统计学第三章平均指标与变异指标 及习题.ppt

第三章 平均指标与变异指标第一节第一节 平均指标平均指标第二节第二节 变异指标变异指标第三节第三节 标准差、偏度和峰度标准差、偏度和峰度第一节第一节 平均指标平均指标第一节 平均指标一、平均指标的含义一、平均指标的含义 也称平均数，它表明同类现象在一定时间、地也称平均数，它表明同类现象在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，是总体内各单点、条件下所达到的一般水平，是总体内各单位参差不齐的标志值的代表值位参差不齐的标志值的代表值 二、平均指标的作用二、平均指标的作用v反映标志值的集中趋势如农民家庭收入情况反映标志值的集中趋势如农民家庭收入情况 v便于比较分析如用劳动生产率等平均数对比不同便于比较分析如用劳动生产率等平均数对比不同企业的生产情况企业的生产情况 v分析现象之间的依存关系分析现象之间的依存关系 如商业企业规模的大小如商业企业规模的大小和商品流通费用率之间存在的依存关系和商品流通费用率之间存在的依存关系第一节 平均指标三、平均指标的分类三、平均指标的分类 在社会经济统计中，常用的平均指标有算术平均数、调和平均数、几何在社会经济统计中，常用的平均指标有算术平均数、调和平均数、几何平均数、中位数、众数平均数、中位数、众数 等。

等一）算术平均数（算术平均数（mean））1.简单算术平均数简单算术平均数 根据未分组的原始统计资料，将总体各单位的标志值简单加总形成根据未分组的原始统计资料，将总体各单位的标志值简单加总形成总体标志总量，而后除以总体单位总数，这种方法为简单算术平均总体标志总量，而后除以总体单位总数，这种方法为简单算术平均法第一节 平均指标 计算公式为： 2. 加权算术平均数加权算术平均数 根据分组整理而形成的变量数列计算算术平均数的根据分组整理而形成的变量数列计算算术平均数的方法，称为加权算术平均法方法，称为加权算术平均法第一节 平均指标计算公式为：计算公式为：3. 算术平均数的性质算术平均数的性质（（1）各个变量值与平均数离差之和为）各个变量值与平均数离差之和为0；（；（2）各个变量）各个变量值与平均数的离差平方和为最小值值与平均数的离差平方和为最小值v例例:某厂工人各级别工资额和相应工某厂工人各级别工资额和相应工人数资料如表人数资料如表: 试计算工人平均工资试计算工人平均工资 工资额（元）工资额（元）工人数（人）工人数（人）46052060070085051518102合合 计计50各组标志值各组标志值 × 各组单位数各组单位数 =各组标志总量各组标志总量工资额（元）工资额（元）x工人数（人）工人数（人）f工资总额（元）工资总额（元）x f46052060070085051518102230078001080070001700合合 计计5029600v甲乙两企业生产同种产品，甲乙两企业生产同种产品，1月份各批产量和月份各批产量和单位产品成本资料如下，求平均成本。

单位产品成本资料如下，求平均成本 第一批第二批第三批 单位产品成本（元） 产量比重（%） 甲企业 乙企业 单位产品成本（元）产量比重（%）1.0                10                  1.2              301.1                20                  1.1              301.2                70                  1.0              40怎么做？第一节 平均指标（二）调和平均数（调和平均数（harmonic mean）） 又称倒数平均数又称倒数平均数 1. 简单调和平均数简单调和平均数 2. 加权调和平均数加权调和平均数 第一节 平均指标 2. 加权调和平均数加权调和平均数 m为权数行驶速度x行驶里程m行驶时间M/x752253801602合计3855v即行使速度为77公里/小时例：求商品的平均价格某商品的销售情况销售价格（元）销售额（元）390480550第一节 平均指标 （三）几何平均数（（三）几何平均数（geometric mean）） 1. 简单几何平均数简单几何平均数 例1：2001-2005年我国工业品的产量分别是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计算这5年的平均发展速度。

