第13讲 和圆有关的角--.doc

1 -第十三讲 和圆有关的角【趣题引路】1522 年,德国人 A.里泽出版了一本关于商业活动中计算的数学书,受到人们的普遍重视,他的知名度日益提高,但也有一些人不大服气.一天,一位职业绘图师利用自己的特长,向 A·里泽提出挑战:“看谁在一分钟的时间内用直尺和圆规作出较多的直角”.A·里泽微笑着接受了挑战.比赛开始了,那位绘图师首先在纸上画下一条直线,然后用我们现在数学课上所用的作一条线段的垂直平分线的方法,熟练而又自如地交替使用直尺和圆规作出已知线段的垂线.显然,只需作出一条垂线,就可以得到四个直角,看起来,这位绘图师已稳操胜券.比赛结果 A·里泽赢了,你知道 A·里泽是怎样赢的吗?他作图的依据又是什么?解析 A·里泽是这样作图的,首先在一条直线上任取一点为圆心作出一个半圆,然后,在半圆上任意取点,用直尺将其与直径的两端点相连即可得到一直角,(延长后就是四个直角)他作图的依据是“直径所对的圆周角是直角”.【知识延伸】与圆有关的角我们学习了圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与它们所对（或夹）的弧的度数之间的关系.角的顶点和边与圆位置关系在运动和变化过程中也可能形成另外的两种角.如果角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,如图 1 中所示的∠AEB 即为圆内角.圆内角的大小究竟与弧有何关系呢?延长 AE、BE 分别交圆于 C、D 两点,再连结 AD,则∠AEB=∠A+∠D.∵∠A 的度数等于 ,∠D 的度数等于 ,∴∠AEB 的度数等于2A2AB( + ).即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半,其中圆12ABCD心角是特殊的圆内角.EDCBAEDCBA（1） (2)如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角,如图2 所示,∠AEB 即为圆外角,圆外角又有什么性质呢?连结 AD,则∠E=∠CAD-∠D,∵∠CAD- 2 -OFECBAOEDCBA的度数等于 ,∠D 的度数等于 ,∴∠E 的度数等于 ( - ).即圆外角12ACD12AB12ACDB的度数等于它所夹的两弧度数的差的绝对值的一半.圆心角、圆周角、弦切角、圆内角和圆外角，弧是联系它们的中介，即“由角看弧，由弧看角”是促使它们互相转化的基本方法。

例 1 在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合,向对方球门 MN 进攻.当甲带球冲到点 A 时,乙已随后冲到点 B 如图,此时,甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好? 解析 在足球比赛场上,甲、乙两名队员的情况会很复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑.过 M、N 以及 A、B 中的任一点作一圆,这里作出⊙BMN.显然,A 在⊙BMN 外,∠A 是圆外角,设MA 交圆于 C,则∠MAN<∠MCN=∠MBN.因此,在点 B 射门为好.点评如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门 MN 的张角的大小,当张角越大时,射中球门的机会就越大,这就是圆周角和圆外角在实际中的运用.例 2 已知:如图,△ABC 内接于⊙O,∠A=60°,∠B=80°,E 是 上一点,F是 的中点,求∠BEF 的度ABCA数.解析 ∵∠C=∠AEB,∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=180°-(60°+80°)=40°,∴∠AEB=40°.∵ ,∴∠ABF= ∠ABC=40°. AFC12又∵∠AEF=∠ABF=40°.∴∠BEF=∠AEB+∠AEF=80°.点评若所求的角是与圆有关的角,如圆心角、圆周角、弦切角、内接四边形的内角和外角，要设法利用相关的定理进行计算，若所求的角与圆无关，要设法转化为与圆有关的角去解决。

