数学建模概述.ppt

数学建模概述v数学模型v数学建模过程v数学建模示例1,2,3v建立数学模型的方法和步骤v数学模型的分类模型模型：是我们对所研究的客观事物有关属性的模拟，它应当具有事物中使我们感兴趣的主要性质，模拟不一定是对实体的一种仿造，也可以是对某些基本属性的抽象数学模型数学模型直观模型： 实物模型，主要追求外观上的逼真物理模型：为一定目的根据相似原理构造的模型，不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以进行模拟试验，间接地研究原型的某些规律 思维模型，符号模型，数学模型数学模型：数学模型：1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式特征或本质给以数学表述的数学关系式它是模型的一种2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要一特定对象，为了某个特定的目的，做出一些必要的简化和假设，运用的简化和假设，运用 适当的数学工具得到一个数适当的数学工具得到一个数学结构。

学结构数学结构数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题总之，数学模型是对实际问题的一种抽象，基于数学理论和方法，用数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等来刻画客观事物的本质属性与其内在联系古希腊时期：“数理是宇宙的基本原理”文艺复兴时期：应用数学来阐明现象“进行尝试”微积分法的产生，使得数学与世界密切联系起来，用公式、图表、符号反映客观世界越来越广泛，越来越精确费马（P.Fermal 1601-1665）用变分法表示“光沿着所需时间最短的路径前进”牛顿（Newton 1642-1727）将力学法则用单纯的数学式表达，如，牛顿第二 定律：结合开普勒三定律得出万有引力定律航行问题：航行问题：甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各多少？用 分别代表船速、水速，可以列出方程解方程组，得答：船速、水速分别为20千米/小时、5千米/小时数学建模过程数学建模过程现实对象的信息数学模型的解答现实对象的解答数学模型表述（归纳）求解（演绎）解释验证现实对象与数学模型的关系 数学建模示例数学建模示例建模示例之一建模示例之一 椅子的稳定性问题椅子的稳定性问题问题：将四条腿一样长的正方形椅子放在不平的地面上，是否总能设法使它的四条腿同时着地，即放稳。

1 1假设假设 2 1）地面为光滑曲面；3 2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的；4 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接 触视为几何上的点接触；5 4）椅子的中心不动xyAABBCCDDO2 2 建模分析建模分析表示A,C与地面距离之和表示B,D与地面距离之和则由三点着地，有不失一般性，设初始时：假设： 是 的连续函数， 且 对任意 ，求证：至少存在 ，使得3数学模型数学模型数学命题：数学命题：.4 4 模型求解模型求解证明： 将椅子转动 ，对角线互换，由可得令由 的连续性， 根据介值定理，在 中至少存在一点 ,使得 ,即又所以结论：能放稳连续函数的介值定理连续函数的介值定理oxyab思考题思考题1 1：长方形的椅子会有同样的性质吗？：长方形的椅子会有同样的性质吗？思考题思考题1 1：长方形的椅子会有同样的：长方形的椅子会有同样的 性质吗？性质吗？建立数学模型的方法和步骤建立数学模型的方法和步骤方法方法 机理分析法：以经典数学为工具，分析其内部的机理规律。

统计分析法：以随机数学为基础，经过对统计数据进行分 析，得到其内在的规律如：多元统计分析系统分析法：对复杂性问题或主观性问题的研究方法把 定性的思维和结论用定量的手段表示出来如：层次分析法建模步骤模型准备模型假设模型建立模型求解模型分析模型检验模型应用1）模型准备： 了解问题的实际背景实际背景，明确建模目目的的，掌握对象的各种信息各种信息如统计数据等，弄清实际对象的特征特征 有时需查资料或到有关单位了解情况等建模步骤建模步骤2）模型假设：根据实际对象的特征特征和建模目的目的，对问题进行必要地合理地简化必要地合理地简化不同的假设会得到不同的模型如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化3）模型建立： •分清变量类型，恰当使用数学工具；•抓住问题的本质，简化变量之间的关系；•要有严密的数学推理，模型本身要正确；•要有足够的精确度。

4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算等会用到传统的和近代的数学方法，计算机技 术（编程或软件包）特别地近似计算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数近似、有效数字等）6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶段性和部分性符合好7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善5）模型分析：结果分析、数据分析变量之间的依赖关系或稳定性态；数学预测；最优决策控制模型的分类模型的分类1）按变量的性质分：）按变量的性质分：离散模型确定性模型 线性模型单变量模型连续模型随机性模型 非线性模型 多变量模型2）按时间变化对模型的影响分）按时间变化对模型的影响分静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型3 3）按模型的应用领域（或所属学科）分）按模型的应用领域（或所属学科）分人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等4 4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等。

5 5）按建模目的分）按建模目的分描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等6 6）按对模型结构的了解程度分）按对模型结构的了解程度分白箱模型：白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括力学、热学、电学等灰箱模型灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题，包括生态、气象、经济、交通等黑箱模型：黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现象，如生命科学、社会科学等练习1 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点为什么？AB甲乙237支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支 球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束问共需进行多少场比赛？一般思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场3 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。

