同步教学参考高中北师大版数学选修23第三章统计案例高考.doc

第三章　统计案例§1回归分析1．1　回归分析(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析．(2)明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析．(3)会解决实际问题．2．过程与方法(1)通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想．(2)从散点图中的点的分布上，发现直接求回归直线方程存在明显不足，从中引导学生去发现解决问题的新思路——进行回归分析．3．情感、态度与价值观(1)培养学生用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题．(2)进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心．(3)加强与现实生活中的联系，以科学的态度评价两个变量的相关关系．●重点难点重点：掌握回归分析的步骤、相关系数、建立回归模型的步骤；体会有些非线性模型通过变换，可以转化为线性回归模型；在解决实际问题的过程中寻找更好的建型方法．难点：求线性回归方程的系数a，b；相关系数；选择不同的模型建模．回归分析主要是研究两个变量间的关系，是在必修三的基础上学习，教材的1.1回归分析是复习必修三的内容，为了使建立回归方程有意义，提出了相关系数，这与回归直线中b的系数有关联，教师可通过实例，让学生了解相关系数的大小与线性相关的关系；在现实中又有一种非线性的相关性，如何解决引导学生转化为线性关系，主要通过数形结合思想、函数思想，使问题化归为线性关系，教学中可通过提醒、猜想、练习等方法，使学生掌握本节的重点内容．(教师用书独具)●教学建议 建议本节课用3课时讲解完成．教学中通过组织学生自己动手操作计算、观察、分析、交流、讨论、归纳让他们在探究学习中经历知识形成的全过程，从而形成“自主探究、合作交流”的数学学习方法．教师在课堂上可以用计算机软件进行参数的估计、相关系数的计数，让学生掌握利用计算器进行线性回归方程的求解和评价．●教学流程第1课时以实际问题作为课题引入．⇒回顾建立回归直线方程的基本步骤．⇒通过实例巩固、体验线性回归直线方程的求法及应用．⇒第2课时提出新问题，如何用其他方法刻画变量之间的线性相关．⇒师生共同探究，得出相关系的概念及相关系数的大小与线性相关之间的关系．⇒通过例题，巩固验证相关系数刻画变量之间的线性相关的特点．⇒第3课时引导学生探究如果不是线性回归模型，如何估计参数，能否利用线性回归模型．⇒对数据进行分析变换后，对新数据建立线性模型．⇒转化为原来变量模型，得出结论，总结建模思想，补充拓展．⇒课堂小结并完成当堂双基达标，巩固本节所学知识.课标解读1.通过实例掌握回归分析的基本思想方法．2．利用最小二乘法会求线性回归直线方程，并能用线性回归直线方程进行预报.变量之间的相关关系【问题导思】　1．正方形的面积S与其边长a是什么关系？圆的周长l与半径r是什么关系？【提示】　∵S＝a2，l＝2πr，∴它们都是确定的函数关系．2．父亲的身高与儿子的身高之间有何关系？耕种深度与水稻产量之间有何关系？【提示】　非确定关系．1．变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达．如人的体重y与身高x.一般来说，身高越高，体重越重，但不能用一个函数来严格地表示身高与体重之间的关系．相关关系是非确定性关系，因变量的取值具有一定的随机性．2．在考虑两个变量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常把这种图叫作变量之间的散点图．线性回归方程【问题导思】　1．确定线性回归方程，只需得出哪两个量？【提示】　确定线性回归直线方程，只需确定a，b两个量即可．2．性回归方程y＝a＋bx中，当一次项系数b为正数时，说明两个变量有何相关关系？在散点图上如何反映？【提示】　说明两个变量正相关，在散点图上自左向右看这些点呈上升趋势．假设样本点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，设线性回归方程为y＝a＋bx，要使这n个点与直线y＝a＋bx的“距离”平方之和最小，即使得Q(a，b)＝(y1－a－bx1)2＋(y2－a－bx2)2＋…＋(yn－a－bxn)2达到最小，a，b需满足b＝，a＝－b.由数据求线性回归方程　已知x，y之间一组数据：x0123y1357(1)分别计算：、、x1y1＋…＋x4y4，x＋x＋…＋x；(2)求出线性回归方程y＝bx＋a.【思路探究】　可利用表格的数直接计算，然后把这些结果代入线性回归方程系数公式，分别求得a，b，再求出线性回归方程．【自主解答】　(1)＝＝1.5，＝＝4，x1y1＋…＋x4y4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x＋x＋…＋x＝02＋12＋22＋32＝14；(2)b＝＝＝2；a＝－b＝4－2×1.5＝1.故y＝2x＋1.答：(1)所求的值分别为：1.5,4,34,14；(2)所求的线性回归方程是：y＝2x＋1.求线性回归方程的步骤：(1)列表求出，，x，xiyi；(2)利用公式b＝，a＝－b，求出b，a；(3)写出线性回归方程．观察两相关量得如下数据：x－1－2－3－4－553421y－9－7－5－3－115379求两变量间的回归方程．