平面向量的线性运算及其坐标表示知识点及题型归纳总结.docx

平面向量的线性运算及其坐标表示知识点及题型归纳总结知识点精讲一、向量的基本概念向量概念既有大小又有方向的量叫向量，一般用a，b，c来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示， 如AB （其中A为起点，B为终点）.注：谈到向量必须说明其方向与大小.向量的大小，有就是向量的长度（或称模），记作a或|AB .2•零向量、单位向量、相等向量、平行（共线）向量零向量：长度为零的向量，记为0，其方向是不确定的.- 小 a单位向量：模为1个单位长度的向量.当a主0时，向量土百 是与向量a共线（平行）的单位向量.同相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为a = b.平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同 一条直线上.规定零向量与任何向量a平行（共线），即0// a.注：①数学中研究的向量都是自由向量，可以任意平移；②向量中的平行就是共线，可以重合，而几何中 平行不可以重合；③aIIb，b//c，不一定有aIIc，因为b可能为0.向量的线性运算向量的加法求两个向量和的运算叫做向量的加法，已知向量a，b，星平面内任取一点A，作AB = a，BC = b，则 向量AC叫做向量a与b的和（或和向量），即a + b = AB + BC = AC .向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则如图5-1所示，向量AC=a+b.注：①若a:'b为不共线向量，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当a，b共线时，则只能用 三角形法则求和向量，向量加法的本质是首尾相接.②三角形法则可推广至若干向量的和.如图5-2所示.2 •向量的减法（1）相反向量.与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a.B①规定：零向量的相反向量仍为零向量；―►②-（-a）= a , a +（- a ）=0；③若a，b互为相反向量，则a =-b，b =-a，a+b =0.（2）向量的减法.向量a与b的相反向量的和叫做向量a与b的差或差向量，即a -b = a + （-b）.向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则.如图5-3所示，OA = a，OB = b则向量BA = a-b.注：向量加法的三角形法则是两向量首尾相连，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终 点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向 被减向量的终点的向量.3•向量的数乘（1）实数入与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：九a，它的长度和方向规定如下：① 九a = |X| a② 当入＞0时，九a的方向与a的方向相同；当X0时，九a的方向与a的方向相反；当九二0时，九a = 0方 向不确定；a = 0时，九a = 0方向不确定.（2）向量数乘运算的运算律.—*■ f —F —F- —* —F —F —F —I- ―I- —设a、b为任意向量，九、卩为任意实数，贝I」九（卩a）=（九卩）a ；（九+ p）a = Xa + pa ；九（a + b） = Xa +九b.三、平面向量基本定理和性质共线向量基本定理~A ~A —► —► —► C —►如果a = Xb （Xg R），则a // b ；反之，如果a // b且b主0，则一定存在唯一的实数九，使a =X b . （口 诀：数乘即得平行，平行必有数乘）•平面向量基本定理如果e和e是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ,都存在唯一的一对实数 1 2 一 一乙，九，、使得a =九e +九e，我们把不共线向量e， e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为胆三！ _ 丄1 2 2 £ T 1 2I ,e .九e +九e叫做向量a关于基底I,e的分解式.1 2 1 1 2 2 1 2注：由平面向量基本定理可知：只要向量e与e不共线，平面内的任一向量a都可以分解成形如1 2 一 _a=x e+九z的形式，并且这样的分解是唯一的.九r+九e叫做e，丁的一个线性组合.平面向量基本1 1 2 2 1 1 2 2 1 2定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础 推论1：若a =九e +九e =九e +九e ，则九=九,九=九.I 1 2 2 3 1 4 2 1 3 2 4推论2：若a =九e + X e = 0，则九=九=0.II 2 2 1 2线段定比分点的向量表达式如图5-4所示，在△ ABC中，若点D是边BC上的点，且BD = X DC （九H -1 ），则向量AD = .1+X 在向量线性表示（运算，有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟 练掌握.三点共线定理平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数兀卩，使OC = XOA +卩OB，其中九+卩二1，O为平 面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.图5-5A、B、C三点共线o存在唯一的实数九，使得AC = X AB;o存在唯一的实数X，使得OC = OA + X AB ；o存在唯一的实数X，使得OC = (1—X)OA + XOB ；o 存在 X + y = 1，使得 OC = X OA + 卩OB .中线向量定理1 -如图5-5所示，在△ ABC中，若点D是边BC的中点，则中线向量AD =空（AB + AC）,反之亦正确.