酉矩阵和正交矩阵的性质和应用论文.doc

0 前 言 11 欧式空间和正交矩阵 21.1 欧式空间 21.2 正交矩阵的定义和性质 21.2.1 正交矩阵的定义和判定 21.2.2 正交矩阵的性质 42正交变换的定义和性质 122.1正交变换定义的探讨 122.2正交变换的判定 142.3正交变换的性质 153正交矩阵的应用 173.1正交矩阵性代数中的应用 173.2利用正交矩阵化二次型为标准形 223.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 223.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 233.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 253.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 273.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 364 酉空间和酉矩阵 394.1 酉空间 394.1.1 酉空间的定义 394.1.2 酉空间的重要结论 394.2 酉矩阵 414.2.1 酉矩阵的定义 414.2.2 酉矩阵的性质 415酉矩阵的应用 505.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 505.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 556 正交矩阵与酉矩阵 597结论 62参考文献 63致谢 640 前 言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果. 1 欧式空间和正交矩阵1.1 欧式空间设是实数域上一个线性空间,在上定义了一个二元实函数称为内积,记作,它具有以下性质:1) （对称性）;2) （线性）;3) （线性）;4) 是非负实数,且当且仅当（正定性）.这里是中任意的向量,是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.1.2 正交矩阵的定义和性质在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.1.2.1 正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 为阶实矩阵,若,则称为正交矩阵.定义1.2 为阶实矩阵,若,则称为正交矩阵.定义1.3 为阶实矩阵,若,则称为正交矩阵.定义1.4 为阶实矩阵,若的个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：判定定理 1 为正交矩阵.判定定理 2 为正交矩阵当且仅当的行向量组满足其中且是记号.即的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基. 证明 为正交矩阵 .判定定理 3 为正交矩阵当且仅当的列向量组满.其中且是记号.即的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基. 证明 为正交矩阵 .例1.1 判断矩阵(其中是实数)是否是正交矩阵.解 . 因此是正交矩阵.1.2.2 正交矩阵的性质性质1 设为正交矩阵,则1) ；2) 可逆,即存在,其逆也是正交矩阵；3) 也是正交矩阵.并且当为阶正交矩阵时,当时,,即;当时,即.证明 1) 由,可知,则.对正交矩阵,当时,我们称为第一类正交矩阵；当时,则称为第二类正交矩阵.2) 由可知可逆且又,故是正交矩阵. 3) 由1)知,是正交矩阵.而由,可以得出,故是正交矩阵.由,当时,,即;当时,,即.性质2 设都是阶正交矩阵,则1) , (为自然数),,,,,等都是正交矩阵.2) 也是正交矩阵.3) 准对角矩阵为正交矩阵均为正交阵.证明 1)由可知,所以为正交矩阵.从而再由性质1可推知(为自然数),,,,,等均为正交矩阵. 2) 因为及 故是正交矩阵.3) 准对角矩阵为正交矩阵 均为正交阵.性质3 1阶正交矩阵只有.性质4 2阶矩阵为正交矩阵的充要条件是为下列四型之一： ; ;;. 其中;性质5 设为阶正交矩阵,且,则必不可逆,即；设为奇数阶正交矩阵,且,则必不可逆,即；设是第二类正交矩阵,则必不可逆；设是奇数阶第一类正交矩阵,则必不可逆.证,得,即不可逆. 知当为奇数时, ,即.从而不可逆. 由是第二类正交矩阵,则,而,所以,即必不可逆. 由是第一类正交矩阵,则.而.所以当是奇数时,有,即必不可逆.性质6 阶非零矩阵为正交矩阵的充要条件是对任意的阶矩阵有 .证明 必要性. 设是阶正交矩阵.由得.从而根据矩阵理论可知对任意阶矩阵,有.充分性. 设对任意的阶矩阵,.特别地我们可选取.