【解】　列表i12345678910xi－1－2－3－4－553421yi－9－7－5－3－115379x14916252591641xiyi9141512551512149由此可得＝0，＝0，x＝110，xiyi＝110，b＝＝＝1，a＝－b＝0，∴所求回归方程为y＝x.求实际问题的回归方程　某企业想通过做广告来提高自己的知名度，经预测可知本企业产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)判断y与x是否具有线性相关关系；(2)求回归直线方程．【思路探究】　先画出散点图，即可判断y与x是否具有相关关系，如果y与x具有相关关系可将有关数据代入公式求得回归直线方程．【自主解答】　(1)散点图如图所示：根据散点图可知，所给的数据点都在一条直线的附近，所以y与x具有线性相关关系．(2)列出下表，并且科学地的进行有关计算．i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560＝5，＝50，x＝145，y＝135 000，xiyi＝1 380于是可得，b＝＝＝6.5，a＝－b＝50－6.5×5＝17.5，于是所求的回归直线方程是y＝6.5x＋17.5.对一级数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a、b的计算公式，算出a、b.由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：汞含量x246810消光系数y64138205285360(1)作散点图；(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程．【解】　(1)散点图如图．(2)由散点图可知，y与x呈相关关系，设线性回归方程为：y＝bx＋a.经计算：得＝6，＝210.4，x＝220，xiyi＝7 790.∴b＝＝36.95，a＝210.4－36.95×6＝－11.3.∴线性回归方程为y＝36.95x－11.3.利用回归直线方程进行统计　某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x(x取整数)元与日销售量y台之间有如下关系：x35404550y56412811(1)画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系；(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(2)写出P关于x的函数关系式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润．【思路探究】　两个变量呈现近似的线性关系，可通过公式计算出其线性回归方程，并根据方程求出其预测值．【自主解答】　(1)散点图如图所示，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．(2)∵＝×(35＋40＋45＋50)＝42.5，＝×(56＋41＋28＋11)＝34，xiyi＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5 410，x＝352＋402＋452＋502＝7 350，∴b＝＝＝－＝－2.96.∴a＝－b＝34－(－2.96)×42.5＝159.8.∴y＝－2.96x＋159.8.(3)依题意有P＝(－2.96x＋159.8)(x－30)＝－2.96x2＋248.6x－4 794，∴当x＝≈42时，P有最大值，约为426，即预测销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．1．b＝－2.96是斜率的估计值，说明单价每增加一个单位，日销售量就减少2.96.2．借助于回归方程对实际问题的估计值是个近似值，不是一个准确值．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费y(万元)有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系．(1)求线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少万元？【解】　(1)列表如下：ixiyixxiyi122.244.4233.8911.4345.51622.0456.52532.5567.03642.0∑202590112.3由此可得：＝4，＝5.进而可以求得b＝＝1.23，a＝－b＝0.08.∴线性回归方程为y＝0.08＋1.23x.(2)当x＝10时，y＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元.数形结合思想在回归分析中的应用　(12分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨标准煤)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据．x3456y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)【思路点拨】　(1)可直接由表格提供的点，列出散点图；(2)可利用线性回归方程中a，b公式直接求解；(3)直接用方程来估计所求值．【规范解答】　(1)图形如。