可靠性工程第六章故障树的定性分析.ppt

第六章 故障树的定性分析,故障树定性分析的任务是寻找故障树的最小割集和最小路集本章主要阐述求最小割集和最小路集的方法6.1最小割集和最小路集的概念,假定向量X对应的底事件的集合为 C={e1,e2,e3 ,.en}, 将向量X对应的底事件集合分为两个子集 C0(X)={ ei|xi=0} 和 C1(X)={ ei|xi=1} 其中C0(X)是由X的分量中状态为0的底事件组成的集合，而C1(x)是由状态为1的底事件组成的集合6.1最小割集和最小路集的概念,最小割集的定义： 若状态向量X能使Φ(X)=1，则称X为割向量而割向量对应的底事件集合C1(X)称为割集又设X是割向量，同时满足Z＜X的任意向量Z能使Φ(Z)=0成立，则称X为最小割向量最小割向量对应的底事件集合C1(x)称为最小割集即最小割集是指属于它的底事件都发生就能使顶事件发生的必要的底事件的集合6.1最小割集和最小路集的概念,最小路集： 若向量X能使Φ(X)=0成立，则称X为路向量路向量X对应的底事件集合C0(X)称为路集而所谓的最小路向量X，必须满足X是路向量，同时满足Z＞X的任意向量Z能使Φ(Z)=1 成立最小路向量对应的底事件集合C0(x)称为最小路集。

即最小路集是指属于它的底事件都不发生就能保证顶事件不发生的必要的底事件集合6.1最小割集和最小路集的概念,例如：表5-1所示，图5-3有17个割向量，但只有4个最小割集： 最小割向量 最小割集 （0，0，1，1，0） ｛3，4｝ （0，1，0，1，1） ｛2，4，5｝ （1，0，0，0，1） ｛1，5｝ （1，0，1，0，0） ｛1，3｝ 同理：有15个路向量，但只有3个最小路向量及其对应的最小路集6.1最小割集和最小路集的概念,表5-1所示,求最小割集的方法，对于简单的小故障树可以目视判断，也可以用布尔代数运算，把Φ(X)变成乘积的和，每一乘积就是一个最小割集对于大型的复杂系统，我们选择两种常用方法（下行法和上行法）予以介绍6.2求最小割集的方法,下行法是Vesely提出的计算机程序MOCUS方法，Fussell将其应用于手算法中 理论根据：与门增加割集的大小，或门增加割集的数量 {······G1······} {······G2······} {······x1,x2·····} {······x1·····} {······x2·····},6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,与门,或门,基本过程：从顶事件开始逐渐向下用输入事件置换输出事件，把与门的输入写成一行，把或门的输入写成一列，直到完全变成底事件（含省略事件）的矩阵为止。

矩阵的每一行代表一个割集，整个矩阵代表故障树的全部割集将非最小割集剔除，剩下的就是最小割集了 下面以图6－1的故障树为例说明之6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,图6－1,6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,编号 如图将故障树的门和事件分别给一个编号 构造割集矩阵，求全部割集 因G0下是或门，用其输入x1、 G1、x2置换时把它们排成一列： 又G1下也是或门，用其输入G2、G3置换时，也把它们也排成一列：,6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,X1 G1 x2,X1 G2G3 x2,,,由于G2是与门，用其输入G4 、G5置换时，把他们排成一行； 由于G3是或门，用其输入x3、G6置换时，把它们排成一列,6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,X1 G4 、G5 G3 x2,X1 G4 、G5 x3 G6 x2,,依此类推，将G4 、G5 、G6用其输入置换时，也排成一列： x1 x1 x1 x4、G5 x4、x6 x4、x6 x5、G5 x4、x7 x4、x7 x3 x5、x6 x5、x6 G6 x5、x7 x5、x7 x2 x3 x3 G6 x6 x2 x8 x2 最后一列就是所求的矩阵。

此矩阵包括故障树的全部割集，其每一行对应一个割集6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,,,⒊求最小割集 ⑴ 赋值 对每一底事件xi依次令它对应一个素数ni， 即xi=ni 本例中：x1=n1=2，x2=n2=3，x3=n3=5， x4=n4=7，x5=n5=11，x6=n6=13， x7=n7=17，x8=n8=19 6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,⑵ 求数串令每一个割集Kj都对应一个Nj ， 其中Nj等于第j个割集中底事件赋值之积 本例中： K1={x1} N1=n1=2 K2={x4，x6} N2=n4n6=7×13=91 K3={x4，x7} N3=n4n7=7×17=119 K4={x5，x6} N4=n5n6=11×13=143 K5={x5，x7} N5=n5n7=11×17=187 K6={x3} N6=n3=5 K7={x6} N7=n6=13 K8={x8} N8=n8=19 K9={x2} N9=n2=3,6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,把N=（N1，N2，…N9）排成顺序量： N（1）≤N（2）≤N（3）≤…≤N（9） 这里的顺序量为： N（1）=N1=2 N（6）=N2=91 N（2）=N9=3 N（7）=N3=119 N（3）=N6=5 N（8）=N4=143 N（4）=N7=13 N（9）=N5=187 N（5）=N8=19,6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,⑶ 以小除大，剔除能被整除者，余下的便是全部最小割集。

