天津市和平区2024届高三下学期一模试题数学含答案.pdf

1和平区和平区 2023-2024 学年度第二学期高三年级第一次质量调查学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学学科试卷数学学科试卷温馨提示温馨提示：本试卷包括第本试卷包括第卷卷（选择题选择题）和第和第卷卷（非选择题非选择题）两部分两部分，共共 150 分分.考试时间考试时间 120分钟分钟.祝同学们考试顺利祝同学们考试顺利!第第卷（选择题卷（选择题共共 45 分）分）注意事项注意事项：1.答第答第卷前卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动如需改动，用橡皮擦干净后用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号再选涂其他答案标号.答在试卷上的无效答在试卷上的无效.3.本卷共本卷共 9 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 45 分分.参考公式参考公式：球的表面积公式球的表面积公式24SR球，其中，其中 R 表示球的半径表示球的半径.如果事件如果事件 A、B 互斥互斥，则则 P ABP AP B.如果事件如果事件 A、B 相互独立相互独立，则则 P ABP A P B.一、选择题（在每小题给出的四个选项中一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的）1.已知集合22Axx N，2BxxZ，集合CAB，则集合 C 的子集个数为（）A.1B.2C.3D.42.函数 32xf xx的图象大致是（）A.B.C.D.3.已知等比数列 na的各项均为正数，若1a，314a，2a成等差数列，则91089aaaa（）A.31B.31C.42 3D.42 34.已知 a，bR，则“222ab”是“2ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件25.某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了 100 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（）估计居民月均用水量低于31.5m的概率为 0.25；估计居民月均用水量的中位数约为32.1m；该市有 40 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于33m的人数为 6 万；根据这 100 位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为 20 人的样本，则在用水量区间1.5,2中应抽取 4 人.（第 5 题）A.1B.2C.3D.46.设123a，1122log 3log 9b，1312c，则有（）A.abcB.acbC.bcaD.bac7.已知函数 22sincosf xxx xR，fx是 f x的导数，则以下结论中正确的是（）A.函数2fx是奇函数B.函数 f x与 fx的值域相同C.函数 f x的图象关于直线4x对称D.函数 f x在区间,6 3 上单调递增8.若三棱台111ABCABC的上、下底面均是正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其各顶点都在表面积为260的球 O 的表面上，1128 3ABAB，则三棱台111ABCABC的高为（）A.2 3B.8C.6 或 8D.2 3或 639.设双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点分别为点1F，2F，过坐标原点的直线与 C 交于 A，B两点，1112F AFB，2ABF的面积为8 3，且220F A F B，若双曲线 C 的实轴长为 4，则双曲线 C 的方程为（）A.22142xyB.22144xyC.221424xyD.221169xy第第卷（非选择题卷（非选择题共共 105 分）分）注意事项注意事项：1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效答在本试卷上的无效.2.本卷共本卷共 11 题题，共共 105 分分.二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 30 分分.试题中包含两个空的试题中包含两个空的，答对答对 1 个的给个的给 3 分分，全部答对的给全部答对的给 5 分分）10.i 为虚数单位，复数1 iz ，则3iz_.11.在5232xx的二项展开式中，3x的系数为_（请用数字作答）.12.为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有 10 道题目，随机抽取 3 道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中 2 道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的 6 道，那么党员甲抽到能答对题目数 X 的数学期望为_；党员甲能通过初试的概率为_.13.圆226160 xyy与抛物线220 xpy p的准线相交于 A，B 两点.若6AB，则抛物线的焦点坐标为_.14.青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为 4，圆 O 的圆心为正六边形的中心，半径为 2，若点 M 在正六边形的边上运动，动点 A，B 在圆 O 上运动且关于圆心 O 对称.（i）请用MA、MB表示MO _；（ii）请写出MA MB 的取值范围_.图一图二第（14）题415.若函数 23sin4344f xa xaxxa（其中0a）在区间0,5上恰有 4 个零点，则 a 的取值范围为_.三、解答题三、解答题（本大题共本大题共 5 小题小题，共共 75 分分，解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤）16.（本小题满分 14 分）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别 a，b，c，其中2ab，2cb，且sin2sinAC.（）求 c 的值；（）求tanA的值；（）求cos 24A的值.17.