计算机控制系统电子教案单元设计 (4).doc

第4章 计算机控制系统的数学描述及脉冲传递函数本章将系统地讲述有关计算机控制系统的数学描述问题，并根据系统的数学描述对系统进行动态分析线性离散系统的数学描述形式和线性连续系统的数学描述形式是相对应的，通常有差分方程，脉冲传递函数（又称Z传递函数），单位脉冲响应序列（又称权序列），离散状态空间表达式等四种数学描述形式它们分别与连续系统的四种数学描述形式相对应离散状态空间表达式在第9章进行研究 系统分析和系统设计时所采用的方法有关，一般是，不同的方法采用不同形式的数学描述4.1离散系统 离散时间系统（简称离散系统），简单地说就是其输入和输出信号均为离散信号的物理系统在数学上，离散系统可以抽象为一种由系统的离散输入信号到系统的离散输出，（）的数学变换或映射若将这种变换或映射以符号表示，则离散系统可表示为 （4.1） 图4.1离散系统框图离散系统可用框图表示如图4.1所示其中和分别表示系统的输入和输出在时刻的数值1. 线性离散系统：如果离散系统的输入信号到输出信号的变换关系满足比例叠加原理，即当输入信号为时，其中为任意常数，系统相应的输出信号可表示为 则该系统就称为线性离散系统。

若不满足比例叠加原理，就是非线性离散系统2. 时不变离散系统：是指由输入信号到输出信号之间的变换关系不随时间变化而变化的离散系统，即时不变离散系统应满足如下关系，若，那么当系统输入信号为时，则相应的输出信号为 时不变离散系统又称为定常离散系统3.线性时不变离散系统：是指系统的输入信号到输出信号之间的变换关系既满足比例叠加原理，同时其变换关系又不随时间变化而变化的离散系统工程中大多数计算机控制系统可以近似为线性时不变离散系统来处理所以本书以后的论述仅限于线性时不变离散系统4.2差分方程 线性时不变离散系统的基本数学描述是常系数线性差分方程差分方程有前向差分方程与后向差分方程之分为了方便，这里提到差分方程，若无特别说明，均指线性常系数差分方程；系统是指线性时不变离散系统 图4.1离散系统框图 4.2.1线性常系数差分方程 （图4.1重绘与此）设有一单输入、单输出的线性时不变离散系统，如图4.1所示显然，在某一采样时刻的系统输出值不仅与该时刻的输入值有关，而且与过去时刻的输入值，有关，还和过去时刻的输出值有关这种关系可以描述为 （4.2）式中，均为实常数，为方程的阶次。

因此，式（4.2）称为阶后向非齐次差分方程对于阶差分方程，，其余系数都有可能为零若，就相当于方程的阶次降为阶若则相应离散系统有一拍（即一个采样周期T）的延迟，即系统在时刻输出只与以前各时刻的输入有关，而与当前时刻的输入值无关若，则相应离散系统存在拍延迟，即系统当前时刻的输出只与以前时刻的输入有关与方程（4.2）类似，非齐次阶前向差分方程基本形式为 （4.3）式中，均为实常数对于有因果关系的物理系统，方程中总是若，将式（4.3）的两边右移拍，即上式右边第一项为，令，即有项，说明当前的输出与未来输入有关，即不是因果关系表明方程描述的离散系统输出信号超前于输入信号，即输入信号尚未作用于系统，其对应的输出信号就已出现，或者说系统当前时刻的输出与未来时刻输入值有关这种情况在现实的物理系统是不可能出现的当，表明相应的系统存在延迟，若则相应离散系统的输出相对于输入有拍延迟 工程上差分方程都是采用其标准形式如方程（4.2）和（4.3）形式，至于前向差分方程和后向差分方程，并无本质区别，前向差分方程多用于描述非零初始值的离散系统，而后向差分多用于描述全零初始值的离散系统若不考虑系统初始值，就系统输入与输出关系而言两者完全等价，可以相互转换。

4.2.2差分方程求解 差分方程求解，就是在系统初始值（即系统输入、输出的初始值）和输入序列已知的条件下, 求解差分方程描述的系统在任何时刻的输出序列值差分方程解的形式与微分方程解相似，非齐次差分方程的解是由通解加特解组成的通解表示方程描述的离散系统在输入为零情况下（即无外界作用）由系统非零初始值所引起的自由运动，它反映系统本身所固有的动态特性；特解表示方程描述的离散系统在外界输入作用下所产生的强迫运动，它既与系统本身的动态特性有关，又与外界输入作用有关，但与系统初始值无关 求解线性时不变差分方程有三种基本方法，即经典解法、计算机迭代编程法以及Z变换法1. 差分方程的经典解法与（4.2）式相应的齐次方程为 （4.4）设满足齐次方程（4.4）的通解具有的形式，并将其代入（4.4）式，得因为，故得 （4.5）用乘（4.5）式的两边，得 （4.6）式（4.6）称为齐次方程（4.4）的特征方程若特征方程有两两相异的特征根，则 （4.7）式（4.7）称为齐次方程（4.4）的通解式中系数由初始值求出若特征方程有的重特征根，那么差分方程的通解为 （4.8）若为复数或虚数时，总是成对出现，每对复数特征值所对应的自由运动分量呈现衰减振荡或发散振荡，每对虚特征值所对应的自由运动分量呈现等幅振荡。