1.067,1.067, ,1.025, ,1.025,  ,1.006, ,1.006,  ,1.027, ,1.027,  ,1.022,=,2ndF,,1.022,=,2ndF,, 5,=, 5,=出现结果：出现结果：1.03091.0309即即103.1%103.1%例2：某企业生产某一产品，要经过铸造、金加工、电镀三道工序，各工序产品合格率分别为98%、85%、90%，求三道工序的平均合格率 ==90.8% 第一节 平均指标 2. 加权几何平均数加权几何平均数 几何平均数也可用对数的算术平均形式表示因几何平均数也可用对数的算术平均形式表示因此，也称对数平均数此，也称对数平均数可以证明：可以证明：例：某投资银行25年的年利率分别是：1年3%，4年5%，8年8%，10年10%，2年15%，求平均年利率1.03,1.03, ,(,1.05,y,(,1.05,yx,4,), ,(,1.08,y,(,1.08,yx,8,),  ,(,1.1,y,(,1.1,yx,10,), ,(,1.15,y,(,1.15,yx,2,), =,2ndF, =,2ndF,, 25,=, 25,=出现结果：出现结果：1.0861.086即即108.6%108.6%平均年利率平均年利率=108.6%-1=8.6%=108.6%-1=8.6%练习：练习：求这几年间国内生产总值的平均发展速度。

求这几年间国内生产总值的平均发展速度年份年份1998199819991999200020002001200120022002国内生产总值国内生产总值78345.278345.282067.582067.589468.189468.197314.897314.8104790.6104790.6第一节 平均指标 （四）中位数（（四）中位数（median）） 将总体各单位标志值按大小顺序排列，居于中将总体各单位标志值按大小顺序排列，居于中点位置的那个标志值就是中位数它是位置点位置的那个标志值就是中位数它是位置平均数，不受极端值的影响平均数，不受极端值的影响 1. 由未分组资料计算中位数由未分组资料计算中位数 先按大小顺序排列，其次利用公式先按大小顺序排列，其次利用公式（（N+1））/2确定中位数位次，最后确定中位数确定中位数位次，最后确定中位数第一节 平均指标 2. 由单项式分组资料计算中位数由单项式分组资料计算中位数 经过分组的资料在确定中位数时，首先将变量数列经过分组的资料在确定中位数时，首先将变量数列的频数或频率进行累加，然后用公式的频数或频率进行累加，然后用公式 来计算中来计算中位数位次，确定中位数组，最后确定中位数。

位数位次，确定中位数组，最后确定中位数 家庭人口数（人）家庭户数（户）向上累计频数（户）118182901083180288472360合计360　3. 由组距式分组资料计算中位数由组距式分组资料计算中位数 确定中位数位次的方法同上，然后按下限公式或上限确定中位数位次的方法同上，然后按下限公式或上限公式计算中位数公式计算中位数按奖金分组（元）调查户数（户）向上累计向下累计500元以下4040500500～80090130460800～11001102403701100～14001053452601400～1700704151551700～200050465852000以上3550035合计500　　第一节 平均指标 下限公式：下限公式： 上限公式：上限公式：第一节 平均指标 （五）众数（（五）众数（mode）） 指总体中出现次数最多的标志值，也是一种指总体中出现次数最多的标志值，也是一种位置平均数，不受极端值的影响位置平均数，不受极端值的影响 由单项数列计算众数时，把次数最多的组定由单项数列计算众数时，把次数最多的组定位众数组，该组的变量值即为众数位众数组，该组的变量值即为众数。

由组距数列计算众数，也要确定众数组，然由组距数列计算众数，也要确定众数组，然后利用上下限公式计算后利用上下限公式计算第一节 平均指标 下限公式：下限公式： 上限公式：上限公式：第一节 平均指标（六）位置平均数与算术平均数的关系（六）位置平均数与算术平均数的关系1.运用中位数、众数和算术平均数的数量关系判别运用中位数、众数和算术平均数的数量关系判别总体分布特征：对称、左偏和右偏总体分布特征：对称、左偏和右偏2.利用位置平均数与算术平均数的关系进行推算利用位置平均数与算术平均数的关系进行推算3. 根据皮尔逊的经验，在分布偏斜度不大的情况根据皮尔逊的经验，在分布偏斜度不大的情况下，下，4.众数与中位数的距离约为中位数与算术平均数距众数与中位数的距离约为中位数与算术平均数距离的离的5.2倍6. 例：根据某城市住户家庭月工资的抽样调查资料计算得到众数为2300元，中位数为2100元，问算术平均数为多少？其分布呈何种形态？第一节 平均指标 四、平均指标的应用四、平均指标的应用 （一）社会现象的同质性是计算和应用平均指（一）社会现象的同质性是计算和应用平均指标的前提如不能将小麦、棉花、茶叶等混标的前提。

