贴现解： d(4) = 8%，设复利下月实贴现率为 d，单利下实利率为 d0全部采用复利：(1 − d)3 = 1 − 8%2第7 页PV = 5000(1 − d)25 = 4225.25前两年用复利：1 − 3d0 = 1 − 8%2PV = 5000(1 − d)24(1 − d0) = 4225.4622．为了在第4年底收益2000元、10年底收益5000元，当前选择这样的投资：前两年每年初投入2000元、第3年初再投入一部分。

已知季结算名利率6%，计算第3年初投入的金额原来的答案有误)解： i(4) = 6% ，则 i = (1 + 6%4 )4 − 1 = 6.14%设第3年初投入X,以第3年初为比较日，列价值方程2000(1 + i)2 + 2000(1 + i) + X = 2000v2 + 5000v8解得 X = 504.67 元23．在一定的利率下，下面两种付款方式等价：1〕第5年底支付200元，第10年底支付500元；2〕第5年底一次性支付400.94元另外，以同样的利率现在投资100元再加上第5年底投资120元，这些投资在第10年底的终值为 P试计算 P解： 对两种付款方式，以第5年为比较日，列价值方程：200 + 500v5 = 400.94解得 v5 = 0.40188所以P = 100(1 + i)10 + 120(1 + i)5 = 917.76224．经过多少时间1000元以利率6%累积的终值是利率4%累积终值的两倍？解：1000(1 + 6%)t = 2 × 1000(1 + 4%)t解得： t = 36 年25．已知年利率为8%，且第 n年底和2 n年底投入100元的现值之和为100元，计算 n。

第8 页解： 列价值方程为100vn + 100v2n = 100解得 n = 6.2526．基金 A以月换算名利率12%累积；基金B以利息力 δt = t6累积，初始时刻两基金本金相同，计算两基金累积额相同的下一个时刻解： δt = 16 t，得基金 B的积累函数为aB(t) = exp(∫ t0δsds ) = exp(t212)欲使 aA(t) = aB(t) 则(1 +112i(12))12t = exp(t212)解得 t = 1.427.计算1000元在第15年底的终值为3000元的半年换算名利率解： 1000(1 + i)15 = 3000则 i(2) = ((1 + i)12 − 1) × 2 = 7.46%28．已知现金流：当前投入300元、第1年底投入200元和第2年底投入100元，在第2年底的终值为700元计算实利率解： 列价值方程为300(1 + i)2 + 200(1 + i) + 100 = 700解得 i = 11.96%29．已知货币的价值以利息力 δt = kt积累，在十年内增长了一倍，计算 k原来的答案有误)解： δt = kt 则积累函数为a(t) = exp∫ t0ksds = exp(k2t2)由 a(10) = 2 得 e50k = 2解得 k = 0.0139第9 页30．已知一个货币单位的本金以实利率 i累积到第三年底的终值再加上第3年底的一个货币单位的资本以实贴现率 i 贴现的的现值之和为2.0096，计算 i。

解：(1 + i)3 + (1 − i)3 = 2.0096解得 i = 0.0431. 现有实利率为的投资项目证明：一个货币单位的本金在第二个计息期的利息收入与第一个计息期的利息收入之差为试给出这个结论的实际背景解释解： 一个货币单位在第一个计息期内的利息收入 j，第二个计息期内的利息收入 j + j2,故差为 j2,即第一期利息产生的利息32.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式：A）现在付款15元，6个月后付款13.65元B〕现在一次性付款28元如果两种方式无差异，计算隐含的年实利率将原题中的16元改成13.65元，这样结果更加符合实际)解： 设半年实利率为 i0，则有：15(1 + i0) + 13.65 = 28(1 + i0)解得: i0= 0.05 故： i = (1 + i0)2 − 1 = 0.102533.甲在1997年元旦借给乙1000元，要求乙按下面方式偿还：分别于1998年和1999年元旦偿还100元，于2000年元旦偿还1000元在1998年元旦（正常还款后）甲因急需资金，将剩余的偿还以960元的价格转让给丙如果甲乙合约的年利率为，甲丙合约的年利率为，比较和的大小。

解： 价值方程：正常: 1000 = 100(1 + j)¡1 + 100(1 + j)¡2 + 1000(1 + j)¡3转让: 960 = 100(1 + k)¡1 + 1000(1 + k)¡2解得： j = 6.98%, k = 7.4%从而: j 1 + (1 − t)i (1 + i)t 0，证明：1) f(m) = (1 + jm)m是 m的递增函数;2) g(m) = m[(1 + j)1m − 1]是 m的递减函数解： 1) f0(m) = 1m(1 + jm)mln(1 + jm), j > 0,m > 0, f0(m) > 02) 令 y = ln(1 + j)/m,则原式化为：ey − 1yln(1 + j) (j > 0)由Taylor展开可见上式关于 y增,由复合函数性质得证42.面额100元的26周国债名收益率11.07％证明：售价在94.767到94.771之间时，均可保持这个收益率题意不理解，暂无修改意见)第12 页第二章习题答案1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+ X 元，年利率7%。