显然，91和143能够被13整除，余下的2，3 ，5 ，13 ，19 ，119， 187不能被其他的数串值整除它们所对应的割集 {x1}，{x2}，{x3}，{x6}，{x8}， {x4，x7}，{x5，x7} 便是全部最小割集6.2.1 下行法（Fussell-Vesely算法）,上行法是依据故障树自下而上地综合，用布尔代数简化求最小割集的方法 仍以图6－1为例，故障树的最后一阶是 G4= x4∪x5 G5= x6∪x7 G6= x6∪x8 往上一阶可得 G2=G4G5=(x4∪x5)(x6∪x7) G3=x3∪G6=x3∪x6∪x8,6.2.2上行法（Semanderes算法）,或门用∪ 与门用∩,再往上得 G1=G2∪G3=(x4∪x5)(x6∪x7)∪x3∪x6∪x8 利用布尔代数化简得 G1= x4x7∪x5x7∪x3∪x6∪x8 最上一阶 G0= x1∪x2∪G1 = x1∪x2∪x3∪x6∪x8∪x4x7∪x5x7,6.2.2上行法（Semanderes算法）,每一项都是一个最小割集，于是有7个最小割集： {x1}，{x2}，{x3}，{x6}，{x8}， {x4，x7}，{x5，x7} 由此可见，用两种方法所得的结论完全相同。

但上行法很易出错，下行法容易实行6.2.2上行法（Semanderes算法）,当故障树的最小割集很多时，分析不便，可以用最小路集来分析，直接分析最小路集很困难，一般是借助于故障树的对偶树来求6.3用对偶树求最小路集,故障树的对偶树TDDual Fault Tree）简称对偶树，它表示故障树中的全部事件都不发生时，这些事件的逻辑关系，因此，它是系统的成功树 通常是根据已知的故障树作如下变换来画对偶树的6.3.1 故障树的对偶树,即：将故障树中每一事件都变成其对立事件，将全部或门变成与门，将全部与门变成或门图6－1的故障树的对偶树如图6－2所示6.3.1 故障树的对偶树,对偶树有下列性质： 对偶树的全部最小割集是故障树的全部最小路集，而且是一一对应的，其逆亦成立； 设对偶树的结构函数是ΦD(X)，那么故障树的结构函数为Φ(X)，则 ΦD(X)=1-Φ(1-X) （6-1） 成立 其中(1-X)=(1-x1，1-x2，…，1-xn）,6.3.1 故障树的对偶树,求故障树的最小路集 由于对偶树的最小割集就是故障树的最小路集，因此可以借助于求对偶树的最小割集来求故障树的最小路集6.3.2 求故障树的最小路集,以图6－1的故障树为例说明之 画出对偶树如图6－2所示 求对偶树的最小割集 求对偶树的最小割集的方法同求故障树的最小割集的方法完全相同，得到 { x1，x2，x3，x6， x7，x8} { x1，x2，x3，x4 ， x5，x6，x8} 写出故障树的最小路集 { x1，x2，x3，x6， x7，x8} { x1，x2，x3，x4 ， x5，x6，x8},,,,,,,,,,,,,,6.3.2 求故障树的最小路集,6.4.1 用最小割集表示的结构函数 在故障树中，只要有任何一个最小割集发生了，顶事件就发生，因此可用最小割集表示结构函数。

假定给出的故障树有K个最小割集K=(K1，K2 ， …)，各最小割集Kj(j=1,2,…,k)对应的二值结构函数用 Kj(X)= ∩ xi (6－2) i∈ki 表示，将属于Kj的全部底事件用与门连接起来的结构称作最小割与门结构,6.4用最小割集和最小路集表示结构函数,,,6.4 用最小割集和最小路集表示结构函数,由于Kj(X)是第j个最小割集的结构函数，所以只有属于Kj的全部底事件发生时，才能使Kj(X)=1，这时顶事件就发生，所以故障树的结构函数可以写成函数 K k Φ(X)=∪ Kj(X)=∪ ∩xi j=1 j=1 i∈Kj 该式表示所谓最小割与门结构或门结合故障树（如图6－3）的结构函数图6－3,6.4 用最小割集和最小路集表示结构函数,例如，图6－3所示的故障树有四个最小割集，其函数分别为 K1=x3x4，K2=x2x4x5，K3=x1x5，K4=x1x3 由（6－3）式可知，其结构函数为 Φ(X)=x3x4∪x2x4x5∪x1x5∪x1x3 根据上式可以画出图6－3所示的故障树这个最小割与门结构或门结合的故障树与图5－3所示的故障树是完全等价的,6.4 用最小割集和最小路集表示结构函数,6.4.2 用最小路集表示的结构函数 设已知故障树有m个最小路集C=(C1，C2，…,Cm),最小路集Cj(j=1,2,,m)不发生对应的二值结构函数用 Cj(X)=∪xi （6－4） i∈Cj 表示。

6.4 用最小割集和最小路集表示结构函数,（6－4）式对应着属于第j个最小路集的全部底事件中只要有一个发生，最小路集就不发生了如果故障树的全部最小路集都不发生时，那么顶事件就发生所以故障树的结构函数可以用最小路集表示为 m m Φ(X)=∩Cj(x)=∩∪xi (6－5) j=1 j=1 i∈Cj,6.4 用最小割集和最小路集表示结构函数,该式表示所谓最小路或门结构与门结合故障树的结构函数例如图6－3的故障树有三个最小路集 { x1，x2，x3}，{ x1，x4}，{ x3，x5} 由(6－4)式知 C1=x1∪x2∪x3， C2=x1∪x4， C3=x3∪x5,6.4 用最小割集和最小路集表示结构函数,由式(6－5)知该故障树的结构函数为 Φ(X)=(x1∪x2∪x3)∩(x1∪x4)∩(x3∪x5) 根据上式可画出如图6－4所示的最小路或门结构与门结合的故障树，它与图5－3所示的故障树是完全等价的6.4 用最小割集和最小路集表示。