充分性判断题解题技巧.docx

充分性判断题解题技巧【充分条件基本概念】1定义 对两个命题A和B而言，若由命题A成立，肯定可以推出命题B也成立(即A二B为真命题)，则称命题A是命题B成立的充分条件2. 条件与结论 两个数学命题中，通常会有“条件”与“结论”之分，若由“条件 命题”的成立，肯定可以推出“结论命题”也成立，则称“条件”充分.若由“条件命题” 不一定能推出(或不能推出)“结论命题”成立,则称“条件”不充分.例如:不等式x2 - 5x - 6 < 0能成立.⑴ 1 < x < 3 (2) x > 7⑶ x 二 5 (4) x < 6(4) - 1 < x < 6此例中，题干“ x 2 - 5 x - 6 < 0能成立”，这个命题是“结论”，下面分别给出了 5个命 题都是不同的“条件”. 现在我们可以把它们按充分与否分为两类:条件(1)、(3)、(5)充分. 条件(2) 、(4) 不充分.3. 知识点评述 1. 充分条件的判断:从给定的条件出发去分析， 在此条件下， 结论是 否一定成立， 若是， 则条件充分， 若否， 则条件不充分. 我们在做充分性判断的试题时， 不可从“结论”入手去求解!那样只能得出“条件”对“结论”的“必要性”， 而与充分性判断相背离. 如:在此例中， 由结论命题: x2 -5x-6< 0 能成立， 可解得-1< x< 6. 这只证明条件(5)是必要的. 事实上， 条件(5)是结论 x2 -5x-6< 0能成立的充分必要条件， 才“歪打正着”被 你找到了一个充分条件.【充分条件基本概念】本书中，所有充分性判断题的A、B、C、D、E五个选项所规定的含义,均以下列呈述为准,即:(A) 条件(1) 充分， 但条件(2) 不充分;(B) 条件(2)充分,但条件(1)不充分；(C) 条件(1)和(2)充分单独都不充分,但条件(1)和(2)联合起来充分；(D) 条件⑴充分,条件⑵也充分；(E) 条件⑴和⑵单独都不充分，条件⑴和⑵联合起来也不充分.上述5个选项，把条件(1)和(2)以及两条件联立起来(同时都满足即］(2)的充分性的所 有情况都包括了, 但其中“联合”不是数学名词, 没有准确的定义, 改为“联立”与原题意比 较贴切.比如:不等式x(6x + 5) < 4成立.)(1) x > —1分析 由题干x(6 x + 5) < 441解上述不等式，得 -3 a的解集为R.(1) a > 3 ⑵ 2 < a < 3.解由条件(1) a > 3，取a二4，原式即|1 -x| +11 + X > 4,此不等式化为:x n 1,戈]—1 < x < 1,或]x < -1,2 x > 4, [2 x > 4, [ — 2 x > 4,所以 x > 2或x e 0 或x < —2.所以不等式的解为x < —2或x > 2,所解集为R矛盾. 所以条件(1) 不充分.由条件(2), 2 < a < 3，取 a = 2,不等式化为 I1 — x| +11 + x| > 2 ,I x n 1, I — 1 < x < 1, I x < —1,此不等式化为:12 x > 2,或 [ 2 x > 2, 或 1 — 2 x > 2,所以x > 1或x e 0或x < -1.所以不等式的解为x < -1或x > 1与解集为R矛盾. 所以条件(2)也不充分.\a > 3,条件(1)和(2)联合，得仁12 < a < 3,所以a e0，显然条件(1)和(2)联合起来也不充分.故应选择 E.例2 三个球中,最大球的体积是另外两个球体积之和的3 倍.(1) 三个球的半径之比为1:2:3;(2) 大球半径是另两球半径之和.解由条件(1)设三球半径分别为r ,2r ,3r. 所以大球体积两小球体积和4V = 兀(3r )3 = 36兀 r 3. 大34 4 36V + V =—兀 r 3 + 兀(2r )3 = 兀 r 3.1 2 3 3 3显然气二 3(V1+ V2).所以条件(1)充分.由条件(2)设两小球的半径分别为r=1, 丫2=3,大球半径r = 4.所以V + V12112兀.344=—兀• 13 + 兀・333 3显然V丰3(V + V ).大 1 2所以条件(2)不充分. 故应选择 A.注意 条件(1)的充分性,是用解法一判断的,只有当条件不充分时,才可用解法三,如对条 件(2)不充分的判断.解法四 一般分析法(寻找题干结论的充分必要条件.)即:要判断A是否是B的充分条件,可找出B的充要条件C,再判断A是否是C的充分条 件.例1的展开式中的常数项为60.(1)a=1(2)a=2(ax +——I x 2丿展开式的常数项为T ，因为r+1r+16 k X2 丿所以6 — 3r = 0, r =因为C2a2 = 60,6所以15a2 = 60, a =2.rCrX6-r )=CrarX6-3r .6±2.所以题干中结论的充要条件是a = ±2.所以条件(1)a =1不充分;条件(2)a = 2充分. 故应选择 B.此题用解法一需要将a = 1和a = 2代入,推算两次，而用此种方法只推算一次得出 a = ±2 即可.例2要使关于x的一元方程x4 -2x2 + k = 0有四个相异的实根。

1) 0 < k < 2 ； (2) 1 < k V 2解 方程x4 — 2x2 + k = 0有四个相异的实根，设t = x2,tn0，则方程12 — 2t + k = 0应有两个不等正实根t > 0,t > 0，所以12[A> 0, t +1 = 2 > 0, < 1 2 Itt >0,12「4 — 4k > 0, 即 〈Ik > 0,所以 \k<0 0 0,所以题干中结论的充要条件是0 < k < 1, 所以条件(1)充分，条件(2)不充分故应选择 A.. 一道条件充分性判断试题有时可以用多种方法求解,如上面的例2 也可求解如下: 又解 设t = X2,t > 0，所以原方程化为：t2 — 2t + k = 0.原方程有四个相异实根,即(*)有两个不等正实根.因为 A=4—4k =4(1—k).由条件⑴k < 1，所以A > 0,又因为两根之和为2,两根之积为k,由条件(1)k > 0,所以这 两根一定是不等正实根.题干结论成立,所以条件(1)充分.3由条件(2) 1 < k < 2,取 k = ^,则(*)化为3t2 — 2t + = 0,23A = 4 — 4 x =—2 < 0,2方程无实根.题干结论不成立,所以条件(2)不充分,故应选择 A.【解题步骤及套路】步骤之一:首先认真阅读解题说明的每个字,特别是A、B、C、D、E5个选择项的含义，与 自己平时练习时样题中的A、B、C、D、E5个选择项的含义与顺序是否一致，然后画出金字塔 判断图根据上面的金字塔由上到下,对应于题目中给出的条件(即1和2)由强及弱,依次排列,这样 可使得考生不至于对于本来会做的题目因为看错A、B、C、D、E而搞错.步骤之二:具体在解题时, 考虑使用如下记号标记:如(1) n G ,则在该题的(1)前打“V”，如⑴丰G,则在该题的(1)前标“X”；对条件 (2)同样处理。

而对(1)n(2)的标记标有(1)与(2)的两个标号前面用大括号括起来， 现打“V”或“X”即可将上面的金字塔图补充完整为DBE(1)与(2) 联立也不充分只有(1)与(2)联立才充分(1)与(2)都充分充分不。