当差分方程包含输入作用时，称该方程为非齐次方程非齐次方程的特解与微分方程的特解类似，特解的形式要经过试探才能确定表4.1列出了非齐次差分方程常见的特解形式表4.1 非齐次差分方程常见的特解形式输入量输出量不是差分方程的任何特征根是差分方程的特征根之一相异根次重根 例4.1 求解差分方程 （4.9）的解 解 该差分方程的特征方程为所以，特征根为因此差分方程的通解为设差分方程的特解为代入（4.9）式，得 （4.10）比较（4.10）式两边系数，得 则，差分方程的特解为 因此，差分方程的全解为利用初始值代入上式， 则 将C值代入上式，可得差分方程的全解为 2．利用计算机编程解差分方程 高阶差分方程不论前向或后向差分方程，都是一种递推算法，任何差分方程都可以用递推算法求解现对一般阶前向差分方程递推求解予以说明，为便于计算，将阶前向差分方程（4.3）改写为 （4.11）只要知道输出序列初始值和任何时刻的输入序列，那么系统任何时刻的输出序列，，都可以由式（4.11）逐步递推计算出来 例4.2 求下列差分方程的解。

式中 且 解 ① 令一步一步迭代解差分方程② 利用MATLAB语言编程 ；MATLAB语言数组编号由1开始，这里表示实际， ；为要计算的拍数，根据需要设置 ；输入 ；用迭代式计算的值以上程序计算出的值，（） 差分方程的迭代算法，虽然计算简明，不需要更多的数学知识，但它只能计算出有限个序列值，在一般情况下，得不到方程解的解析表达式，即系统输出序列的一般项表达式 3．Z变换法 用Z变换方法解差分方程同用拉氏变换求解微分方程类似，其步骤如下： ①利用Z变换线性性质和位移定理对差分方程两边分别进行Z变换，将差分方程变为以Z为变量的代数方程； ②代入系统初始值，通过同类项合并、整理，得到输出Z变换的表达式； ③对已知的输入序列进行Z变换，并将其Z变换代入的表达式中，使成为确定的Z的函数； ④对进行Z反变换，求得相应的输出序列的表达式 例 4.3 试用Z变换方法求解例4.2差分方程 （4.12）差分方程输入 ，且 解 利用Z变换的实平移定理对式（4.12）两边求Z变换，得即 因为输入 所以 因而 用反演积分法求的反变换，上式含有二重极点，所以 与例4.2所求结果是一样的。

上例中，没有给出初始值，因而对后向差分方程作Z变换如果给出输出的初始值，则应对前向差分方程求Z变换 例4.4 试用Z变换方法求解例4.2差分方程，本例给出初始值 （4.13）差分方程输入 ，且 解 因为本例中只给出了一个初始值，因此将（4.13）式前移一步，写成前向差分方程的形式，即 （4.14）对（4.14）式两边作Z变换，得代入初始值，，整理得 （4.15）上式右边第一项为差分方程的特解Z变换，表示系统在外界输入作用下的强迫运动；右边第二项为差分方程的通解Z变换，表示系统由初始值引起的自由运动显然，上式右边两项的分母多项式就是差分方程（4.14）的特征多项式 由例4.3可知，，代入式（4.15），得 （4.16）用反演积分法求上式的Z反变换上式右边表达式含有二重极点，因此 （4.17）由差分方程的解（4.17）表达式可以求出，即为本例给出的初始值 4.3 脉冲传递函数（Z传递函数）我们仿效连续系统理论的思路，利用Z变换引出离散系统脉冲传递函数的概念脉冲传递函数可以简称为Z传递函数，为后面进一步研究离散系统复域分析与设计方法奠定基础。

4.3.1脉冲传递函数定义 在连续系统理论中，传递函数定义为：连续系统在初始静止状态下，即系统初始值为零，系统输出信号的拉氏变换与对应的输入信号拉氏变换之比，即 （4.18）与此类似，线性离散控制系统中，在初始值为零的条件下，一个系统（或环节）输出序列Z变换与输入序列Z变换之比，定义为该系统（或环节）的脉冲传递函数 （4.19） 由脉冲传递函数的定义式（4.19）可知，离散系统输出信号的Z变换可以表示为系统的脉冲传递函数与输入信号Z变换的乘积，即图4.2 离散系统方框图 （4.20）离散系统也可以采用方框图直观表示形式，如图4.2所示脉冲传递函数是离散系统动态特性的一种数学描述形式，它只与系统本身特性有关，而与外部输入形式无关此外， 脉冲传递函数和连续系统传递函数一样，仅适用于线性、时不变系统，而不适用于非线性和时变系统 离散系统的脉冲传递函数可以由描述离散系统的差分方程通过Z变换求出或离散系统的单位脉冲响应序列通过Z变换求出4.3.2 脉冲传递函数的求取脉冲传递函数是离散系统在Z域的描述形式，差分方程则是离散系统特性在时间域的描述形式，若不考虑系统初始值的作用，两者是相互对应的，可以互相转换。

若给定系统的差分方程，只要令系统初始值为零，对差分方程等号两边分别作Z变换，通过整理，便可获得相应的脉冲传递函数1、由离散系统差分方程求脉冲传递函数 设离散系统的差分方程为 （4.21）令系统初始值均为零，即，利用前向实平移定理，对上式两边作。