问他步行了多长时间？车站家5：30相遇早10钟5分钟5分钟6：005：55共走了25分钟4甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同甲乙两站有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约有10天到达乙站问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09 x=8:098:098:195一男孩和一女孩分别在离家 2 km 和 1 km 且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4 km/h和 2 km/h 的速度步行回家一小狗以6 km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中问小狗奔波了多少路程？6 如果男孩和女孩上学时小狗也忘返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？6 某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解dAB河思考题 思考题思考题1 长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题oxyABCD 思考题思考题1 长方形椅子稳定性问题长方形椅子稳定性问题表示A,B与地面距离之和表示C,D与地面距离之和则由三点着地，有ACABCD建模示例之二建模示例之二 四足动物的身长和体重问题四足动物的身长和体重问题问题：四足动物的躯干（不包括头尾）的长度和它的体重有什么关系？假设：四足动物的躯干为圆柱体，质量为 ，长度为 ,断面面积为 ，直径为 。

建模：重量实际中，根据动物进化，不同种类的动物其截面积与长度之比可视为常数，即所以，得出： 重量与长度的平方成正比即注意：这个公式要在实际中检验，基本符合实际，就可作为经验公式来应用，否则要重新建立和完善模型事实上，与实际吻合不好假设：四足动物躯干为一根支撑在四肢上的弹性梁为下垂度，即梁的最大弯曲度由弹性理论: 为相对下垂度，其值太大，四肢无法支撑；其值过小，四肢的材料和尺寸超过了支撑身体的需要，是一种浪费因此，从生物角度可以认为，经过长期进化，对于每一种动物， 已经达到其合适的数值，即是一个常数（不同种类的动物此值不尽相同），于是因为即而所以结论：此公式比较符合于实际，可在实际中推广使用 ， 可以由统计数据找出讨论与思考讨论题讨论题1 大小包装问题大小包装问题思考题思考题2 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩讨论题讨论题1 大小包装问题大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。

1）分析商品价格C与商品重量w的关系2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其 实际意义提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低思考题思考题2 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种各种艇虽大小不同，但形状相似T.A.McMahon比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系艇种 2000m成绩t(min)艇长l(m)艇宽 b(m)l/bW0 (kg) 与n之比1234平均单人7.16 7.257.28 7.17 7.217.930.29327.016.3双人6.87 6.926.95 6.77 6.889.760.35627.413.6四人6.33 6.426.48 6.13 6.3211.750.57421.018.1八人5.87 5.925.82 5.73 5.8418.280.61030.014.7各种艇的比赛成绩与规格建模示例之三建模示例之三 安全渡河问题安全渡河问题问题：三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。

随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中商人们怎样才能安全渡河呢？1）建模示例， 2）解决更广泛的问题， 理论上进行推广3）将安全渡河问题视为一个多步决策的过程（状态转移）1 1模型构成模型构成：设第 次渡河前此岸的商人数为 ，随从2 数为 ，称为状态如： 表示第三次渡河前，此岸有3名商人1名随从， 表示第五次渡河前，此岸有1名商人2名随从， 根据题意，要安全渡河， 状态是不允许的设允许状态集合为设第 次渡船上的商人数为 ，随从数为 定义决策为允许决策集合为 为奇数时，船由此岸到彼岸； 为偶数时，船由彼岸到此岸状态在决策下不断转移，规律如何？问题问题: : 求决策 使状态 按照以上规律由初始状态 经过有限步 到达状态 。

当然 越小越好2 2 模型求解模型求解1234567891011此路不通3 3 结论结论：共有四种最佳方案，经过11次方可安全过河 此作法可进行推广，有多名商人和随从时，利用计 算机编程来实现4 图解法图解法xyd1d2d3d4d5d6d7d8d9d10d11状态转移规则：1）第奇数次需向下或向左移动两格2)第偶数次需向上或向右移动一格或两格3）每次移动需落在可取状态上问题：问题：人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另 外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米问人、狗、鸡、米怎样过河，试设计一个安全渡河方案，并使渡河次数尽可能地少思考题思考题3 人狗鸡米过河问题人狗鸡米过河问题思考题思考题3 人狗鸡米过河问题人狗鸡米过河问题思考题解答思考题思考题3 3 人狗鸡米过河问题人狗鸡米过河问题状态转移问题1）允许状态集合S人、狗、鸡、米依次用四维向量表示它们的状态，在此岸用1表示，在彼岸用0表示 如（0，1，0,1)表示人、鸡在彼岸，狗、米在此岸人在此岸(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0)人在彼岸(0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1)2)允许决策集（划船方式）D用四维向量表示决策，如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡。

D={(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)}问题转化为：由初始状态 (1,1,1,1)出发，经奇数次上述运算转化为状态(0,0,0,0)的过程规定运算： 分量 1+1=0, 1+0=0+1=1, 0+0=0如 (1,1,1,1)+(1,0,1,0)=(0,1,0,1)其实际意义：人狗鸡米原均在此岸，人带鸡过河，此岸为新状态，即仅剩狗和米s(i+1)=s(i)+d(i)1,1,1,1(1,0,1,0)0,1,0,1(1,0,0,0)1,1,0,1(1,1,0,0)0,0,0,1(1,0,0,1)0,1,0,0(1,0,1,0)1,0,1,1(1,0,1,0)1,1,1,0(1,0,0,1)(1,1,0,0)0,0,1,0(1,0,0,0)1,0,1,0(1,0,1,0)0,0,0,0。