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探讨中国古代数学的发展探讨中国古代数学的发展摘要：是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国•古代的四大发明曾 经极大地推动了世界文明的进步.同样，作为中国文化的一个重要组成部分，中 国古代数学，由于其自身的历史渊源和独特的发展过程，形成了与西方迥然不同 的风格，成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽视的源头数学的开 始发展在先秦吋期，到了汉唐时期传统数学体系初步形成，宋元时期传 统数学兴盛，得到全面发展，明清吋期传统数学显示衰落，后来开始受到西 方数学思想的冲击，又开始复苏关键词：小国传统数学，算数，九章算术，算经，剩余定理目录目录探讨中国古代数学的发展 01. 中国古代传统数学的萌芽 21.1结绳记事 31.2规矩的使用 31.3十进位制计数法，分数的应用及筹算 42. 中国传统数学体系的形成 42.1《周髀算经》和勾股定理 52.2《九章算术》 62.3刘徽和祖氏父子 82.4《算经十书》 133. 中国传统数学的兴盛 133.1高次方程的数值解法 143.2剩余定理 153.3 “天元术”和“四元术” 154. 中国传统数学的衰落与复苏 151•中国古代传统数学的萌芽是一个有着悠久历史和灿烂文化的文明古国•古代的四大发明曾经 极大地推动了世界文明的进步•同样，作为中国文化的一个重要组成部分， 古代数学，由于其自身的历史渊源和独特的发展过程，形成了与西方迥然不同的 风格,成为世界数学发展的历史长河中的一支不容忽视的源头。

秦始皇统一， 在华夏大地上建立了第一个封建王朝为了加强集权统治，统一了法令，度 量衡和文字，这些措施在客观上有利于经济文化的发展，从而在先秦时期以前积 累的数学知识在秦朝建立之后得到了发展的机会传统数学开始萌芽此时 期出现了结绳记事，规矩的使用和十进位制计数法，分数的应用及筹算其中十 进位制计数法和分数的应用及筹算对现代数学的发展起到了重要的作用1.1结绳记事古代记数方法的起源是很早的.据《易係辞传》称：“上古结绳而治•”《易•九家义》明确地解释了这种方法：“事大，大结其绳；事小，小结其绳•结之多少，随物众寡•” 这种结绳记事的方法是很古老的•据《史记》记载：“伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之治.” 这表明在伏羲这一位神话中的人类始祖之前，结绳记事这种方法就十分流行, 并且在他的时代已开始用“八卦”和“书契”等方法來代替“结绳记事” T.1. 2 规矩的使用规矩是传统的几何工具•至于它们的用途，《周礼》、《荀子》、《淮南子》、 《庄子》等古籍都有明确的记载.“圆者中规,方者中矩•”说明它们分别用于圆与方的问题.它们的起源也是很早的•据《史记》记载，夏禹 在治水吋就“左准绳，右规矩，载四吋，以开九州，通九道” •甚至在汉武梁祠 中还有“伏羲手直矩，女姻手执规”的浮雕像，将这两种工具的最早使用归功于 传说中的伏羲与女姻•规与矩的使用，对于后來几何学的产生和发展有着重要的意义，传统几何学大部分内容都是围绕圆与勾股形展开的，这与这个人擅长 使用规与矩的关系是十分密切的.1.3 十进位制记数法、分数的应用及筹算在第二个奴隶制王朝商代，甲骨文已发展成熟•据对河南安阳发掘的殷 墟甲骨文及周代金文的考古证明，当时已采用了“十进位置制记数法”，并 有十、百、千、万等专用的大数名称•这是对世界数学最伟大的贡献，正如李约 瑟博士所指出的那样：“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这 个统一化的世界了・”怕真正有才能的人不来为君主效力吗？ ”齐桓公是否厚待 此人不得而知，但这至少从一个侧面说明了在当吋九九歌已被人们广泛地应用了。

衣塘出七的甲诉文1T345A十X丸167X910否ll(XXM>Tft 乂中的敢名记法算筹是古代的计算工具•筹即小竹棍或小木棍（也有用骨、金属材料或 象牙制成的）•从出土的汉代算筹可以知道，这种算筹比我们FI常使用的筷子稍 短稍细一点，古人就用它來进行计算，相应的一套算法也就称为筹算•从春秋战 国吋期一直到元代末年，算筹在我国沿用了两千多年•用算筹表示数有纵横两种 摆法:臥册 I ii iii b ■ t t ur in就- = = = Sli^iI 2 3 4 S 6 7 8 92 •中国传统数学体系的形成从汉代开始，小国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步 提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以 及大量兴修水利工程和水陆交通的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力, 数学也有了长足的发展.其主要标志是以《九章算术》为代表的传统数学体 系的形成.2.1《周髀算经》和勾股定理比《九章算术》稍早且流传下来的一•部重要的著作是《周牌算经》，该书原名《周 髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉吋期，其许多内容甚至可以追溯到西周（公 元前11世纪一公元前8世纪）.唐代李淳风在为国子监明算科选定教科书吋将其 列入《算经十书》，并改名为《周碑算经》・严格地讲，它并不是本数学专著， 而是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内 容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用.该书卷首记述了一段精彩的对话：“昔者周公问予商高曰：…•古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得 足寸而度，请问数安从岀？商高曰：数之法，出于圆方.圆出于方，方出于矩， 矩出于九九八十一.故折矩以为勾广三，股修四，径隅五.……故禹Z所以治天 下者，此数之所生也・”这就是我国有关勾股定理的最早记录•这里叙述了勾股定理的一个特待例•接着, 在陈子与荣方的“师生对话”中，借陈子之口又给出了一般的勾股定理：“求邪至日者,以日下为勾,日高为股•勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日・” 如图，即给出公式：邪至Fl （弦）二J勾? +股?关于勾股定理的证明最早是由三国吋期的数学家赵爽给出的，赵爽是中 国历史上首次对《周髀》进行认真研究和注释的学者•他的工作主要包括三个方 面：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图•其中最为精彩的是 “勾股圆方图注”・“按弦图又可以勾、股相乘为朱实二，倍Z为朱实四•以勾股Z差自相乘， 为中黄实.加差实一，亦成弦实•”2. 2 《九章算术》标志着传统数学理论休系形成的是《九章算术》的成书•该书的作者和 成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元1 世纪初•的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内 容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨 家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功.也许正是这种原因，决 定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了传统的数学体系。