好题妙解】佳题新题品味NMCB A- 3 -POFD CBA例 1 已知,如图,点 A、B、C 在⊙O 上,∠AOC=120°,∠BAC=45°,延长 AB到 D,使AB:BD=1:2,连结 DC.求证:DC 是⊙O 的切线.解析 ∵∠BAC=45°,∴∠COB=90°.设 OB 交 AC 于 E,则∠EOA=∠EAO=∠OCA=30°,∴OE=AE,CE=2OE.∴AE:CE=1:2=AB:BD∴OB∥CD.∴∠OCD=90°, ∴DC 是⊙O 的切线.点评充分利用圆周角∠BAC=45°与圆心角∠BOC=90°之间的关系,证明四条线段成比例得 OB∥CD 从而解决问题.例 2 如图,设 P 为正三角形 ABC 外接圆⊙O 的劣弧 上一点,AP 交 BC 于点 D.BC证明:PB、PC 是方程 x2-PAx+PA·PD=0 的两个根.证明 延长 BP,作等边△PEC,在△APC 和△BFC 中,∵ AC=BC,∠CAP=∠CBF,∠PCA=∠FCB,∴△APC≌△BFC. ∴PA=BF=BP+PF=BP+PC.∵∠BAP=∠PCD,∠APC=∠APB,∠ABP=∠CDP,∴△ABP∽△CDP.∴有 .PABCD∴PB·PC=PA·PD.∴PB、PC 是方程 x2-PAx+PA·PD=0 的两个根.点评利用圆中的全等三角形,相似三角形证明几何命题,是最基石,最重要的一种方法,应当引起重视,本题证明 PA=PC+PB 时还可用托勒密定理证明.证明如下:∵四边形 ABPC 是圆内接四边形,∴AB·PC=AC·PB=BC·PA∵AB=BC=CA,∴PC+PB=PA 得证.中考真题欣赏例 (2003 年黄冈市中考题)已知,如图 13-7,C 为半圆上一点, ,过点 C作ACE直径 AB 的垂线 CP,P 为垂足,弦 AE 分别交 PC,CB 于点 D,F.(1)求证:AD=CD;- 4 -P OFEDCBA(2)若 DF= ,tan∠ECB= ,求 PB 的长.5434解析 (1)证明:连结 AC,∵ ,ACE∴∠CEA=∠CAE,∵∠CEA=∠CBA,∴∠CBA=∠CAE,∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.∵CP⊥AB,∴∠CBA=∠ACP.∴∠CAE=∠ACP,∴AD=CD(2)解 ∵∠ACB=90°,∠CAE=∠ACP,∴∠DCF=∠CFD.∴AD=CD=DF= , 54∵∠ECB=∠DAP,tan∠ECB= ,3∴tan∠DAP= = ,∵DP 2+PA2=DA2,DA∴DP= ,PA=1,∴CD=2.34又∵∠ACB=90°,CP⊥AB,∴△APC∽△CPB.∴ ,∴PB=4.PCB点评充分利用与圆有关的角,直角三角形中互余的角,便能迅速解决问题.竞赛样题展示例 1 (2001 年全国初中数学竞赛“创新杯”广西赛区试题)如图,已知⊙O 的两条半径 OA 与 OB 互相垂直,C为优弧 上的点,且 BC2=AB2+OB2.AMB求∠OAC 的度数.解析 设⊙O 的半径为 r,则 AB= r,于是 BC== r,以 B 为圆心, r 为半径作圆,2AO33与⊙O交于两点 C,C′.连结 BC,BC′,AC,AC′,延长 OB 交⊙O 于点 D.连结 CD,则 CD==r,即 BD=2CD,∴∠CBD=30°.2BDC∵∠ACB= ∠AOB=45°,1C'OM DCBA- 5 -∴∠OAC=180°-∠ACB-∠ABC-∠BAO=180°-45°-75°-45°=15°.∴∠OAC′=∠OAC+∠CAC′=∠OAC+∠CBC′=15°+60°=75°.综上可得,∠OAC 为 15°或 75°.点评以 B 为圆心,BC 长为半径画圆交⊙O 于 C,C′,C 点的位置确定了,从而使条件与结论互相靠拢,为解题创造了条件.