一元微积分下(a)复习 2.pdf

Ch4 Ch4 Ch4 Ch4 复习概要复习概要一、换元法一、换元法第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）( )( )( )( )( )fxx dxf u duF uCFxCϕϕϕ′==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫∫1 1 1 1、先找复合函数，再确定中间变量；、先找复合函数，再确定中间变量；2 2 2 2、利用三角公式等恒等变形，再换元；、利用三角公式等恒等变形，再换元；3 3 3 3、熟悉常用的求导结果，先确定中间变量的导、熟悉常用的求导结果，先确定中间变量的导数，再找复合函数数，再找复合函数第二类换元法第二类换元法常见的四类常见的四类利用三角函数代入利用三角函数代入简单无理函数：直接代换简单无理函数：直接代换))22222221,sin ,cos2,tan ,sec3,sec ,sec tanaxxat dxatdtaxxat dxatdtxaxat dxattdt−==+==−==( )xtϕ=( )txψ=( )( )( )( )f x dxftt dtFxCϕϕψ′==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫∫倒代换：利用倒数代换倒代换：利用倒数代换万能公式代换：利用万能公式代换万能公式代换：利用万能公式代换二、分部积分法二、分部积分法udvuvvdu=−∫∫常见的几种形式：常见的几种形式：sin,cosnnxxdxxxdx∫∫1 1 1 1、幂函数与三角函数：、幂函数与三角函数：基本原则：反对幂指三基本原则：反对幂指三nxx e dx∫2 2 2 2、幂函数与指数函数：、幂函数与指数函数：lnnxxdx∫3 3 3 3、幂函数与对数函数：、幂函数与对数函数：arctan,arcsinnnxxdxxxdx∫∫4 4 4 4、幂函数与反三角函数：、幂函数与反三角函数：5 5 5 5、指数函数三角函数：、指数函数三角函数：sinxexdx∫例例1 1 1 11 1 1 1））1 12dxx−∫3 3 3 3））1 23dxx−∫2 2 2 2））2cos sinxdxx∫4 4 4 4））222 23xdxxx− −+∫例例1 1 1 16 6 6 6））2arcsin1xdxx−∫5 5 5 5））xedxx∫7 7 7 7））1 1xdxe+∫arctanarctanarctanarctan8)8)8)8)(1)(1)(1)(1)x x x xdxdxdxdxxxxxxxxx+ + + +∫ ∫ ∫ ∫例例2 2 2 21 1 1 1））21xdxx−∫2 2 2 2））211dx xx+∫3 3 3 3））211dx x x−∫4 4 4 4））1dxxx+∫5 5 5 5））31dxxx−∫6 6 6 6））1 1dxxx+∫例例3 3 3 31 1 1 1））sin2xxedx∫3 3 3 3））2tanxxdx∫2 2 2 2））sin2xxdx∫例例3 3 3 34 4 4 4））3arctanxdx x∫5 5 5 5））()2arcsinx dx∫6 6 6 6）） 的一个原函数为的一个原函数为 ，求，求( )f xcosx x( )xfx dx′∫7 7 7 7））3secxdx∫Ch5 Ch5 Ch5 Ch5 复习概要复习概要一、定积分的计算一、定积分的计算2 2 2 2、换元法、换元法、分部积分法、分部积分法1 1 1 1、积分上限函数、积分上限函数( )( )xaxf t dtΦ∫≜( )( ) ()xf xaxb′Φ=≤≤注意：注意：1)1)1)1)偶倍奇零的使用；偶倍奇零的使用；2)2)2)2)第二类换元时，换上下限代替反函数代回；第二类换元时，换上下限代替反函数代回；3)3)3)3)在开根式和有绝对值时，注意被积函数的符号。

