数列典型方法及例题.doc

求等差等比数列通项公式及前n项和及交叉运用的方法（记背这些方法重要）一．求通项公式1、观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，… （2） （3） 解：（1） （2） （3） 2、公式法 例1. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ D ） (A) (B) (C) (D) 3、 叠加法 例2：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项点评：一般地，对于型如类的通项公式，只要能进行求和，则宜采用此方法求解4、叠乘法 例3：在数列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表达式点评：一般地，对于型如=(n)·类的通项公式，当的值可以求得时，宜采用此方法5、Sn法利用（重点） (≥2)例4：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式 （2）∴=3为所求数列的通项公式点评：要先分n=1和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一做题要特别注意）二．数列求和方法 1. 公式法：　等差数列求和公式：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2　等比数列求和公式：Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)2.错位相减法　　适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式　　{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn　　例如：　　an=a1+(n-1)d　　bn=a1·q^(n-1)　　Cn=anbn　　Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn　　qTn=       a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)　　Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)　　Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn)　　=a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q)　　Tn=上述式子/(1-q)3.倒序相加法　　这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)　　Sn  =a1+  a2+     a3+......  +an　　Sn  =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1   　　前后相加得到2Sn     即  Sn= （a1+an)n/2 4.分组法　　有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例如：an=2^n+n-15.裂项法　　适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。

　　常用公式：　　（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)　　（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]　　（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)] 　　（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)　　（5） n·n!=(n+1)!-n! 　　[例] 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和.　　解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项）　　则 Sn=n/(n+1) 此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了只剩下有限的几项 注意： 余下的项具有如下的特点1余下的项前后的位置前后是对称的2余下的项前后的正负性是相反的 7.通项化归　　　先将通项公式进行化简，再进行求和如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n项和此时先将an求出，再利用分组等方法求和8.并项求和：　例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n　　方法一：（并项）　　求出奇数项和偶数项的和，再相减方法二：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]三.典型数列例题（ 数列的判定，等差中项，求任意项，求通向，求前n项和……）（注意解答过程方式方法思路）例1（简单的数列的判定）给定公比为q(q≠1)的等比数列，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，…，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，…，则数列 ( ) 　　(A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列 　　(C)是公比为q3的等比数列 (D)既是等差数列又是等比数列 解：（c）例2（等差数列性质运用）等差数列的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( ) 　　A．130 B．170 C．210 D．260 解：（c）例3（等差中项运用）　　在等差数列中，a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a9-a10= 　　A.20 B.22 C.24 D28 　　解：由a4+a12=2a8，a6+a10 =2a8及已知条件得： 　　5a8=120，a8=24 　　而2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24。

　　故选C 例4（前n项和公式和通项联合运用）　　设等差数列满足3a8=5a13，且a1>0，Sn为其前n项之和，则Sn(n∈N*)中最大的是( ) 　　(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 　　解：∵3a8=5a13 　　∴3(a1+7d)=5(a1+12d) 　　故a1=-19.5d 　　令an≥0→n≤20；当n>20时an<0 　　∴S19=S20最大，选(C) 　　注：也可用二次函数求最值 （比较推崇这种方法，简单易懂） 例5（两个数列交叉运用求值）　　设数列的前n项和Sn=2an-1(n=1,2,…)，数列满足b1=3,b(k+1)=ak+bk(k=1,2,…)，求数列{bn}的前n项和 　　解：由Sn=2an-1，令n=1，得S1=a1=2a1-1，∴a1=1 ① 　　又Sn=2an-1 ② 　　S（n-1）=2（an-1）-1 ③ 　　②-③得：Sn-S（n-1）=2an-2a（n-1） 　　∴an=2an-2a（n-1） 　　故an=2a(n-1) 　　∴数列是以a1=1为首项，以q=2为公比的等比数列，故an=2^(n-1) ④ 　　由⑤ b(k+1)=ak+bk(k=1,2,…)， 　　∴以上诸式相加，得{bn-2}={an}, 　　∴{bn}=2^(n-1)+2 　　∴Sbn=2^n-1+2*n 四.高考例题1.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=（B）A. B. C. D.2 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B2.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时， A. B. C. D. 【解析】由得，，则， ，选C. 3.（2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于 ( B ) A. -1 B. 1 C. 3 D.7【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B。

4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 (A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 【解析】由得得,再由得 则,所以,. 选C5.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于【 C 】A．13 B．35 C．49 D． 63 解: 故选C.或由, 所以故选C.6.（2009福建卷理）等差数列的前n项和为，且 =6，=4， 则公差d等于( C)A．1 B C.- 2 D 3 [解析]∵且.故选C . 7.（2009辽宁卷文）已知为等差数列，且－2＝－1, ＝0,则公差d＝（A）－2 （B）－ （C） （D）2【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1 Þ d＝－ 【答案】B8.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = （A） 2 （B） （C） （D）3【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 Þ q3＝2 于是 . 【答案】B9.（2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。

若=1，则=（A）7 （B）8 （3）15 （4）16解析：4，2，成等差数列，,选C.10.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190【答案】B【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝10011.（2009湖北卷文）设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[],A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列.14.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） A． B． C． D．【答案】A解析设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和15.（2009安徽卷理）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 （A）21 （B）20 （C）19 （D） 18 [解析]：由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，选B17.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 . 【答案】B【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝100二、填空题1.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列的前项和为，若,则= 。

解: 是等差数列,由,得. 2.（2009浙江理）设等比数列的公比，前项和为，则 ．答案：15【解析】对于3.（2009北京文）若数列满足：，则 ；前8项的和 。