一般地,几何图形中有半径或直径这一条件,常添加辅助线,使其构成直角三角形.例 2 (2002 年江苏省第 17 届数学竞赛题)如图,⊙O为△ABC 的外接圆,∠BAC=60°,H 为边 AC、AB 上的高BD,CE 的交点,在 BD 上取点 M,使 BM=CH.(1)求证:∠BOC=∠BHC;(2)求证:△BOM≌△COH;(3)求证:MH:OH 的值.证明 (1)∵∠BAC=60°,∴∠BOC=2∠BAC=120°,∠BHC=∠DHE=360°-(90°+90°+∠BAC)=120°,∴∠BOC=∠BHC;(2)∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB. 又∵∠BOC=120°,∴∠OBC= (180°-120°)=30°.12而∠HBC=90°-∠BCA,∴∠OBM=∠OBC-∠HBC=30°-(90°-∠BCA)=∠BCA-60°.又∵∠OCH=∠HCB-∠BCO=∠HCB- (180°-120°)=∠HCB-30°,但∠HCA=90°-∠BAC=90°-60°=30°,∴∠OCH=∠HCB+∠HCA-30°-30°=∠BCA-60°,∴∠OBM=∠OCH.又∵BM=CH,OB=OC,∴△BOM≌△COH;(3)由(2)得 OH=OM,且∠COH=∠BOM,从而有∠OHM=∠OMH,∠MOH=∠BOC=120°,∠OHM= (180°-120°)=30°.12在△OMH 中,作 OP⊥MH,P 为垂足,则 OP= OH,由勾股定理,得( MH)2=OH2-OP2=OH2-( )2 ;121OHMH:OH= .3点评本题主要是通过对圆中角的灵活转化来达到解题的目的.HPOMEDCBA- 6 -全能训练A 卷1.如图,O 是 AB、AC 的垂直平分线的交点,∠A=37°.求∠OCB 的度数.OCBA2.O 是△ABC 的外心,∠BOC=130°,求∠A 的度数.3.如图,四边形 ABCD 内接于以 AD 为直径的⊙O,且 AD=4cm,AB=BC=1cm,求 CD 的长.O DCBA4.如图,△ABC 内接于⊙O,AH⊥BC 于 H,求证:OA.AH= AB·AC- 7 -HOCBA5.如图,△ABC 的顶点 A、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为 R,⊙O 与 AC 交于点 D,如果点 D 既是的中点,又是 AC 的中点.AB(1)求证:△ABC 是直角三角形.(2)求 的值.2ADBCODCBA6.如图 13-14,△ABC 内接于⊙O,BC=4,S △ABC =6 ,∠B 为锐角,且关于 x 的方程 x2-34xcmB+1=0 有两个相等的实数根,D 是劣弧 上任一点(点 D 不与点 A,C 重合),DE 平分AC∠ADC,交⊙O 于点 E,交 AC 于点 F.(1)求∠B 的度数.(2)求 CE 的长;(3)求证:DA、DC 的长是方程 y2-DEy+DE·DF=0 的两个实数根- 8 -OFE DCBAA 卷答案1.如图,∵O 是 AB、AC 的垂直平分线的交点,∴O 为△ABC的外接圆的圆心,作△ABC 的外接圆圆 O,连 OB,∵∠A=37°,∠O=74°,又 OC=OB,∴∠OCB=∠OBC=(180°-∠BOC)÷2=(180°-74°)÷2=53°.2.如图,分两种情况进行讨论.(1)当 O 在△ABC 内部时,∠A= ∠BOC= ×130°=65°;12(2)当 O 在△ABC 外部时,由∠BOC=130°,得劣弧 的度数为 130°,ABC则 的度数=360°-130°=230°,∴∠A=115°,∴∠A=65°或 115°. 3.如图,连结 OB、AC,设 OB 交 AC 于点 H,∵AB=BC,OB⊥AC.设 OH=x,则 BH=2-x,在 Rt△OAH 中,AH 2=OA2-OH2=22-x2=4-x2,① 在 Rt△HAB 中,AH 2=AB2-BH2=12-(2-x)2,② 由①、②得 4-x2=1-(2-x)2,∴x= 。