高考数学第二轮复习换元法人教版.docx

S S2高考数学第二轮复习 换元法 人教版解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化， 关键是构造元和设元， 理论依据是等量代换， 目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究， 从而使非标准型问题标准化、 复杂问题简单化， 变得容易处理换元法又称辅助元素法、 变量代换法 通过引进新的变量， 可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来， 或者把条件与结论联系起来 或者变为熟悉的形式， 把复杂的计算和推证简化它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用换元的方法主要有：（ 1）局部换元 局部换元又称整体换元， 是在已知或者未知中， 某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现例如解不等式： 4 x ＋2x －2≥0，先变形为设 2x ＝t （t>0 ），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

2）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元如求函数 y ＝ x ＋ 1 x 的值域时， 易发现 x∈[0,1] ，设 x ＝sin 2 α ， α∈ [0, ]，2问题变成了熟悉的求三角函数值域 为什么会想到如此设， 其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要 如变量 x、 y 适合条件 x 2＋y 2 ＝r 2 （r>0） 时， 则可作三角代换 x＝ rcosθ、 y ＝rsin θ化为三角问题3）均值换元，如遇到 x＋y ＝S 形式时，设 x ＝ ＋t， y ＝ －t 等等2 2我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取， 一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围， 不能缩小也不能扩大 如上几例中的 t>0 和α∈ [0, ] t 2 12an ，1＝－ n，所以 a n ＝－ ；x21 1S一、方法简解：1. y ＝sinx · cosx ＋sinx+cosx 的最大值是 _________。

简解】 设 sinx+cosx ＝t ∈[ －当 t ＝ 2， y max2. 设 f(x 2 ＋ 1) ＝ log1＝ ＋ 2；2a(4 －x 4 )2 , 2 ] ，则 y＝（a>1），则 f(x)＋t － ，对称轴 t ＝－ 1，2 2的值域是 _______________简解】设 x 2 ＋ 1＝t (t ≥1) ，则 f(t) ＝log a [-(t-1)＋4] ，所以值域为( －∞ ,log a4)；3. 已知数列 {a n } 中，【简解】 已知变形为a 1 ＝－ 1，1 1an 1 － ana n 1 ·an ＝a n 1 －a n ，则数列通项 a n ＝___________＝－ 1, 设 b n ＝ 则 b 1 ＝－ 1,b n ＝－ 1＋ (n －1)(-1)1n4. 设实数 x、 y 满足 x 2 ＋ 2xy － 1 ＝0，则 x＋y 的取值范围是 ___________。

简解】设 x＋y ＝k，则 x 2 －2kx ＋ 1 ＝0, △＝ 4k 2 －4≥0, 所以 k≥1 或 k≤－ 1；1 35. 方程 x ＝3 的解是 _______________1 3【简解】设 3 x ＝y，则 3y 2＋2y － 1 ＝0, 解得 y ＝ 1 ，所以 x＝－ 1；36. 不等式 log 2 (2 x － 1) · log 2 (2 x 1 －2) 〈2 的解集是 _______________简解】 设 log 2 (2 x － 1) ＝y， 则 y(y ＋ 1)<2，解得－ 2

S sin α【解】设y代入①式得： 4S －5S · sin αcos α＝ 5解得 S ＝ 8∵ -1 ≤sin21∴ ＋ Smax105sin 2 αα≤ 1 ∴ 3 ≤8－ 5sin2 α≤ 13 ∴1 3 13 16 8＝ ＋ ＝ ＝Smin 10 10 10 510 10 1013 8 5sin 38S 10此种解法后面求 S 最大值和最小值， 还可由 sin2 α＝ 的有界性而求， 即解不等S式： | |≤ 1这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”S【另解】由 S＝ x 2 ＋y 2 ，设 x 2 ＝ ＋t， y 2 ＝ －t， t ∈[ － ， ] ，2 2 2 22则 xy ＝± －t 2 代入①式得： 4S±52－t 2 =5，移项平方整理得 100t 2 +39S2 － 160S＋ 100＝ 0 。

∴ 39S 2 － 160S＋ 100≤ 0 解得：10 1013 31 1 3 13 16 8∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝Smax Smin 10 10 10 5【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件 S＝x 2＋y 2 与三角公式 cos 2 α＋ sin 2 α＝ 1 的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设 x 2 ＝ S ＋t、 y 2 ＝ S －t ，减少了元的个数，问题且容易求解另外，还用到了求值2 2域的几种方法：有界法、不等式性质法、分离参数法和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量 ＝a＋b， y＝ a－ b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。

x、 y 时，可以设 xcosA cosCA C＋1 32 2cosA＋ ＝－2 m2 2 5310 20 10 10 1 12 2 2 m2 2A C A C A C 2 22 2 22 A C 2C ＝60 °－αA C本题设 x ＝a＋ b， y ＝a－ b，代入①式整理得 3a ＋13b ＝5 ， 求得 a 2 ∈[0, ] ，所以S＝ (a － b) 2＋(a ＋ b) 2 ＝2(a 2 ＋ b 2 ) ＝ ＋ a 2 ∈[ , ] ，再求 ＋ 的值。

13 13 13 3 Smax S。