这里表示位于第行第列交叉位置上的元素为1,其余元素均为零的阶矩阵.记，那么 记的个列分别为,于是有 所以易知而由矩阵是1阶矩阵,可知综合以上数式,可得进而得到 由此即知为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点,另外还有以下性质,例如性质7 正交矩阵的实特征值的模为1,且属于不同特征值的特征向量相互正交. 证明 设为正交矩阵,为的实特征值,为对应的实特征向量,则,取共轭转置得,再右乘有.利用得.由于,所以,故有.设1和-1是正交矩阵的不同特征值,设其对应的特征向量分别是,即,则易得由是正交矩阵，则故而因此即正交矩阵对应不同的特征值的特征向量是相互正交的.性质8 如果是正交矩阵的特征值,那么也是它的特征值.证明 设是的特征值,则.由于是正交矩阵,于是.但与的特征值全部相同,而是的特征值.因此是的特征值.性质9 奇数维欧式空间的旋转一定以1作为它的一个特征值. 证明 设旋转对应的正交矩阵为,那么由于为奇数,且,于是,故,即1为的一个特征值.性质10 设均为阶正交矩阵.(1)当时,则是的特征值；(2)当且为偶数时,则1是的特征值；(3)当且为奇数时,则1是的特征值.证明 (1)只需证事实上, 其中从而,得证是的特征值.(2,3)只需证事实上,当且为偶数时,当且为奇数时,从而得证1是的特征值.性质11 设均为阶正交矩阵,为的特征多项式,则当为偶数时, 其中为奇数时, 其中当为偶数时, 其中为奇数时, 其中证明 正交矩阵的特征多项式为其中为的一切阶主子式的和乘以.令为的阶主子式,为阶主子式的代数余子式,为的余子式.若,则因为的阶主子式,所以为的阶主子式,故的一切阶主子式之和等于的一切阶主子式之和.为偶数时,有奇数项,由且为所有的之和乘以为所有的之和乘以其中故为奇数时,有偶数项,由且为所有的之和乘以为所有的阶主子式之和乘以其中相差一个符号.故所以,若,当为偶数时,的特征多项式有奇数项,它以为中间项,左右对称项的系数相同,其中包括首项系数与常数项；当为奇数时,的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数仅差一个符号,因首项系数为1,且为-1,故也包括在内.若,则故的一切阶主子式之和与的一切阶主子式之和仅差一个符号.为偶数时,有奇数项,由且为所有的之和乘以为所有的之和乘以其中故为奇数时,有偶数项,由且为所有的阶主子式之和乘以为所有的阶主子式之和乘以其中相差一个符号.故所以若,当为偶数时,的特征多项式有奇数项,它以为中间项,左右两边对称项的系数相差一符号,因首项系数为1,为,故也包括在内；当为奇数时,的特征多项式有偶数项,处于对称位置的左右两端系数相同,其中包括首项系数与常数项均为1,也包括在内.性质13 正交矩阵的一切阶主子式之和与一切相应阶主子式之和或相等或仅差一符号.性质14 正交矩阵可以对角化,即存在复可逆阵使得,其中为的全部特征值,即.性质15 对称正交矩阵的行列式证明 由对称正交矩阵的特征值只有1或.设的个特征值中有个,则剩下的就是个1.由故所以例如对称正交阵有性质16 当阶正交矩阵为基础循环矩阵时,则它的全部特征值为实根,且为个次单位根.证明 设为基础循环矩阵.可知的特征多项式为则其特征根为.故为次单位根.2正交变换的定义和性质在标准正交积下,正交变换与正交矩阵对应,本文中提到在探讨性质应用之前,先得了解正交矩阵的出处,正交矩阵来自于正交变换的定义,设(V)是欧几里得空间的线性变换,如果保持内积不变,也就是说,对任意的,有.正交变换是保内积的,也即保长度和夹角,则变换前后的图形全等.2.1正交变换定义的探讨 在解析几何中,我们学过正交变换的定义,正交变换就是保持点之间距离不变的变换,正交变换也是高等代数与线性代数中常见的定义,其表述方式为： 定义2.1.1 设是欧氏空间的一个线性变换,如果保持向量内积不变,即对,都有,则它是正交变换.定义2.1.2 设是欧氏空间的一个线性变换,如果保持向量的长度不变,即对,有,则此线性变换叫做正交变换. 因此由上述可知,性变换的前提条件下,保持向量的长度不变与保持向量的内积不变是等价的.探讨1 事实上,我们可以对定义2.1.1作一个修改.在此之前,我们先看下面 的命题：命题 设是欧氏空间的一个变换,如果保持向量内积不变,即有,则它一定是线性的,因而也是正交变换.证明 先证. 对,有 ,故即其次再证 即是线性变换,因此也是正交变换. 由命题可知,定义1中是线性变换是多余的,因此定义可以修改为：定义1 欧氏空间中的一个变换,若它保持向量内积不变,即有,则为正交变换.探讨2 由定义1到定义1＇,将条件中线性变换降弱为变换,于是我们就问可以将定义2中的线性变换也降弱为变换？事实上,这是不行的,我们用一道考研题来说明.中国人民大学1991年考研试题：欧式空间中,保持向量长度不变的变换是否一定是正交变换？若是给出证明,若不是举出反例.答 不一定是正交变换.例如设内积如通常所述,定义.令,则,,显然.即变换保持长度不变,。