如不能将小麦、棉花、茶叶等混合在一起计算平均单位产量合在一起计算平均单位产量 （二）总平均数与组平均数要结合运用二）总平均数与组平均数要结合运用 某厂工人奖金水平资料表工人组别基期报告期工人数（人）奖金总额（元）奖金金额（元/人）工人数（人）奖金总额（元）奖金金额（元/人）技术工人1502700018024044640186熟练工人60720012016020160126普通工人40360090100930093合计25037800151.250074100148.2第一节 平均指标（三）要用分配数列补充说明平均数某车间零件日产量资料表日产零件数（件）组中值（件）各组人数（人）第三季度第四季度39～414015541～4342251043～4544302045～4746202547～4948153049～5150102051～5352510合计　120120第二节 变异指标第二节 变异指标一、变异指标的涵义一、变异指标的涵义 又称标志变动度或离散指标，它综合反映同质总又称标志变动度或离散指标，它综合反映同质总体各单位标志值的差异程度，是社会经济统计中体各单位标志值的差异程度，是社会经济统计中广泛应用的另一种综合指标。

广泛应用的另一种综合指标二、标志变异指标的作用二、标志变异指标的作用（一）衡量平均数代表性的尺度（一）衡量平均数代表性的尺度（二）反映现象的均衡性和稳定性（二）反映现象的均衡性和稳定性 在控制产品质量、进行投资分析和评价经济管理在控制产品质量、进行投资分析和评价经济管理工作中有重要的意义工作中有重要的意义第二节 变异指标 三、变异指标的分类三、变异指标的分类 变异指标主要有：全距、平均差、方差、标准差和变异指标主要有：全距、平均差、方差、标准差和离散系数等离散系数等 （一）全距（（一）全距（range）） 又称极差，是同质总体各单位标志值中最大值与最又称极差，是同质总体各单位标志值中最大值与最小值之差小值之差 （二）平均差与平均差系数（二）平均差与平均差系数第二节 变异指标 1. 平均差平均差 它是总体中各单位标志值与算术平均数离差的绝对它是总体中各单位标志值与算术平均数离差的绝对值的算术平均数，常用值的算术平均数，常用MD表示 （（1）简单平均法）简单平均法 （（2）加权平均法）加权平均法 第二节 变异指标2. 平均差系数例：甲组：20 30 30 40 40 50乙组：30 45 50 53 57 65第二节 变异指标 四、标准差和标准差系数四、标准差和标准差系数 （一）标准差（一）标准差 又称均方差。

也是总体各单位标志值对算术平均又称均方差也是总体各单位标志值对算术平均数的平均离差，在处理方法上比平均差更优越数的平均离差，在处理方法上比平均差更优越因此，平均离差通常以标准差为标准因此，平均离差通常以标准差为标准 1. 简单平均法简单平均法 2. 加权平均法加权平均法 3. 简捷法简捷法第二节 变异指标 3. 简捷法资料未分组：资料分组且为单项数列或异距数列时：第二节 变异指标资料分组且为等距数列时：例：例：            班级同学成绩分布班级同学成绩分布第二节 变异指标（二）标准差系数例：有两组工人日产量 甲组：60、65、70、75、80 乙组：2、5、7、9、12不能简单断言甲组离散程度大于乙组离散程度v v可以计算离散系数可以计算离散系数v本例中本例中即乙组的离散程度大于甲组即乙组的离散程度大于甲组由此可见，当我们比较两组数据的离散程度时，如两组由此可见，当我们比较两组数据的离散程度时，如两组平均数相等，可以直接比较标准差；如两组平均数不等，平均数相等，可以直接比较标准差；如两组平均数不等，则需比较两组的离散系数。

则需比较两组的离散系数标准差与标准差系数的不同应用条件：标准差与标准差系数的不同应用条件：在比较两个不同数列（总体）标志变异程在比较两个不同数列（总体）标志变异程度大小（或说明其平均数代表性大小）度大小（或说明其平均数代表性大小）时，当其时，当其平均水平相同时平均水平相同时，，可直接计算标可直接计算标准差进行比较；当其准差进行比较；当其平均水平不相同平均水平不相同（或（或其计量单位不同）时，需消除平均水平不其计量单位不同）时，需消除平均水平不同或计量单位不同的影响，计算标准差系同或计量单位不同的影响，计算标准差系数进行比较数进行比较第三节 偏度和峰度第三节 偏度和峰度一、偏度（skewness） 偏度是对分布偏斜方向和程度的测度 第三节 偏度和峰度二、峰度（kurtosis） 峰度是分布集中趋势高峰的形状与正态分布相比，有尖顶峰和平顶峰。