高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限课件教学教案.ppt

Chap01 函数、极限与连续 不介绍、不需要掌握的内容:1. P17 双曲函数_双曲正弦,双曲余弦,双曲正切; P19 反双曲函数_.;2. P55 柯西Cauchy收敛准则;3. P72 一致连续性.Chap01 函数、极限与连续 重点内容:1.极限定义,极限运算法则,2.极限存在准则,两个重要极限, 等价无穷小量;3.2. 函数的连续性,连续函数的运算,闭区间上连续函数的性质.难点:1.极限存在准则,等价无穷小量的使用;2.函数的间断点,闭区间上连续函数性质的应用. 今日讲课内容: 数列极限定义 函数极限定义长假后讲课内容: 极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限1. 如何用渐近的方法求圆的面积A？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积A.A1 A2 A3 A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正62n-1边形面积, , 显然n越大, An越接近于A. 因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势. 一、概念的引入刘徽割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 刘徽刘徽 |牟合方盖2. 曲边三角形的面积问题：与割圆问题 同样的是 曲边 三角形的 面积 A 如何计算？11oxy我们通常的做法是:将区间0,1 n 等份,用小矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积.不足近似(橘色部分)过剩近似(橘色 加蓝色 部分)可以看到，随着 n 的不断增大，不足近似不断增加，过剩近似不断减少，越来越接近于所要求的曲边三角形面积 A 的真值。

3. 截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”例如数列注意：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取问题当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.二. 数列极限的定义如果数列没有极限,就说数列是发散的.几何解释:其中数列收敛的表述用逻辑符号: 例1证所以,用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定 的 寻找N.例2例3证注意：3. 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性. * 数列发散的表述用逻辑符号: 三. 数列极限的性质1.有界性例如,有界无界定理1 收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.2.唯一性定理2 收敛的数列极限唯一定理2 收敛的数列极限唯一证 法二3#.子数列的收敛性注意：例如，定理3 收敛数列的任一子数列也收敛，且极限相同证明从略其实这个结论就是 从一般到特殊的必然例4证小结数列:研究其取值规律，变化趋势数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性.适当放大例7 求数列 的极限。

分析练习题3. 反之是否成立?。