实变函数有界变差函数ppt课件.ppt

目的：进一步了解单调函数的性质，熟习有界变差函数的定义，掌握其性质重点与难点：单调函数的性质，有界变差函数的定义及其性质4.4 有界变差函数 第四节 微分与不定积分第四节 有界变差函数根本内容：一．单调函数可导性的推论问题1：假设 fn 是单调函数序列，且 ，不难看出f也是单调 的，从而也几乎处处有有限导数， fn 的导数与 f 的导数有什么关系？ 等式 能否成立？第四节 有界变差函数(1) Fubini定理问题2：腾跃函数的导数是什么？推论推论1(Fubini) 1(Fubini) 设设 是是 上的单调添加有限函数序列，且上的单调添加有限函数序列，且 在在 上处处收敛到有限函数上处处收敛到有限函数 f f ，那么，那么 证明：无妨设 ，否那么可令 ，对 讨论就行了。

记 ，那么 都是单调添加函数，故去掉一个零测集 E 后， 都存在 第四节 有界变差函数因 及单调添加，故其导数均非负，从而当 时， 由此得，级数 几乎处处收敛往证 第四节 有界变差函数由于 ，对恣意自然数 k，可取 ，使得 ，但 也是单调添加函数，且 ，所以,第四节 有界变差函数这阐明 也是由单调添加函数列 构成的收敛级数，将上面关于 的结论用到 上，得 第四节 有界变差函数进而，级数的通项趋于0，即 ，也即 。

证毕 第四节 有界变差函数证明：设 是 上的单调添加函数，留意对恣意 ， ，由推论1立得证明 推论推论2 2 假设假设 是是 上腾跃函上腾跃函数，那么数，那么 第四节 有界变差函数第四节 有界变差函数二．单调函数导数的可积性问题3：从腾跃函数的导数几乎处处为零可以看出，单调函数的导数未必满足Newton-Leibniz公式，思索更弱的问题：单调函数的导数能否R-可积？能否L-可积？其导函数的积分与该函数有没有什么关系？定理定理5 5 设设 f f 是是 上的单上的单调添加有限函数，那么调添加有限函数，那么 是是 上的上的LebesgueLebesgue可积函数，且可积函数，且 。

第四节 有界变差函数证明：将 f 扩展到 上，对恣意 ，令 ，并令 ，它是Riemann可积函数，而且 第四节 有界变差函数留意到 第四节 有界变差函数由Fatou引理得证毕第四节 有界变差函数应该留意到定理5与牛顿-莱布尼兹公式的差别，此处严厉不等式样能够成立的，例如，假设 ，那么 于是 ，但 ， ，故 ，所以 第四节 有界变差函数另外，还应留意到，由定理4， 上的单调函数 f 几乎处处有有限导数，因此定理5中导数 不存在的点 x 处可规定 为恣意值。

这就是说，在一个零测集上可以恣意改动函数值不会对 的积分产生影响 第四节 有界变差函数从 我们还看到另一个现实，一个非常值的函数可以有几乎处处等于0的导数，这样的函数称为奇特函数，即下面的定义6 设 f 是 上的有限函数，假设在 上 ，且 f 不恒为常数，那么称 f 为 上的奇特函数 第四节 有界变差函数三．有界变差函数的定义问题4：[a,b]上单调函数除了腾跃度总和不超越 ，其任一分划所对应分点的函数值之差的总和能否必有限？第四节 有界变差函数第四节 有界变差函数前面曾经看到，单调函数的导数虽然可积但却没有类似的牛顿-莱布尼兹公式，或者说，单调函数不能经过其导数的积分复原那么，何种函数能满足牛顿一莱尼兹公式呢 ( 当然，这里是相对于Lebesgue积分而言 )？这正是下面要讨论的问题 定义7 设 是 上的有限函数，对 的任一分划 ，记称 为 f 关于分划 的变差。

第四节 有界变差函数第四节 有界变差函数假设存在常数 M，使对一切分划 ，都有 ，那么称 为 上的有界变差函数令 ，其中 取遍 的一切分划，称 为 f 在 上的总变差 由定义7不难看出， 上有限单调函数 f 都是有界变差函数，且 第四节 有界变差函数四. 有界变差函数的性质性质1 假设 f 是 上的有界变差函数，那么 f 必为有界函数 第四节 有界变差函数证明：假设不然，那么存在 使 ，由 f 是有界变差函数知 对恣意 n，作 的分划 ，那么第四节 有界变差函数由 ，得 。

这与 矛盾，故必为有界函数，证毕 第四节 有界变差函数第四节 有界变差函数性质性质2 2 假设假设 都是都是 上上的有界变差函数，那么对恣意常数的有界变差函数，那么对恣意常数 也是也是 上的有界变差函数，上的有界变差函数，且且 证明：设 为 的任一分划，那么第四节 有界变差函数所以 ，证毕证明：由性质1知存在 M，使得 ，设 为 的任一分划：性质性质3 3 设设 是是 上的有上的有界变差函数，那么界变差函数，那么 也是有界变差也是有界变差函数。

函数第四节 有界变差函数故 ，证毕第四节 有界变差函数那么证明：假设 f 不为常数，那么存在 使得 或 ，作的分划 ，那么 ，这与 矛盾，故 f 必为常数，证毕 性质性质4 4 假设假设 f f 是是 上的有界变上的有界变差函数，且差函数，且 ，那么，那么 f f 是是常数第四节 有界变差函数第四节 有界变差函数性质性质5 5 设设 f f 是是 上的有界上的有界变差函数，变差函数， ，，那么那么 ，，特别地，也特别地，也 f f 是是 上的有上的有界变差函数。

界变差函数 第四节 有界变差函数证明：任取 的一个分划 ，对应到 的一个分划 ，于是 ，进而 ，证毕 第四节 有界变差函数性质性质6 6 设设 f f 是是 上的有界上的有界变差函数，变差函数，c c 是是 内任一数，内任一数，那么那么 证明：由全变差定义，对恣意 ，可以找到分划及分划 ，使得 ， 将 合并起来得 的一个分划 ，于是由 及得 ， 由 的恣意性立得 。

第四节 有界变差函数第四节 有界变差函数反之，对恣意 ，设是 的一个分划，满足 ，那么对恣意 ，存在 ， 使得 ，于是 进而 ，任由 的恣意性得 ，所以 ，证毕第四节 有界变差函数第四节 有界变差函数性质性质7 7 假设假设 是是 上上的有界变差函数列，的有界变差函数列， 是有界数列，且是有界数列，且 处处收敛处处收敛到到 ，那么，那么 g g 也是也是 上的有界变差函数，且上的有界变差函数，且 。

所以 ，证毕 第四节 有界变差函数证明：记 ，任取 的一个分划 ，那么。