方田”是《九章算术》的开卷章，主要论述了各种平而图形的地亩而积 算法及分数的运算法则.其中，平面图形有方田（长方形田地）、圭田（三角形田 地）、邪（斜）皿（直角梯形田地）、箕皿（等腰梯形田地）、圆田（圆形［□地）、宛皿 （说法不一，未有定论）、弧IU（弓形D3地）、环田（圆环或环缺形田地）的面积算 法，除宛出、弧出是近似计算方法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误 的.分数运算法则包括约分术（约分与通分）、合分术（分数加法）、减分术（分数减法）、课分术（两个分数的大小比较）、平分术（求几个分数的算术平均值）、乘 分术（分数乘法）、经分术（分数除法）和大广田术（带分数除法），这些算法也都 是正确的，且与现今的计算方法在理论上是一致的《九章算术》里已经有方程的研究了，“方程”主要研究线性方程组的解 法，其基本思想是消元.在解方程组吋，将方程组的系数（包括常数）分离出来 排成一个数表，相半于现性代数中的增广矩阵，然后通过类似于炬阵初等 变换的方法消元，这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为 “高斯消去法”如：上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆，共出粮三十九斗；上等禾 谷二捆，中等禾谷三捆，下等禾谷一捆，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆，中 等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出粮二十六斗.问上中下等禾谷每捆出粮各多少?设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为斗，则有3x + 2y+ z = 39,2x + 3y+ z = 34,x + 2y+ 3z = 26.《九章算术》给出的表示方法相等于下列矩阵(123<26343、2139丿上禾中禾下禾实左歹収5-中列x4 〉"0036.99051243、2139,左列各数除以36,并逐步向右代入相销得0012〉I 4其解法相当于下列图示方法(12 3、"10 3](0 0 3 )2 3 2中列x3-右列x2 、2 5 2左列x3-右列、4 5 23 1 13 1 18 1 1〔26 34 39；,26 24 39丿(39 24 39丿即上等禾谷每捆出粮4斗，中等禾谷每捆出粮4斗，下等禾谷每捆出2。

粮4斗方程”章的另一•个重点就是对负数的概念、运算进行了研究.在解方程 的过程中，由于无法回避被减数小于减数的情况出现，故《九章算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数及其运算法则：“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名 相除，同名相益，正无入正之，负无入负之.”即两数相减时，同号则绝对值相减，并号则绝对值相加，正数减零为负数， 负数减零为正数；两数相加时，同号则绝对值相加，异号则绝对值相减，正数 加零为正数，负数加零为负数.在该书的实际问题中已涉及正负数的乘除运算, 但《九章算术》和刘徽注中都没有明确给出其运算法则.关于正负数的定义和 表示法,刘徽在“正负术”的注文中给出:“今两算得失相反，要令正负以名正算赤，负算黑，否则以邪正为 异.”即正负是“得失相反”两种情况在数学中的反映；可用红、黑两种颜色的 算筹或正、斜排列的两种筹式表示正、负数.这是世界丄最早关于正负数应用 的记载2.3刘徽和祖氏父子数学史界的一个普遍的观点是，如果离开了刘徽的《九章算术注》去研究 《九章算术》，则很难深入理解《九章算术》的精髓•事实上，刘徽的《九章 算术注》对于阐发《九章算术》的思想方法，发展《九章算术》的理论，完善 《九章算术》的体系，作岀了杰出的贡献.在几何方而，刘微的贡献尤为突出， 他是具有特色的传统几何理论的奠基者.他以别具一格的证明方法对 古代提出的几何命题予以科学的证明，这些方法包括“图形割补法”、“代数 法”、“极限法”以及“无穷小分割法”等等，其中最常用的是图形割补法, 这与他提出的“解体以图”的H标是一致的.刘徽对用图很考究，不仅对插图施以颜色，用黄、朱、青三种颜色标出各种不同的图形，而且强调要“按图为 位”，使图形与文字互相对照.特别是他为证明立体的体积公式所采用的立体 图形割补法尤为出色.(1) 割圆术《九章算术》“圆出术”给出了圆面积的计算公式：“半周半径相乘得积步”・c即圆田积步(其中C为圆周长，R为圆的半径)•可见，在《九章算 2术》的作者看来，圆与一个长为圆周的一半、高为半径长方形，或以圆周为底 边、半径为高的三角形而积相等.为了证明这一公式，刘徽创造了著名的“割 圆术"・刘徽“割圆术”的基本思想是“化圆为方”，并。