在开根式和有绝对值时，注意被积函数的符号3 3 3 3、广义积分的计算、广义积分的计算无穷限的广义积分：无穷限的广义积分：( )()( )af x dxFF a+∞=+∞ −∫( )( )()bf x dxF bF −∞=−−∞∫( )()()f x dxFF+∞−∞=+∞ −−∞∫3 3 3 3、广义积分的计算、广义积分的计算无界函数的广义积分：无界函数的广义积分：xxfbad)(∫)()(aFbF−=−xxfbad)(∫)()(+−=aFbFxxfbad)(∫)()(+−−=aFbF若若 b b b b 为瑕点为瑕点, , 则则若若 a a a a 为瑕点为瑕点, , 则则若若 a ,a ,a ,a , b b b b 都为瑕点都为瑕点, , 则则若瑕点若瑕点, ),(bac∈则则=∫xxfbad)()()(+−cFbF)()(aFcF−+−1 1 1 1、平面面积的计算、平面面积的计算二、定积分的几何应用二、定积分的几何应用直角坐标下：直角坐标下：两条曲线两条曲线 与与( )( ),,yf xyg xxa xb====则：则： ( )( )baAf xg x dx=−∫1 1 1 1、平面面积的计算、平面面积的计算二、定积分的几何应用二、定积分的几何应用计算由计算由 及及 围成围成围成围成( ),rr xθα θβ===极坐标情形极坐标情形( )21 2Ardβαθθ=⎡⎤⎣⎦∫2 2 2 2、旋转体的体积、旋转体的体积二、定积分的几何应用二、定积分的几何应用)( )1,yf xxa xbx===直线直线 及及 轴所围曲边绕轴所围曲边绕 轴轴x旋转一周的体积旋转一周的体积 ( )2baVf xdxπ=⎡⎤⎣⎦∫)( )2,xyyc ydyϕ===直线直线 及及 轴所围曲边绕轴所围曲边绕 轴轴y旋转一周的体积旋转一周的体积 ( )2dcVydyπ ϕ=⎡⎤⎣⎦∫二、定积分的几何应用二、定积分的几何应用3 3 3 3、曲线弧长的计算、曲线弧长的计算直角坐标下直角坐标下计算长度计算长度( )[],yf x xa b=∈S（（ 在在 上有连续的一阶导数）上有连续的一阶导数）( )(),f xa b( )2211bbaaSy dxfxdx′′=+=+⎡⎤⎣⎦∫∫二、定积分的几何应用二、定积分的几何应用3 3 3 3、曲线弧长的计算、曲线弧长的计算参数方程参数方程( ) ( )xttytϕαβψ=⎧⎪≤ ≤⎨=⎪⎩( )( )22Stt dtβαϕψ′′=+∫二、定积分的几何应用二、定积分的几何应用3 3 3 3、曲线弧长的计算、曲线弧长的计算极坐标方程极坐标方程( )()rr θαθβ=≤≤( )( )22Srrdβαθθθ′=+∫三、定积分的物理应用三、定积分的物理应用1 1 1 1、变力沿直线做功、变力沿直线做功2 2 2 2、水压力、水压力3 3 3 3、引力、引力例例1 1 1 11 1 1 1））()cos2sincos()xxtdtπ′∫2 2 2 2））3241xxdtt′⎛⎞ ⎜⎟+⎝⎠∫例例2 2 2 21 1 1 1））101 32dxx+∫2 2 2 2））41xedxx∫3 3 3 3））0sin2xxdxπ∫4 4 4 4））10xxe dx−∫例例3 3. .,0)(,],[)(, )(≠xgbaxgxf且上连续在设试证试证, ),(ba∈ξ使使∫baxxfd)(∫baxxgd)()()( ξξ gf=分析分析: : 即证即证0d)()(d)()(=−∫∫babaxxgfxxfgξξ∫xaxxgd)(⎢⎣⎡′ ⎥⎦⎤ ξ=x故作辅助函数故作辅助函数 ∫∫∫∫−=baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(至少存在一点至少存在一点∫xaxxfd)(⎢⎣⎡′ ⎥⎦⎤ ξ=x即即∫xaxxgd)(∫baxxfd)(∫−xaxxfd)(∫baxxgd)(⎢⎣⎡′⎥⎦⎤ξ=x0=)(xf+例例4 4. . 设设, ],[)(baCxf∈证证: : 设设且且试证试证 : :,0)(>xf2)()(dd)(abxfxxxfbaba−≥∫∫ttfxFxad)()(∫=∫xatft )(d则则=′)(xF)(1 xf+)(2ax−−∫⎢⎣⎡=xa)(tf)(tftd2⎥⎦⎤−ttfxftfxfxad)()()]()([2 ∫−=0)(,>>xfax0≥故故F F( (x x) )单调不减单调不减 , ,,0)()(=≥∴aFbF即即①① 成立成立. .①①)(xf)(xf∫xattfd)(∫xatft )(d2)(ax−−例例5 5 5 51 1 1 1））204dx x+∞+∫2 2 2 2））02arctan 1xdx x−∞+∫3 3 3 3）） 常数常数() 00pttedt p+∞−>∫4 4 4 4））222dx xx+∞−∞++∫例例6 6. . 讨论反常积分讨论反常积分∫−112dxx的收敛性的收敛性 . . 例例7 7 7 7 所围成的面积所围成的面积,,0xye yex===例例8 8 8 8 所围成的面积所围成的面积223,yxyx=+=例例9 9 9 9曲线曲线 从从 与极轴所围成的面积与极轴所围成的面积()0 ,02raaθθπ=>→例例101010101 1 1 1）） 与与 公共部分的面积公共部分的。