1987年考研数学试题详解及评分参考(数一,数二,数三通用).pdf

郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题详解及评分参考 1987 年 • 第 1 页 1987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题详解及评分参考数学试题详解及评分参考 数数 学（试卷Ⅰ）学（试卷Ⅰ） 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 3 分，满分分，满分 15 分分. 只写答案不写解题过程）只写答案不写解题过程） (1) 与两直线 1 1 2x yt zt= = −+ =+及121 121xyz++−==都平行，且过原点的平面方程是 . 【答】 应填 0.xyz− +−= 【解】 因平面与所给两直线都平行，从而其法线与两直线的方向向量都垂直，取法向量011.121ijknijk== − +−由平面过原点知，所求平面方程为 0.xyz− +−= (2) 当x = ；时，函数2xyx=取得极小值. 【答】 应填 1.ln2− 【解】 由()22 ln221ln20xxxyxx′ =+⋅=+=，得1.ln2x = − 又()2 ln2 1ln22 ln2xxyx′′ =++，故1 ln21()2ln20ln2y−′′ −=>. 可见，当1 ln2x = −时，函数2xyx=取得极小值. (3) 由lnyx=与两直线(1)yex=+−及0y =围成图形的面积= . 【答】 应填 3.2【解】 所求面积为()113ln1.2eeeSxdxex dx+=++ −=∫∫(4) 设L为取正向的圆周922=+ yx，则曲线积分2(22 )(4 ) Lxyy dxxx dy−+−∫ ?的值是 . 【答】 应填 18 .π− 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题详解及评分参考 1987 年 • 第 2 页 【解法一】 L的参数方程为3cos ,3sin ,02 ,xt yttπ==≤ ≤则有 2(22 )(4 ) Lxyy dxxx dy−+−∫ ?() ()()22018sincos6sin3sin9cos12cos3cos18 .ttttttt dtππ=⋅−⋅ −+−⋅= −∫【解法二】记22:9.D xy+≤ 由格林公式得 2 2(4 )(22 )(22 )(4 )[]( 2)18 . L DDxxxyyxyy dxxx dydxdydxdyxyπ∂−∂−−+−=−=−= −∂∂∫∫∫∫∫?(5) 已知三维线性空间的一组基底 123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)===αααααα，则向量 ()2,0,0=β β在上述基底下的坐标是 . 【答】 应填 ()1,1, 1.T− 【解】 求向量β β在基底123,,α α αα α α下的坐标，相当于解方程组112233.xxx++=αααβαααβ 令112233,xxx++=αααβαααβ即1213232,0,0,xxxxxx+= += +=解此方程组得1231,2,1.xxx=== − 故向量(2,0,0)T=β β在基底123,,α α αα α α下的坐标是(1,1, 1) .T− 二、 （本题满分二、 （本题满分 8 分）分） 求正的常数a与b，使式1sin1lim 0220= +−∫→dt tat xbxxx成立. 解：解：假若1b ≠，则根据洛必达法则有 222200011limlim()01sincosxxxtxdtbxxbxatax→→=⋅=≠−−++∫， 与题设矛盾， 于是1b =. 此时22221222000021112limlim()lim()sin1 cosxxxxtxxdtbxxxxaataxax→→→=⋅=⋅=−−+++∫， 即21a=，因此4a =. 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） (1) 设函数, f g连续可微，( ,),()uf x xy vg xxy==+，求 ,.uv xx∂∂ ∂∂解：解：1212()uxxyfffy fxxx∂∂∂′′′′=⋅+⋅=+⋅∂∂∂；()(1)vxxygygxx∂∂+′′=⋅=+⋅∂∂. 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题详解及评分参考 1987 年 • 第 3 页 (2) 设矩阵A和B满足2ABAB=+，其中A=301 110 014   ，求矩阵B. 解：解：因2ABAB=+，故2ABBA−=，即(2 )AE BA−=， 故1(2 )BAEA−=−=522432223−− −−−. 四、 （本题满分四、 （本题满分 8 分）分） 求微分方程26(9)1yyay′′′′′′+++=的通解.其中常数0a >. 解：解：由特征方程3222(9)0rrar+++=，知其特征根根为12,30,3rrai== − ±. 故对应齐次方程的通解为33 123cossinxxyCC exC ex−−=++?，其中123,,C C C为任意常数. 设原方程的特解为*( )yxAx=，代入原方程可得A=21 9a+. 因此，原方程的通解为*33 123( )cossinxxy xyyCC exC ex−−=+=+++? 21 9a+x. 五、选择题： （每小题五、选择题： （每小题 3 分，满分分，满分 12 分）分） (1) 设常数0k >，则级数2 1) 1(nnknn+−∑∞=(A) 发散 (B) 绝对收敛 (C) 条件收敛 (D) 收敛与发散与k的值有关. 【答】 应选 (C) . 