四、平面向量的坐标表示及坐标运算（1）平面向量的坐标表示.在平面直角坐标中，分别取与x轴，y轴正半轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，那么由平面向量 基本定理可知，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x, y使a = xT + yj，我们把有序实数对（x, y） 叫做向量a的坐标，记作a =（ x, y）.（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有向量（x, y）v—对应-向量OA V—对应上点 A（ x, y）.（3）设a = （x , y ），b = （x , y ），则 a + b = （x + x , y + y ），a一b = （x 一x , y - y ），即两个向量1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.若a =（ x, y），九为实数，则ka =（九x，九y），即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相 应坐标. ► ► ►(4)设 A(x ,y )，B(x ,y )，则 AB = OB-OA = (x — x ,1 1 2 2 1 2的有向线段的终点的坐标减去始点坐标.yi - y2）,即一个向量的坐标等于该向量注：设e, z是夹角为45。

的两个单位向量，且a=e+r，1 2 1 2b = 2e + e，求 a + b 的值.1 2错解因为a + b = e + 2e + 2e + e = 3e + 3e ，所以 a + b = (3,3)，贝ij a + b = J9 + 9 = 3>/2.12 12 12上面解法中，a + b =（3,3）是错误的，虽然题目中的e ,e是单位向量，但它们并不垂直，只有当e ,e1 2 1 2 时，才能按上述方法计算，一般地，题目中使用单位正交基底（多用i, j表示）剖析是单位向量，且e丄e1 2 _ _ _ _表示向量时，才等价于给出坐标.即若a = i + 2j，则等价于给出a = （1，2）五、向量的平行—► ―►设a = （x , y ），b = （x , y ）.a //b的充要条件是xy — x y = 0.除了坐标表示xy — x y = 0夕卜，下面两1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1f f —► —►种表达也经常使用：当b丰0时，可表示为a二九b;当x1 y2 x2人乂0时，可表示为規=4，即对应坐标成比例.xy22 题型归纳及思路提示 题型 1 平面向量的基本概念思路提示准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传递性， 两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相等向量. 共线向量或相等向量均与向量起点无关.例5.1已知下列三个命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量AB与向量CD共线，则 A,B,c,D四点共线；③如果a//b，b//c，那么a//c .其中正确命题的个数是（）.A．0B .1C.2D.3分析 联系向量的基本概念，注意零向量.解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，女口0，②不正确，共线向量所在的直线 可以重合，也可以平行；③不正确当b — 0时，则厅与乙不一定共线.所以①，②，③均不正确.故选A.评注 本题容易忽视零向量这一特殊向量，认为命题③是正确的.变式1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点和终点相同；②若a—►b，则 a — b ； ► ► ► ►③若AB — DC，则ABCD为平行四边形；④在平行四边形ABCD中，一定有AB — DC ；⑤若a — b，b — c ，则a — c；⑥若a//b，b//c ，则 a//c其中不正确的命题的个数是（ ） .A.2B.3C.4D.5题型 2平面向量的线性表示 线段定比分点的向量形式在向量线性表示（运算）中的应用例5.2设P是厶ABC所在平面内的一点，BC + BA — 2丽，则（）.A. PA + PB 二 0B. PC + PA — 0C. PB + PC — 0 ► ► ► ―►D. PA + PB + PC — 0 ► ► ► ► ► ―>解析如图5-6所示，因为BC + BA — 2BP，故点P为线段AC的中点，因此PC + PA — 0 .故选B.C）.A. AO — ODB. AO — 2ODC. AO — 3ODD. 2AO — OD变式2如图5-7所示，在平行四边形ABCD 中,AB — a， AD — b,AN — 3NC,m 为 BC 的中点，则MN —（用a, b表示）.变式1已知O是厶ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA + OB + OC二0,那么（例5.3在厶ABC中,AB = c, AC = b，若点 D 满足 BD = 2DC,则 AD =(A. 2 b +1 c3 3B. - 2b+5 c3 3D.分析 根据题意画出草图，利用向量的加、减、数乘的几何意义表示 解析 解法一：如图5-8所示,2 2 2 1 -AD = AB + BD = AB + 3 BC — c + 3 (b — c) = 3 b + 3 c .故选 A.c + 2b 2 1 —解法二 因为BD — 2DC,由定比分点线性表示知AD — w—〒—-b + - c .故选A.丄 I Z/ Q Q解法三：特殊化思想：如图5-9所示，把此三角形特殊为等腰直角三角形，并把点A置于原点O 且1 2 1、 2» 2 - 1-AB=AC=1，则各点坐标为：B （1,0），C （0,1） D （亍，—）=3 AB + — AC — — 。