随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次,事件A,B,C分别表示"第一次出现正面","两次出现同一面","至少有一次出现正面",试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题5.习题6.习题7习题8习题9习题10习题11习题12习题13习题14习题15习题16习题17习题18习题19习题20习题21习题22习题23习题24习题25习题26第二章 随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的,事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来,则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出,但可在一段连续区间上取值,则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个,编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个,观察号码是"小于5","等于5","大于5"的情况,试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果,并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果"小于5","等于5","大于5",则样本空间S={ω1,ω2,ω3}, 定义随机变量X如下： X=X<ω>={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为 P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10, P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10, P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得 λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求<1>P{12P{1≤X≤3}; <3>P{X>3}.解答：<1>P{12P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3} =115+215+315=25;<3>P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知,12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得 c=3716=2.3125.由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0} =12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为X345pk1/103/103/5习题5某加油站替出租车公司代营出租汽车业务,每出租一辆汽车,可从出租公司得到3元.因代营业务,每天加油站要多付给职工服务费60元,设每天出租汽车数X是一个随机变量,它的概率分布如下：X10203040pi0.150.250.450.15求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.解答：因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为： P{3X>60}, 即P{X>20}, P{X>20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6.就是说,加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.习题6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代表在两次调整之间生产的合格品数,试求：<1>X的概率分布； <2>P{X≥5};<3>在两次调整之间能以0.6的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：<1>P{X=k}=<1-p>kp=<0.9>k×0.1,k=0,1,2,⋯;<2>P{X≥5}=∑k=5∞P{X=k}=∑k=5∞<0.9>k×0.1=<0.9>5;<3>设以0.6的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于m件,则m应满足P{X≥m}=0.6,即P{X≤m-1}=0.4. 由于 P{X≤m-1}=∑k=0m-1<0.9>k<0.1>=1-<0.9>m,故上式化为1-0.9m=0.4, 解上式得m≈4.85≈5,因此,以0.6的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于5.习题7设某运动员投篮命中的概率为0.6, 求他一次投篮时,投篮命中的概率分布.解答：此运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量,设为X, 它可能的值只有两个,即0和1.X=0表示未投中,其概率为 p1=P{X=0}=1-0.6=0.4,X=1表示投中一次,其概率为 p2=P{X=1}=0.6.则随机变量的分布律为 X 0 1 P 0.4 0.6 习题8某种产品共10件,其中有3件次品,现从中任取3件,求取出的3件产品中次品的概率分布.解答：设X表示取出3件产品的次品数,则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为 X 0123 P习题9一批产品共10件,其中有7件正品,3件次品,每次从这批产品中任取一件,取出的产品仍放回去,求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去,各次抽取相互独立,下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同,所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品<前k-1次都取到次品>, 则随机变量X的分布律为 P{X=k}=310×310×⋯×310×710=<310>k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b<2,p>,Y∼b<3,p>, 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}.解答：因为X∼b<2,p>,P{X=0}=<1-p>2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b<3,p>, 所以 P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-<2/3>3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽,每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理,所求概率为： P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b ≈∑k=02P=e-4<1+41!+422!>≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布,经统计发现在某本书上,有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任意检验4页,每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即 λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数,则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F是一个阶梯函数,故知X是一个离散型随机变量.习题2设F={0x<0x20≤1,1x≥1 问F是否为某随机变量的分布函数.解答：首先,因为0≤F≤1,∀x∈<-∞,+∞>.其次,F单调不减且右连续,即 F<0+0>=F<0>=0, F<1+0>=F<1>=1,且 F<-∞>=0,F<+∞>=1,所以F是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F,并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：X 135 Pk .2所以其分布函数F=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求：<1>X的概率分布； <2>P{X<2∣X≠1}.解答：<1> X-113 pk .2<2>P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为 F={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.40.5},P{1.7=<1.3-0.5>-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F<0.5>=1-0.5/2=0.75,P{1.7-F<1.7>=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为 F=A+Barctanx<-∞,试求：<1>系数A与B; <2>X落在<-1,1]内的概率.解答：<1>由于F<-∞>=0,F<+∞>=1, 可知 {A+B<-π2>A+B<π2>=1=0⇒A=12,B=1π,于是 F=12+1πarctanx, -∞P{-1-F<-1> =<12+1πarctan1>-[12+1πarctanx<-1>] =12+1π⋅π4-12-1π<-π4>=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例,试求X的分布函数.解答： F=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x=12πe-24<-∞,则Y=¯∼N<0,1>.解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N<0,1>, 所以Y=3+X2∼N<0,1>.。