【解】 因2{}kn n+单调减少， 且2lim0, nkn n→∞+= 根据莱布尼兹判别法， 知2 1) 1(nnknn+−∑∞=收敛； 再考虑级数22 11( 1),nnnknkn nn∞∞==++−=∑∑因2211knknnn+=+， 而2 11nn∞=∑收敛，11nn∞=∑发散，所以2 1( 1)nnkn n∞=+−∑发散，因此， 2 1) 1(nnknn+−∑∞=条件收敛. 故选 (C) . (2) 设)(xf为已知连续函数， 0( )s tItf tx dx=∫，0,0st>>，则I的值 (A) 依赖于s和t (B) 依赖于s、t、x (C) 依赖于t和x, 不依赖于s (D) 依赖于s, 不依赖于t 【答】 应选 (D) . 【解】 因 0001( )( )( ),ssstItf tx dxtxutf uduf u dut===∫∫∫可见积分仅依赖于s, 不郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题详解及评分参考 1987 年 • 第 4 页 依赖于t，故选 (D) . (3) 设2( )( )lim1()xaf xf a xa→−= −−，则在点xa=处 (A) ( )f x导数存在,0)(≠′ af (B) ( )f x取得极大值 (C) ( )f x取得极小值 (D) ( )f x的导数不存在. 【答】 应选 (B) . 【解】 由2( )( )( )( )( )limlim()0()xaxaf xf af xf afaxaxaxa→→−−′==⋅−=−−，可排除(A)和(D)；又根据极限的保号性，知存在xa=的某空心邻域，在此邻域内有2( )( )0,()f xf a xa−=− =−000)(yyeyfyY， 求随机变量 Z=2X+Y 的概率密度函数( )zf z. 解：解：由题设，(, )X Y的联合密度为01,0( , )( )( )0yXYexyf x yfx fy−≤≤>== 其 它， 故Z的分布函数2( )()(2)( , )z x y zF zP ZzPXYzf x y dxdy+ ≤=≤=+≤=∫∫， ○1 当0z 时，121220001( )(1)1(1)2zxyx zz zF zdxe dyedxee−−−−−==−= −−∫∫∫，此时 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题详解及评分参考 1987 年 • 第 8 页 21( )( )(1)2z zzfzF zee−′==− 综上所述，Z=2X+Y 的概率密度函数为( )zf z =1 2 21 200 (1)02(1)2zzz ezeez−−−数数 学（试卷Ⅱ）学（试卷Ⅱ） 一、 （本题满分一、 （本题满分 15 分）分） 【 同数学Ⅰ、第一题 】 二、 （本题满分二、 （本题满分 14 分）分） (1)（（6 分）分）计算定积分2| |2(||).xxx edx−−+∫解：解： 因| | xxe−是奇函数，| |||xx e−是偶函数， 故 原式=22| |2002||226.xxx edxxe dxe−−==−∫∫(2)（（8 分）分） 【 同数学Ⅰ、第二题 】 三、 （本题满分三、 （本题满分 7 分）分） 设函数( , , ),yzf u x y uxe==，其中f有二阶连续偏导数，求 2 .z x y∂ ∂ ∂解：解：121yzufff efxx∂∂′′′′=⋅+=⋅+∂∂，2111312123()yyyyzfxefeeffxefx y∂′′′′′′′′′=⋅++⋅+⋅+∂ ∂. 四、 （本题满分四、 （本题满分 8 分）分） 【 同数学Ⅰ、第四题 】 五、 （本题满分五、 （本题满分 12 分）分） 【 同数学Ⅰ、第五题 】 六、 （本题满分六、 （本题满分 10 分）分） 【 同数学Ⅰ、第六题 】 七、 （本题满分七、 （本题满分 10 分）分） 【 同数学Ⅰ、第七题 】 八、 （本题满分八、 （本题满分 10 分）分） 【 同数学Ⅰ、第八题 】 九、 （本题满分九、 （本题满分 8 分）分） 【 同数学Ⅰ、第九题 】 十、 （本题满分十、 （本题满分 6 分）分） 设12,λ λ为 n 阶方阵A的特征值，12λλ≠，而21, xx分别为对应的特征向量，试证明：21xx +不是A的特征向量. 证：证： 假若21xx +是A的特征向量， 设其对应的特征值为3λ， 则有12312()()A xxxxλ+=+， 郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题详解及评分参考 1987 年 • 第 9 页 即123 132AxAxxxλλ+=+. 又由题设条件知11 1Axxλ=，222Axxλ=，故有 131232()()0xxλλλλ−+−=.因21, xx是属于不同特征值的特征向量， 所以21, xx线性无关， 从而13λλ=，且13λλ=，此与12λλ≠矛盾！因此21xx +不是A的特征向量. 数 学（试卷Ⅲ） 数 学（试卷Ⅲ） 一、填空题（每小题一、填空题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） (1) 设)1ln(axy+=, 其中a为非零常数，则y′= ，y′′= . 【答】 应填 1a ax+；22(1)a ax−+. 【解】 222(1)( ) (1)(1)=,.1+1(1)(1)axaaaxaaxayyaxaxaxax′′′++−+−′′′===+++(2) 曲线yarctgx=在横坐标为 1 点处的切线方程是 ，法线方程是 . 【答】 应填 12 24yxπ−=+；(8)2.4yxπ+= −+ 【解】 因2111,,12xyyx=′′==+故过点(1,)4π的切线方程为1(1),42yxπ−=− 法线方程为2(1).4yxπ−= −− (3) 积分中值定理的条件是 ，结论是 . 【答】 应填 ( )f x在闭区间[], a b上连续；[],,a bξ∃ ∈使得( )( )()baf x dxfbaξ=−∫. 【解】 积分中值定理的条件是：( )f x在闭区间。