（本小题满分 15 分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是正方形，PD 平面ABCD，3PDAD，点 E，F 分别是棱PA，PC的中点，点 M 是线段BC上一点.第（17）题（）求证：PB 平面EFD；（）求平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值；（I）若直线MF与平面ABCD所成的角的正弦值为3 2222，求此时MC的长度.18.（本小题满分 15 分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:10 xyCabab的左焦点为点 F，离心率为12，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 3.（）求椭圆 C 的方程；（）设不过原点 O 且斜率为32的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P，Q，线段PQ的中点为 T，直线OT与椭圆 C 交于两点 M，N，证明：TP TQTMTN.19.（本小题满分 15 分）5若数列 na满足2*1nnaad nN，其中0d，0na，则称数列 na为 M 数列.（）已知数列 na为 M 数列，当1d，11a 时，（i）求证：数列2na是等差数列，并写出数列*nanN的通项公式；（ii）242*11nknkkkTaanN，求*11nkknTN.（）若 na是 M 数列*nN，且0d，证明：存在正整数 n，使得112024niia.20.（本小题满分 16 分）已知函数 lnf xx x，11 e0 xg xxx，（aR，e 为自然对数的底数）.（）求函数 f x的单调区间；（）设 g x在1x 处的切线方程为 yk x，求证：当1,x时，g xk x；（）若 ,01,1.f xxh xg xx，存在123xxx，使得 123h xh xh x，且21xmx，求证：当1,2m时，2312ln2e1xxx.6和平区和平区 2023-2024 学年度第二学期高三年级第一次质量调查学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学学科试卷参考答案及评分标准数学学科试卷参考答案及评分标准一、选择题一、选择题（9 5分45分）123456789DBABDBDCC二、填空题（二、填空题（6 5分30分）10.5.11.80.12.95；23.13.0,7.14.12MAMB；8,12.15.11 43 19225382298,20 74 2031212 .三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分）16.（本小题满分 14 分）解：（）因为sin2sinAC，由正弦定理，所以2ac，1 分所以2,2,2.abcbac，解得4,2,2 2.abc，所以2 2c.4 分（）由余弦定理2222cos24cbaAbc，6 分214sin1 cos4AA，所以sintan7cosAAA.8 分（）23cos22cos14AA ，7sin22sin cos4AAA.12 分所以143 2cos 2cos2 cossin2 sin4448AAA.14 分17.（本小题满分 15 分）解：（）证明：因为四棱雉PABCD的底面ABCD是正方形，PD 平面ABCD，所以以点 D 为坐标原点，DA，DC，DP 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，1 分7则有3,0,0A，3,3,0B，0,3,0C，0,0,0D，0,0,3P，33,0,22E，3 30,2 2F.因为33,0,22DE，3 30,2 2DF，设平面EFD的法向量为1,nx y z，则11330,22330.22n DExzn DFyz ，令1x，则11,1,1n，3 分又因为3,3,3PB ，则13PBn，即1PBn，4 分由1n 平面EFD，所以PB 平面EFD得证.（）设平面EFD与平面ABCD的夹角为，平面EFD的法向量11,1,1n，平面ABCD的法向量20,0,1n ，5 分所以，1212123coscos,3n nn nnn ，则平面EFD与平面ABCD的夹角的余弦值为33.8 分（）设MC长度为0m m，,3,0M m，设直线MF与平面ABCD所成角为1，已知13 22sin22，3 3,2 2MFm，10 分21222332sincos,992244MF nMF nMFnm ，13 分求得1m，则此时MC长度为 1.15 分18.（本小题满分 15 分）8解：（）依题意，22221,223,.cabaabc，解得2,3,1.abc所以椭圆 C 的方程为22143xy.4 分（）设直线 l 的方程为302yxm m，设点11,P x y，22,Q xy，221,433.2xyyxm，联立方程组，整理得2232 3260 xmxm.6 分212 60m，即260m，即66m且0m.7 分由韦达定理得122122,326.3xxmmx x，所以PQ中点,23mmT，所以直线OT方程为32yx，设点 N 在第二象限，10 分221,433.2xyyx，联立方程组，求得62,2M，62,2N，11 分所以22777 6722622431233mmmTMTNm，13 分222121211314444TP TQPQxxx x14 分2227226746163123mmm15 分所以.TP TQTMTN.19.（本小题满分 15 分）解：（I）（i）证明：由2*11nnaanN，可得22*11nnaanN，2 分9所以，数列2na是首项为21a公差为 1 的等差数列，所以，2211naandn，4 分又因为0na，所以*nan nN.5 分（ii）2nan，442nann，6 分222422111111nnnkkknkkkkkTaakk，设2211nkkAk，211nkkBk，22222222142112342374122nkknnAknnnn，21112342nkkBknn ，8 分所以，22222nTABnnnnn，111 112121nTn nnn，9 分所以，111111111111112223121222nkkTnnnn.10 分（）若 na是 M 数列，有2211naand，故211naand，且0d，即222111112111naandandand12 分22112222221111112。