计算 X 解： S = 1000s20p7% ￢ + Xs10p7% ￢X =50000 − 1000s20p7% ￢s10p7% ￢ = 651.722．价值10,000元的新车购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年月结算名利率18%计算首次付款金额解： 设首次付款为 X ，则有10000 = X + 250a48p1.5% ￢解得 X = 1489.363．设有 n年期期末年金，其中年金金额为 n，实利率 i = 1n试计算该年金的现值解：PV = nanpi ￢= n1 − vn1n=(n + 1)nn2 − nn+2(n + 1)n4．已知： a￢n p = X， a2￢n p = Y试用 X和 Y表示 d 解： a2￢n p = a￢n p + a￢n p (1 − d)n 则d = 1 − (Y − XX)1n5．已知： a￢ 7p = 5.58238, a1￢ 1p = 7.88687, a1￢ 8p = 10.82760计算 i解：a1￢ 8p = a￢ 7p + a1￢ 1p v7解得 i = 6.0%6.证明： 11−v10 = s1￢ 0p +a1￢ ps1￢ 0p 。

第1 页证明：s1￢ 0p + a∞￢ ps1￢ 0p =(1+i)10−1i + 1i(1+i)10−1i=11 − v107．已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元解：PV = 100a8p3% ￢ + 100a20p3% ￢ = 2189.7168．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%计算每年的退休金解： 设每年退休金为 X，选择65岁年初为比较日1000¨s25p8% ￢ = X¨a15p7% ￢解得 X = 8101.659．已知贴现率为10%，计算 a¨￢ 8p 解： d = 10%，则 i = 11−d− 1 = 19a¨￢ 8p = (1 + i)1 − v8i= 5.695310.求证：(1) a¨￢n p = a￢n p + 1 − vn；(2) s¨￢n p = s￢n p − 1 + (1 + i)n并给出两等式的实际解释证明： (1) a¨￢n p = 1−vnd = 1−vni1+i= 1−vni + 1 − vn所以 a¨￢n p = a￢n p + 1 − vn(2)s¨￢n p = (1+i)n−1d = (1+i)n−1i1+i= (1+i)n−1i + (1 + i)n − 1所以 a¨￢n p = s￢n p − 1 + (1 + i)n第2 页12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。

解：PV = 100a49p1.5% ￢ − 100a2p1.5% ￢ = 3256.88AV = 100s49p1.5% ￢ − 100s2p1.5% ￢ = 6959.3713.现有价值相等的两种期末年金A和B年金A在第1－10年和第21－30年中每年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金额为 Y ，在第11－20年中没有已知： v10 = 12，计算 Y 解： 因两种年金价值相等，则有a30pi ￢ + a10pi ￢ v10 = Y a30pi ￢ − Y a10pi ￢ v10所以 Y = 3−v10−2v301+v10−2v30 = 1.814.已知年金满足：2元的2 n期期末年金与3元的 n期期末年金的现值之和为36；另外，递延 n年的2元 n 期期末年金的现值为6计算 i解： 由题意知，2a2npi ￢ + 3anpi ￢ = 362anpi ￢ vn = 6解得 i = 8.33%15.已知a￢ 7pa1￢ 1p =a￢ 3p + sX￢ paY￢ p + sZ￢ p求X，Y和Z解： 由题意得1 − v71 − v11 =(1 + i)X − v3(1 + i)Z − vY解得X = 4, Y = 7,Z = 416.化简 a1￢ 5p (1 + v15 + v30)。

解：a1￢ 5p (1 + v15 + v30) = a4￢ 5p第3 页17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%解： 年金在4月1日的价值为 P = 1+4.5%4.5%× 2000 = 46444.44 ，则PV =P(1 + i)2+23= 41300.65718.某递延永久年金的买价为 P，实利率 i，写出递延时间的表达式解： 设递延时间为 t，有P =1ivt解得 t = − ln iPln(1+i)19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年从第三十年底开始每年领取一定的金额 X，直至永远计算 X解： 设年实利率为 i，由两年金的现值相等，有1000¨a20pi ￢ =Xiv29解得 X = 1000((1 + i)30 − (1 + i)10)20.某人将遗。