平面向量知识点总结5.docx

精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结一、向量的基本概念学习必备 欢迎下载平面对量学问点小结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，留意向量和数量的区分 . 向量常用有向线段来表示 .留意：不能说向量就是有向线段，为什么？ 提示：向量可以平移 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结举例 1 已知A 〔1,2〕 ， B〔4,2〕，就把向量 AB 按向量 a〔 1,3〕 平移后得到的向量是 . 结果： 〔3,0〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2. 零向量 ：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，规定：零向量的方向是任意的3. 单位向量 ：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与 AB 共线的单位向量是4. 相等向量 ：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。

AB ） AB |可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结5. 平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 a 、 b 叫做平行向量，记作： a ∥ b ，规定： 零向量和任何向量平行 .注：①相等向量肯定是共线向量，但共线向量不肯定相等②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合③平行向量无传递性！ （由于有 0 〕 ④三点 A、B、C 共线 AB、AC 共线 .6. 相反向量 ：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a 的相反向量记作 a .举例 2 如以下命题：（ 1）如 | a | | b | ，就 a b .（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 .（ 3）如 AB DC ，就 ABCD 是平行四边形 .（ 4）如 ABCD 是平行四边形，就 AB DC .（ 5）如 a b ， b c ，就 a c .（ 6）如 a / /b ， b / /c 就 a / / c . 其中正确选项 . 结果：（4）（ 5）二、向量的表示方法1. 几何表示 ：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，留意起点在前，终点在后。

2. 符号表示 ：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等3. 坐标表示 ：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底，就平面内的可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结任一向量 a 可表示为a xi yj〔 x, y〕，称 〔x, y〕 为向量 a 的坐标， a〔x, y〕 叫做向量 a 的坐标表示 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结结论：假如向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同 .三、平面对量的基本定理可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结定理 设e1, e2 同一平面内的一组基底向量， a 是该平面内任一向量， 就存在唯独实数对〔 1 ,2 〕 ，使a e11 22e .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（1）定理核心：a λ1 e1λ2e2 2）从左向右看，是对向量 a 的分解，且表达式唯独反之，是对向量 a 的合成 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）向量的正交分解：当e1 ,e2 时，就说a λ1e1λ2 e2 为对向量 a 的正交分解．可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结举例 3 （ 1）如 a〔1,1〕 ， b〔1, 1〕 ， c〔 1,2〕 ， 就 c . 结果： 1 a3 b .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2 2（ 2）以下向量组中，能作为平面内全部向量基底的是 B可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结A. e1〔0,0〕， e2〔1, 2〕 B.e1 〔 1,2〕， e2〔5,7〕C. e1〔3,5〕 ， e2〔6,10〕D. e1〔2, 3〕 ， e21 , 3可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）已知 AD , BE 分别是△ ABC 的边 BC ， AC 上的中线 , 且 AD a ， BE b , 就 BC 可用向量2 4a, b 表示为 . 结果： 2 a 4 b .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）已知 △ ABC中，点 D 在 BC 边上，且 CD3 32DB ， CD rAB sAC ，就 r s 的值是 . 结果： 0.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结四、实数与向量的积实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和方向规定如下：（ 1）模： | a | | | | a |。

2）方向：当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同， 当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反， 当 0 时， a 0 ，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结留意：a 0 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结五、平面对量的数量积1. 两个向量的夹角 ：对于非零向量 a ， b ，作 OA a ，OB b ，就把AOB〔0 〕 称为向量 a ， b 的夹角 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结当 0 时， a ， b 同向当 时， a ， b 反向当 时， a ， b 垂直 .22. 平面对量的数量积 ：假如两个非零向量 a ， b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos叫做 a 与 b 的数量积可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（或内积或点积） ，记作： a b ，即 a b | a | | b | cos .规定：零向量与任一向量的数量积是 0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量 .举例 4 （ 1） △ABC 中， | AB | 3 ， | AC | 4 ， | BC | 5 ，就 AB BC . 结果： 9 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）已知 a1,1 ， b20, 12， c a kb ， d a b ， c 与 d 的夹角为，就 k . 结果： 1.4可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）已知 | a | 2 ， | b | 5 ， a b 3 ，就 | a b | . 结果： 23 .（ 4）已知 a,b 是两个非零向量，且 | a | | b | | a b | ， 就 a 与 a b 的夹角为 . 结果： 30 .3. 向量 b 在向量 a 上的投影： | b | cos ，它是一个实数，但不肯定大于 0.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结举例 5 已知 | a | 3 ， | b | 5 ，且 a b学习必备 欢迎下载12 ，就向量 a 在向量 b 上的投影为 . 结果： 12 .5可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结4. a b 的几何意义 ：数量积 a b 等于 a 的模 | a | 与 b 在 a 上的投影的积 .5. 向量数量积的性质 ：设两个非零向量 a ， b ，其夹角为 ，就：（ 1） a b a b 0 。

可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）当 a 、 b 同向时， a b| a | | b | ，特殊的， a2a a | a |2| a |a2 可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结a b | a | | b | 是 a 、 b 同向的 充要分条件 可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结当 a 、 b 反向时， a b| a | | b| ， a b| a | | b| 是 a 、 b 反向的 充要分条件 可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结当 为锐角时， a b当 为钝角时， a b0 ，且 a 、 b 不同向， a b 0 ，且 a 、 b 不反向 a b0 是 为锐角的 必要不充分条件 0 是 为钝角的 必要不充分条件 .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）非零向量 a ， b 夹角 的运算公式： cosa b④ a b| a || b || a || b | .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结举例 6 （ 1）已知 a 〔 ,2 〕 ， b 〔3 ,2〕 ，假如 a 与 b 的夹角为锐角，就 的取值范畴是 . 结果： 4 或 0 且 1 。

3 3（ 2）已知 △OFQ 的面积为 S ，且 OF FQ 1 ，如 1 S 3 ，就 OF ， FQ 夹角 的取值范畴是 . 结果： , 可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2 2（ 3）已知 a 〔cos x ,sin x〕 ， b 〔cos y ,sin y〕 ，且满意 | ka b | 3 | a kb | （其中 k0 ）.4 3k 2 1 1可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结①用 k 表示 a b ②求 a b 的最小。